{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (4 pkt)\nOkrąg o środku w punkcie\n)\n7,3\n(\nS\njest styczny do prostej o równaniu\n.3\n2 -\nx\ny\nOblicz\nwspółrzędne punktu styczności.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n3\ny\nx\n-:\n1\n2\nm = -\nZapisujemy równanie prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez punkt\n(\n)\n3,7\nS =\n:\n2\n17\n2\n1\nx\ny\nZapisujemy i rozwiązujemy układ równań:\n2\n3\n1\n17\n2\n2\ny\nx\ny\nx\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\n1\n17\n2\n3\n2\n2\nx\nx\n5\n23\nx\nStąd\n5\n31\ny\nZatem punkt styczności ma współrzędne: 23 31\n,\n5\n5\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej\nz okręgiem\nKryteria oceniania odpowiedzi\n23\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n3\ny\nx\n-, np.\n1\n2\nm = -\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układ równań\n2\n3\n1\n17\n2\n2\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\ny\nx\ny\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nPrzekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np.\n1\n17\n2\n3\n2\n2\nx\nx\n- lub\n1\n3\n17\n4\n4\n2\ny\ny\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu styczności: 23 31\n,\n5\n5\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nUwaga\nJeśli zdający zapisał układ równań liniowych i odgadł jego rozwiązanie, to otrzymuje\n4 punkty\nII sposób rozwiązania\nObliczamy odległość d środka okręgu\n)\n7,3\n(\nS\nod prostej\n2\n3\ny\nx\n-:\n6\n7\n3\n4\n4 1\n5\nd\nPunkt\n( ,2\n3)\nP\nx\nx\njest punktem styczności okręgu o środku w punkcie\n)\n7,3\n(\nS\ni prostej\n2\n3\ny\nx\n-. Zatem PS\nd\noraz\n2\n2\n(\n3)\n(2\n10)\nPS\nx\nx\nPrzekształcamy równanie\n5\n4\n)\n10\n2\n(\n)\n3\n(\n2\n2\nx\nx\ndo postaci\n0\n5\n16\n109\n46\n5\n2\nx\nx\nRozwiązujemy równanie\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\n, stąd\n5\n23\nx\nZatem punkt styczności ma współrzędne:\n23 31\n,\n5\n5\nP\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n• obliczenie odległości punktu S od danej prostej\n6\n7\n3\n4\n4 1\n5\nd\nalbo\n• zapisanie długości odcinka PS :\n2\n2\n(\n3)\n(2\n10)\nPS\nx\nx\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układ równań, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n4\n(\n3)\n7\n5\ny\nx\nx\ny\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\nKryteria oceniania odpowiedzi\n24\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie\nrównania\nz\njedną\nniewiadomą,\nnp.\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\nalbo\n5\n4\n)\n10\n2\n(\n)\n3\n(\n2\n2\nx\nx\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu P styczności: 23 31\n,\n5\n5\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nIII sposób rozwiązania\nPunkt\n(\n)\n,\nP\nx y\njest punktem styczności okręgu o środku\n)\n7,3\n(\nS\ni prostej\n2\n3\ny\nx\nZapisujemy układ równań:\n2\n2\n2\n(\n3)\n(\n7)\n2\n3\nx\ny\nr\ny\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nPrzekształcamy układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą x:\n2\n2\n2\n(\n3)\n(2\n10)\nx\nx\nr\n2\n2\n5\n46\n109\n0\nx\nx\nr\nZapisujemy warunek\n0\nΔ =\n, dla którego okrąg ma jeden punkt wspólny z prostą\n2\n3\ny\nx\ni obliczamy\n2r :\n2\n64\n20r\nΔ = -\n,\n2\n20\n64\n0\nr -\n,\n2\n20\n64\nr =\n,\n2\n64\n16\n20\n5\nr =\nRozwiązujemy równanie:\n0\n5\n16\n109\n46\n5\n2\nx\nx\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\n5\n23\nx\nZatem punkt styczności ma współrzędne:\n23 31\n,\n5\n5\nP\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie układu równań i warunku pozwalającego wyznaczyć promień okręgu:\n2\n2\n2\n(\n3)\n(\n7)\n2\n3\nx\ny\nr\ny\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nPrzekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą\n2\n2\n5\n46\n109\n0\nx\nx\nr\n, zapisanie\nwarunku\n0\nΔ =\ni obliczenie\n2r :\n2\n16\n5\nr =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania kwadratowego, np.\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu styczności:\n23 31\n,\n5\n5\nP\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nKryteria oceniania odpowiedzi\n25\nUwaga\nJeśli zdający popełnił błąd rachunkowy, przekształcając układ równań do równania\nkwadratowego, rozwiązał to równanie i otrzymał dwa punkty styczności, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 17760\n\n## Sposób 1 - Wkład każdej pozycji osobno\n\n**Ile jest takich liczb?**\n\nKażda z trzech cyfr (setki, dziesiątki, jedności) może przyjąć 4 wartości: \\(1, 2, 3, 4\\).\n\\[\n4 \\times 4 \\times 4 = 64 \\text{ liczby}\n\\]\n\n**Ile razy każda cyfra pojawia się na danej pozycji?**\n\nGdy ustalamy jedną cyfrę na pozycji setek (np. \\(a = 1\\)), pozostałe dwie pozycje (dziesiątki i jedności) mają po 4 możliwości - razem \\(4 \\times 4 = 16\\) kombinacji.\n\nZatem każda z cyfr \\(1, 2, 3, 4\\) pojawia się **16 razy** na każdej z trzech pozycji.\n\n**Suma cyfr:**\n\\[\n1 + 2 + 3 + 4 = 10\n\\]\n\n**Wkład pozycji setek** (wartość miejscowa 100):\n\\[\n16 \\times 10 \\times 100 = 16\\,000\n\\]\n\n**Wkład pozycji dziesiątek** (wartość miejscowa 10):\n\\[\n16 \\times 10 \\times 10 = 1\\,600\n\\]\n\n**Wkład pozycji jedności** (wartość miejscowa 1):\n\\[\n16 \\times 10 \\times 1 = 160\n\\]\n\n**Łączna suma:**\n\\[\n\\boxed{16\\,000 + 1\\,600 + 160 = \\mathbf{17\\,760}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Zapis algebraiczny z sumą potrójną\n\nKażdą rozważaną liczbę zapiszmy jako \\(\\overline{abc} = 100a + 10b + c\\), gdzie \\(a, b, c \\in \\{1, 2, 3, 4\\}\\).\n\nSzukana suma to:\n\\[\nS = \\sum_{a \\in \\{1,2,3,4\\}} \\sum_{b \\in \\{1,2,3,4\\}} \\sum_{c \\in \\{1,2,3,4\\}} (100a + 10b + c)\n\\]\n\nRozbijamy na trzy sumy:\n\\[\nS = 100 \\underbrace{\\sum_a a}_{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}_{b,c\\text{ wolne}} \\;+\\; 10 \\underbrace{\\sum_b b}_{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}_{a,c\\text{ wolne}} \\;+\\; \\underbrace{\\sum_c c}_{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}_{a,b\\text{ wolne}}\n\\]\n\\[\nS = 100 \\cdot 10 \\cdot 16 \\;+\\; 10 \\cdot 10 \\cdot 16 \\;+\\; 10 \\cdot 16\n\\]\n\\[\nS = 10 \\cdot 16 \\cdot (100 + 10 + 1) = 160 \\cdot 111 = \\mathbf{17\\,760}\n\\]\n\n**Elegancki wzorzec:** suma = (suma cyfr) × (liczba wystąpień na pozycji) × (suma wartości miejscowych) \\(= 10 \\times 16 \\times 111\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą kombinatoryczne zasady mnożenia i własności sum skończonych (liczenie, ile razy każda cyfra pojawia się na danej pozycji).\n\nMożna jednak powiązać z:\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - zasada mnożenia:\n\\[\n4 \\times 4 \\times 4 = 64 \\text{ (liczba wszystkich takich liczb)}\n\\]\nUżyta do policzenia, ile razy każda cyfra pojawia się na każdej pozycji (\\(4^2 = 16\\) razy).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to przyjęcie, że cyfry **nie mogą się powtarzać** - zadanie wyraźnie mówi, że mogą. Bez powtórzeń byłoby \\(4 \\times 3 \\times 2 = 24\\) liczb i zupełnie inna suma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Inny błąd to pominięcie jednej pozycji (np. liczenie wkładu tylko setek i dziesiątek) - pamiętaj o wszystkich trzech pozycjach: setki, dziesiątki, jedności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić liczbę wystąpień każdej cyfry - to **16, nie 64/4 = 16 ✓** (bo każda cyfra pojawia się na danej pozycji \\(4 \\times 4\\) razy). Sprawdź na prostszym przykładzie: dla liczb dwucyfrowych z \\(\\{1,2,3,4\\}\\) - suma = \\(10 \\times 4 \\times 11 = 440\\). Weryfikacja ręczna: \\(11+12+13+14+21+\\ldots+44 = 50 + 90 + 130 + 170 = 440\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(S = 17760\\).\n\n### Sposób 1 - Zliczanie przez pozycje\nLiczb trzycyfrowych o cyfrach z \\(\\{1,2,3,4\\}\\) (z powtórzeniami): \\(4\\cdot 4\\cdot 4 = 64\\).\n\nKażdą liczbę zapisujemy jako \\(a\\cdot 100 + b\\cdot 10 + c\\), gdzie \\(a,b,c\\in\\{1,2,3,4\\}\\).\n\n**Ile razy każda cyfra występuje na pozycji setek?** Dla każdej cyfry setek \\(a\\) mamy \\(4\\cdot 4 = 16\\) wyborów dla \\((b,c)\\). Zatem każda z cyfr \\(1,2,3,4\\) jest \\(16\\) razy cyfrą setek.\n\nSuma setek:\n\\[16\\cdot 100\\cdot (1+2+3+4) = 1600\\cdot 10 = 16000.\\]\n\nPodobnie dla dziesiątek: \\(16\\cdot 10\\cdot 10 = 1600\\). Dla jedności: \\(16\\cdot 1\\cdot 10 = 160\\).\n\nRazem:\n\\[S = 16000 + 1600 + 160 = 17760.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisanie i zsumowanie (częściowe)\nLiczby z setką \\(1\\): \\(111+112+ +144\\) (\\(16\\) liczb). Wypisując i sumując grupami po \\(4\\): suma tej szesnastki wynosi \\(16\\cdot 100 + (11+12+13+14+21+ +44) = 1600 + 440 = 2040\\).\nAnalogicznie dla setki \\(2\\): \\(3200+440=3640\\); setki \\(3\\): \\(4800+440=5240\\); setki \\(4\\): \\(6400+440=6840\\).\nSuma: \\(2040+3640+5240+6840 = 17760\\).\n\n### Sposób 3 - Średnia liczba\nŚrednia wartość cyfry w \\(\\{1,2,3,4\\}\\): \\(\\tfrac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\\). Średnia liczba trzycyfrowa:\n\\[\\overline{N} = 2{,}5\\cdot 111 = 277{,}5.\\]\nSuma: \\(64\\cdot 277{,}5 = 17760\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie, że istnieje \\(64\\) liczby trzycyfrowe z cyfr \\(\\{1,2,3,4\\}\\).\n- **2 pkt:** Zapisanie sumy setek LUB dziesiątek LUB jedności (np. sumy setek = \\(16000\\)) lub wypisanie wszystkich liczb.\n- **3 pkt:** Rozwiązanie z drobnymi błędami rachunkowymi.\n- **4 pkt:** Obliczenie \\(S = 17760\\).\n\n**Trik:** Gdy cyfry mogą się powtarzać i liczb jest wiele - patrz na każdą pozycję osobno, symetria daje prostą sumę.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"analityczna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (4 pkt)
Okrąg o środku w punkcie
)
7,3
(
S
jest styczny do prostej o równaniu
.3
2 -
x
y
Oblicz
współrzędne punktu styczności.
Odpowiedź:
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
4
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
16
Matura podstawowa z matematyki 2011. Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-4)
I sposób rozwiązania
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej prostopadłej do prostej o równaniu
2
3
y
x
-:
1
2
m = -
Zapisujemy równanie prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez punkt
(
)
3,7
S =
:
2
17
2
1
x
y
Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:
2
3
1
17
2
2
y
x
y
x
⎧⎪⎨
⎪⎩
1
17
2
3
2
2
x
x
5
23
x
Stąd
5
31
y
Zatem punkt styczności ma współrzędne: 23 31
,
5
5
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Użycie i tworzenie strategii
Wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej
z okręgiem
Kryteria oceniania odpowiedzi
23
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej o równaniu
2
3
y
x
-, np.
1
2
m = -
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układ równań
2
3
1
17
2
2
⎧⎪⎨
⎪⎩
y
x
y
x
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np.
1
17
2
3
2
2
x
x

\n\n

1
3
17
4
4
2
y
y
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu styczności: 23 31
,
5
5
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Uwaga
Jeśli zdający zapisał układ równań liniowych i odgadł jego rozwiązanie, to otrzymuje
4 punkty
II sposób rozwiązania
Obliczamy odległość d środka okręgu
)
7,3
(
S
od prostej
2
3
y
x
-:
6
7
3
4
4 1
5
d
Punkt
( ,2
3)
P
x
x
jest punktem styczności okręgu o środku w punkcie
)
7,3
(
S
i prostej
2
3
y
x
-. Zatem PS
d
oraz
2
2
(
3)
(2
10)
PS
x
x
Przekształcamy równanie
5
4
)
10
2
(
)
3
(
2
2
x
x
do postaci
0
5
16
109
46
5
2
x
x
Rozwiązujemy równanie
0
5
4
105
46
5
2
x
x
, stąd
5
23
x
Zatem punkt styczności ma współrzędne:
23 31
,
5
5
P
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
• obliczenie odległości punktu S od danej prostej
6
7
3
4
4 1
5
d
albo
• zapisanie długości odcinka PS :
2
2
(
3)
(2
10)
PS
x
x
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układ równań, np.
(
)
2
2
2
3
4
(
3)
7
5
y
x
x
y
⎧⎪⎨
⎪⎩
Kryteria oceniania odpowiedzi
24
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie
równania
z
jedną
niewiadomą,
np.
0
5
4
105
46
5
2
x
x
albo
5
4
)
10
2
(
)
3
(
2
2
x
x
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu P styczności: 23 31
,
5
5
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
III sposób rozwiązania
Punkt
(
)
,
P
x y
jest punktem styczności okręgu o środku
)
7,3
(
S
i prostej
2
3
y
x
Zapisujemy układ równań:
2
2
2
(
3)
(
7)
2
3
x
y
r
y
x
⎧
⎨
⎩
Przekształcamy układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą x:
2
2
2
(
3)
(2
10)
x
x
r
2
2
5
46
109
0
x
x
r
Zapisujemy warunek
0
Δ =
, dla którego okrąg ma jeden punkt wspólny z prostą
2
3
y
x
i obliczamy
2r :
2
64
20r
Δ = -
,
2
20
64
0
r -
,
2
20
64
r =
,
2
64
16
20
5
r =
Rozwiązujemy równanie:
0
5
16
109
46
5
2
x
x
0
5
4
105
46
5
2
x
x
5
23
x
Zatem punkt styczności ma współrzędne:
23 31
,
5
5
P
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie układu równań i warunku pozwalającego wyznaczyć promień okręgu:
2
2
2
(
3)
(
7)
2
3
x
y
r
y
x
⎧
⎨
⎩
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą
2
2
5
46
109
0
x
x
r
, zapisanie
warunku
0
Δ =
i obliczenie
2r :
2
16
5
r =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania kwadratowego, np.
0
5
4
105
46
5
2
x
x
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu styczności:
23 31
,
5
5
P
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
Kryteria oceniania odpowiedzi
25
Uwaga
Jeśli zdający popełnił błąd rachunkowy, przekształcając układ równań do równania
kwadratowego, rozwiązał to równanie i otrzymał dwa punkty styczności, to za całe
rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 17760

\n

Sposób 1 - Wkład każdej pozycji osobno

\n

Ile jest takich liczb?

\n

Każda z trzech cyfr (setki, dziesiątki, jedności) może przyjąć 4 wartości: \\(1, 2, 3, 4\\).
\\[
4 \\times 4 \\times 4 = 64 \\text{ liczby}
\\]

\n

Ile razy każda cyfra pojawia się na danej pozycji?

\n

Gdy ustalamy jedną cyfrę na pozycji setek (np. \\(a = 1\\)), pozostałe dwie pozycje (dziesiątki i jedności) mają po 4 możliwości - razem \\(4 \\times 4 = 16\\) kombinacji.

\n

Zatem każda z cyfr \\(1, 2, 3, 4\\) pojawia się 16 razy na każdej z trzech pozycji.

\n

Suma cyfr:
\\[
1 + 2 + 3 + 4 = 10
\\]

\n

Wkład pozycji setek (wartość miejscowa 100):
\\[
16 \\times 10 \\times 100 = 16\\,000
\\]

\n

Wkład pozycji dziesiątek (wartość miejscowa 10):
\\[
16 \\times 10 \\times 10 = 1\\,600
\\]

\n

Wkład pozycji jedności (wartość miejscowa 1):
\\[
16 \\times 10 \\times 1 = 160
\\]

\n

Łączna suma:
\\[
\\boxed{16\\,000 + 1\\,600 + 160 = \\mathbf{17\\,760}}
\\]

\n

Sposób 2 - Zapis algebraiczny z sumą potrójną

\n

Każdą rozważaną liczbę zapiszmy jako \\(\\overline{abc} = 100a + 10b + c\\), gdzie \\(a, b, c \\in \\{1, 2, 3, 4\\}\\).

\n

Szukana suma to:
\\[
S = \\sum_{a \\in \\{1,2,3,4\\}} \\sum_{b \\in \\{1,2,3,4\\}} \\sum_{c \\in \\{1,2,3,4\\}} (100a + 10b + c)
\\]

\n

Rozbijamy na trzy sumy:
\\[
S = 100 \\underbrace{\\sum_a a}{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}{b,c\\text{ wolne}} \\;+\\; 10 \\underbrace{\\sum_b b}{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}{a,c\\text{ wolne}} \\;+\\; \\underbrace{\\sum_c c}{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}{a,b\\text{ wolne}}
\\]
\\[
S = 100 \\cdot 10 \\cdot 16 \\;+\\; 10 \\cdot 10 \\cdot 16 \\;+\\; 10 \\cdot 16
\\]
\\[
S = 10 \\cdot 16 \\cdot (100 + 10 + 1) = 160 \\cdot 111 = \\mathbf{17\\,760}
\\]

\n

Elegancki wzorzec: suma = (suma cyfr) × (liczba wystąpień na pozycji) × (suma wartości miejscowych) \\(= 10 \\times 16 \\times 111\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą kombinatoryczne zasady mnożenia i własności sum skończonych (liczenie, ile razy każda cyfra pojawia się na danej pozycji).

\n

Można jednak powiązać z:

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - zasada mnożenia:
\\[
4 \\times 4 \\times 4 = 64 \\text{ (liczba wszystkich takich liczb)}
\\]
Użyta do policzenia, ile razy każda cyfra pojawia się na każdej pozycji (\\(4^2 = 16\\) razy).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to przyjęcie, że cyfry nie mogą się powtarzać - zadanie wyraźnie mówi, że mogą. Bez powtórzeń byłoby \\(4 \\times 3 \\times 2 = 24\\) liczb i zupełnie inna suma.
\n
⚠️ Uwaga: Inny błąd to pominięcie jednej pozycji (np. liczenie wkładu tylko setek i dziesiątek) - pamiętaj o wszystkich trzech pozycjach: setki, dziesiątki, jedności.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić liczbę wystąpień każdej cyfry - to 16, nie 64/4 = 16 ✓ (bo każda cyfra pojawia się na danej pozycji \\(4 \\times 4\\) razy). Sprawdź na prostszym przykładzie: dla liczb dwucyfrowych z \\(\\{1,2,3,4\\}\\) - suma = \\(10 \\times 4 \\times 11 = 440\\). Weryfikacja ręczna: \\(11+12+13+14+21+\\ldots+44 = 50 + 90 + 130 + 170 = 440\\) ✓.
\n

Odpowiedź: \\(S = 17760\\).

\n
Sposób 1 - Zliczanie przez pozycje
\n

Liczb trzycyfrowych o cyfrach z \\(\\{1,2,3,4\\}\\) (z powtórzeniami): \\(4\\cdot 4\\cdot 4 = 64\\).

\n

Każdą liczbę zapisujemy jako \\(a\\cdot 100 + b\\cdot 10 + c\\), gdzie \\(a,b,c\\in\\{1,2,3,4\\}\\).

\n

Ile razy każda cyfra występuje na pozycji setek? Dla każdej cyfry setek \\(a\\) mamy \\(4\\cdot 4 = 16\\) wyborów dla \\((b,c)\\). Zatem każda z cyfr \\(1,2,3,4\\) jest \\(16\\) razy cyfrą setek.

\n

Suma setek:
\\[16\\cdot 100\\cdot (1+2+3+4) = 1600\\cdot 10 = 16000.\\]

\n

Podobnie dla dziesiątek: \\(16\\cdot 10\\cdot 10 = 1600\\). Dla jedności: \\(16\\cdot 1\\cdot 10 = 160\\).

\n

Razem:
\\[S = 16000 + 1600 + 160 = 17760.\\]

\n
Sposób 2 - Wypisanie i zsumowanie (częściowe)
\n

Liczby z setką \\(1\\): \\(111+112+ +144\\) (\\(16\\) liczb). Wypisując i sumując grupami po \\(4\\): suma tej szesnastki wynosi \\(16\\cdot 100 + (11+12+13+14+21+ +44) = 1600 + 440 = 2040\\).
Analogicznie dla setki \\(2\\): \\(3200+440=3640\\); setki \\(3\\): \\(4800+440=5240\\); setki \\(4\\): \\(6400+440=6840\\).
Suma: \\(2040+3640+5240+6840 = 17760\\).

\n
Sposób 3 - Średnia liczba
\n

Średnia wartość cyfry w \\(\\{1,2,3,4\\}\\): \\(\\tfrac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\\). Średnia liczba trzycyfrowa:
\\[\\overline{N} = 2{,}5\\cdot 111 = 277{,}5.\\]
Suma: \\(64\\cdot 277{,}5 = 17760\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Gdy cyfry mogą się powtarzać i liczb jest wiele - patrz na każdą pozycję osobno, symetria daje prostą sumę.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

\\left(\\dfrac{23}{5}, \\dfrac{31}{5}\\right)

"}]}