{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nPewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.\nGdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby\nprzechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.","answer":"T","answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez\nturystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem\n112\nx y\n⋅\nTurysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,\nwówczas zapisujemy równanie: (\n) (\n)\n3\n12\n112\nx\ny\n⋅\nZapisujemy układ równań, np. (\n) (\n)\n112\n3\n12\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n112\ny\nx\n112\nx\ny\npodstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy\n(\n) 112\n3\n12\n112\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n3\n28\n0\nx\nx\n2\n9\n112\n121\n11\nΔ =\n1\n3 11\n7\n2\nx\n= - sprzeczne z zał.\n0\nx >\n2\n3 11\n4\n2\nx\nObliczamy y:\n112\n28\n4\ny =\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\n(\n)\n112\n3\n12\n112\ny\ny\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n12\n448\n0\ny\ny\n2\n144\n1792\n1936\n44\nΔ =\n1\n12\n44\n16\n2\ny\nsprzeczne z zał.\n0\ny >\n2\n12\n44\n28\n2\ny\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\nII sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez\nturystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem\n112\nx y\n⋅\nTurysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,\nwówczas zapisujemy równanie: (\n) (\n)\n3\n12\n112\nx\ny\n⋅\nZapisujemy układ równań, np. (\n) (\n)\n112\n3\n12\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nStąd otrzymujemy kolejno\n112\n12\n3\n36\n112\nx y\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧\n⎨⋅\n⎩\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego\nz jedną niewiadomą\nKryteria oceniania odpowiedzi\n26\n112\n112 12\n3\n36\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧\n⎨\n⎩\n112\n12\n3\n36\n0\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧\n⎨-\n⎩\nW równaniu 12\n3\n36\n0\nx\ny\nobie strony dzielimy przez (\n)\n3\nOtrzymujemy 4\n12\n0\nx\ny\n, stąd wyznaczamy\n4\n12\ny\nx\n1\n3\n4\nx\ny\npodstawiamy do równania pierwszego i rozwiązujemy\n(\n)\n4\n12\n112\nx\nx\n⋅\n2\n4\n12\n112\n0\nx\nx\n2\n3\n28\n0\nx\nx\n2\n9\n112\n121\n11\nΔ =\n1\n3 11\n7\n2\nx\n= - sprzeczne z zał.\n0\nx >\n2\n3 11\n4\n2\nx\nObliczamy y:\n4 4\n12\n28\ny =\n⋅+\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\n1\n3\n112\n4 y\ny\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n2\n1\n3\n112\n0\n4 y\ny\n2\n12\n448\n0\ny\ny\n2\n144\n1792\n1936\n44\nΔ =\n1\n12\n44\n16\n2\ny\nsprzeczne z zał.\n0\ny >\n2\n12\n44\n28\n2\ny\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie zależności między przebytą drogą, liczbą dni wędrówki oraz liczbą kilometrów\nprzebytych każdego dnia przez turystę, np.:\n(\n) (\n)\n3\n12\n112\nx\ny\n⋅\nalbo\n112\nx y\n⋅\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y - odpowiednio: liczbą dni wędrówki i liczbą\nkilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np. (\n) (\n)\n112\n3\n12\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:\n(\n) 112\n3\n12\n112\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nlub\n(\n)\n112\n3\n12\n112\ny\ny\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n,\nlub\n(\n)\n4\n12\n112\nx\nx\n⋅\n,\nlub 1\n3\n112\n4 y\ny\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nKryteria oceniania odpowiedzi\n27\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów\nprzebytych każdego dnia przez turystę\nalbo\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.\nIII sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez\nturystę. Liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę opisujemy równaniem\n112\ny\nx\nTurysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,\nwówczas zapisujemy równanie: 112\n112\n12\n3\nx\nx\nPrzekształcamy to równanie do postaci\n2\n3\n28\n0\nx\nx\nRozwiązaniem\nrównania\nsą:\n1\n3 11\n7\n2\nx\nsprzeczne\nz\nzałożeniem\n0\nx >\ni\n2\n3 11\n4\n2\nx\nObliczamy y:\n112\n28\n4\ny =\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nPrzyjęcie oznaczeń: x - liczba dni wędrówki, y - liczba kilometrów przebytych każdego dnia\nprzez turystę i zapisanie zależności, np.\n112\ny\nx\nalbo\n112\n12\n3\ny\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą: 112\n112\n12\n3\nx\nx\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów\nprzebytych każdego dnia przez turystę\nalbo\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, przy czym\nobliczona liczba kilometrów musi być większa od 12.\nKryteria oceniania odpowiedzi\n28\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i nie\nuzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nSinus kąta nachylenia krawędzi \\(BS\\) do płaszczyzny podstawy wynosi \\(\\dfrac{\\sqrt{506}}{23}\\).\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych + trójkąt prostokątny\n\n**Krok 1: Oblicz przekątne rombu ABCD.**\n\nRomb o boku \\(a = 4\\) i kącie \\(\\angle ABC = 120°\\). Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC:\n\\[|AC|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 120° = 32 - 32 \\cdot \\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 48\\]\n\\[|AC| = 4\\sqrt{3}\\]\n\nKąt \\(\\angle DAB = 180° - 120° = 60°\\) (kąty przyległe rombu). Dla trójkąta ABD:\n\\[|BD|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 60° = 32 - 16 = 16\\]\n\\[|BD| = 4\\]\n\n**Krok 2: Wprowadź układ współrzędnych.**\n\nPunkt O = przecięcie przekątnych (środek rombu) umieszczamy w początku układu. Przekątne rombu są prostopadłe, więc:\n\n\\[A = (-2\\sqrt{3},\\; 0,\\; 0), \\quad C = (2\\sqrt{3},\\; 0,\\; 0)\\]\n\\[B = (0,\\; -2,\\; 0), \\quad D = (0,\\; 2,\\; 0)\\]\n\nSprawdzenie: \\(|AB| = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12+4} = 4\\) ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz pozycję wierzchołka S.**\n\nWarunek \\(|AS| = |CS|\\): S leży na prostopadłościennej płaszczyźnie symetrii odcinka AC, czyli na płaszczyźnie \\(x = 0\\).\n\nWarunek \\(|BS| = |DS|\\): S leży na płaszczyźnie symetrii odcinka BD, czyli na płaszczyźnie \\(y = 0\\).\n\nZatem \\(S = (0,\\; 0,\\; h)\\) - **wierzchołek leży dokładnie nad środkiem O**.\n\n**Krok 4: Oblicz wysokość h.**\n\nZ warunku \\(|AS| = 10\\):\n\\[|AS|^2 = (2\\sqrt{3})^2 + 0^2 + h^2 = 12 + h^2 = 100\\]\n\\[h^2 = 88, \\quad h = 2\\sqrt{22}\\]\n\n**Krok 5: Oblicz \\(|BS|\\).**\n\n\\[|BS|^2 = 0^2 + 2^2 + h^2 = 4 + 88 = 92\\]\n\\[|BS| = 2\\sqrt{23}\\]\n\n**Krok 6: Wyznacz kąt nachylenia BS do podstawy.**\n\nRzut prostokątny S na płaszczyznę podstawy to O = (0, 0, 0).\nRzut krawędzi BS na podstawę to odcinek BO.\n\nPowstaje trójkąt prostokątny BOS z kątem prostym w O:\n\n| Odcinek | Wartość |\n| \\(|BO|\\) | \\(2\\) (= połowa przekątnej BD) |\n| \\(|OS|\\) | \\(2\\sqrt{22}\\) (wysokość ostrosłupa) |\n| \\(|BS|\\) | \\(2\\sqrt{23}\\) (krawędź boczna) |\n\nKąt nachylenia \\(\\theta = \\angle OBS\\):\n\\[\\sin\\theta = \\frac{|OS|}{|BS|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22} \\cdot \\sqrt{23}}{23} = \\boxed{\\dfrac{\\sqrt{506}}{23}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda wektora i kąt z płaszczyzną\n\nWektor \\(\\overrightarrow{BS} = S - B = (0, 2, 2\\sqrt{22})\\).\n\nKąt między linią prostą a płaszczyzną obliczamy jako dopełnienie kąta z normalną \\(\\vec{n} = (0, 0, 1)\\) do podstawy:\n\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{|\\overrightarrow{BS} \\cdot \\vec{n}|}{|\\overrightarrow{BS}| \\cdot |\\vec{n}|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{\\sqrt{4 + 88}} = \\frac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}\\]\n\nKąt nachylenia do płaszczyzny: \\(\\theta = 90° - \\varphi\\), więc:\n\\[\\sin\\theta = \\cos\\varphi = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{506}}{23}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.** ✓\n\n**Sprawdzenie jedynki trygonometrycznej:**\n\\[\\sin^2\\theta + \\cos^2\\theta = \\frac{22}{23} + \\frac{1}{23} = \\frac{23}{23} = 1\\; \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\nUżyte do obliczenia przekątnych AC i BD rombu z warunku bocznego i kąta.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pojęcie wysokości ostrosłupa i rzutu prostokątnego.\nUżyte do wyznaczenia \\(h\\) i trójkąta prostokątnego BOS.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\theta = \\frac{\\text{przeciwprostokątna katety prostopadłej}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyte w Kroku 6 do odczytu sinusa kąta nachylenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Wzięcie połowy **drugiej** przekątnej: \\(|AO| = 2\\sqrt{3}\\) jako odległość poziomą zamiast \\(|BO| = 2\\). Daje \\(\\sin\\theta = \\frac{2\\sqrt{22}}{\\sqrt{88+12}} = \\frac{2\\sqrt{22}}{10} = \\frac{\\sqrt{22}}{5}\\) |\n| C | Obliczenie **cosinusa** zamiast sinusa: \\(\\cos\\theta = \\frac{|BO|}{|BS|} = \\frac{2}{2\\sqrt{23}} = \\frac{1}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{23}}{23}\\) |\n| D | Pomieszanie kąta z płaszczyzną z kątem z pionową osią; użycie \\(\\frac{h}{|AS|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{10} = \\frac{\\sqrt{22}}{5}\\) zamiast \\(\\frac{h}{|BS|}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Klucz zadania to rozpoznanie, że S leży **dokładnie nad środkiem O** rombu - bo oba warunki (\\(|AS|=|CS|\\) i \\(|BS|=|DS|\\)) razem wymuszają \\(S = (0,0,h)\\). Bez tego nie możemy poprawnie wyznaczyć trójkąta prostokątnego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia BS do **podstawy** to kąt przy wierzchołku B (nie przy S!) w trójkącie prostokątnym BOS. Częsty błąd to mylenie go z kątem przy O lub S.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość pozioma \\(|BO|\\) to **połowa przekątnej BD**, czyli \\(\\frac{4}{2} = 2\\) - nie mylić z połową przekątnej AC równą \\(2\\sqrt{3}\\). Krawędź BS biegnie z B do S, więc liczy się przekątna przez B, czyli BD!\n\n**Odpowiedź:** \\(\\sin\\beta = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{506}}{23}\\) (\\(\\approx 0{,}9780\\)).\n\n### Sposób 1 - Wysokość ostrosłupa + Pitagoras\n**Przekątne rombu.** Kąt \\(\\angle ABC = 120^{\\circ}\\) oznacza, że trójkąt \\(ABC\\) ma w \\(B\\) kąt \\(120^{\\circ}\\) z bokami \\(|AB|=|BC|=4\\). Przekątna \\(|AC|\\) (krótsza, ale w tym ułożeniu):\n\\[|AC|^{2} = 4^{2}+4^{2}-2\\cdot 4\\cdot 4\\cos 120^{\\circ} = 16+16+16 = 48, \\quad |AC| = 4\\sqrt{3}.\\]\nDla trójkąta \\(BCD\\) (kąt \\(\\angle BCD = 180^{\\circ}-120^{\\circ}=60^{\\circ}\\)): trójkąt równoboczny, \\(|BD| = 4\\).\n\nOznaczmy \\(O\\) - przecięcie przekątnych (środek rombu): \\(|AO|=|OC|=\\tfrac{|AC|}{2}=2\\sqrt{3}\\), \\(|BO|=|OD|=2\\).\n\n**Położenie wierzchołka \\(S\\).** \\(|AS|=|CS|=10\\) i \\(|BS|=|DS|\\). Stąd \\(S\\) leży na prostopadłej do płaszczyzny rombu przechodzącej przez \\(O\\) (bo \\(O\\) jest środkiem symetrii).\n\nOznaczmy \\(h=|OS|\\) (wysokość ostrosłupa). Z trójkąta \\(AOS\\) (prostokątny):\n\\[|AS|^{2} = |AO|^{2} + h^{2} \\Rightarrow 100 = 12 + h^{2} \\Rightarrow h^{2} = 88, \\quad h = 2\\sqrt{22}.\\]\n\n**Długość \\(|BS|\\).** Z trójkąta \\(BOS\\) (prostokątny):\n\\[|BS|^{2} = |BO|^{2} + h^{2} = 4 + 88 = 92, \\quad |BS| = 2\\sqrt{23}.\\]\n\n**Kąt nachylenia krawędzi \\(BS\\) do podstawy.**\nKąt \\(\\beta = \\angle SBO\\). Rzut \\(S\\) na płaszczyznę podstawy to \\(O\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(SOB\\):\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{h}{|BS|} = \\dfrac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{22}\\cdot \\sqrt{23}}{23} = \\dfrac{\\sqrt{506}}{23} \\approx 0{,}9780.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tangens i jedynkę trygonometryczną\nZ trójkąta \\(SOB\\): \\(\\tan\\beta = \\dfrac{h}{|OB|} = \\dfrac{2\\sqrt{22}}{2} = \\sqrt{22}\\).\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{\\tan\\beta}{\\sqrt{1+\\tan^{2}\\beta}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{1+22}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie długości przekątnych rombu: \\(|AC|=4\\sqrt{3}, |BD|=4\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie wysokości ostrosłupa \\(h = 2\\sqrt{22}\\).\n- **3 pkt:** Obliczenie \\(|BS| = 2\\sqrt{23}\\).\n- **4 pkt:** Obliczenie \\(\\sin\\beta = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}\\) (lub odpowiednik zracjonalizowany).\n\n**Uwaga:** Dopuszczalna odpowiedź przybliżona \\(\\sin\\beta \\approx \\sin 78^{\\circ} \\approx 0{,}978\\) - jeśli zostało wyliczone z tangensa i tabeli.\n\n**Trik:** W ostrosłupach o symetrii \\(|AS|=|CS|\\) i \\(|BS|=|DS|\\) wysokość pada na przecięcie przekątnych. Kąt nachylenia krawędzi: \\(\\sin\\beta = \\tfrac{h}{\\text{krawędź}}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (5 pkt)
Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.
Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby
przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

\n

Poziom podstawowy
17
Odpowiedź:
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
5
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
18
Matura podstawowa z matematyki 2011. Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
I sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem
112
x y
⋅
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
wówczas zapisujemy równanie: (
) (
)
3
12
112
x
y
⋅
Zapisujemy układ równań, np. (
) (
)
112
3
12
112
x y
x
y
⋅
⎧⎪⎨
⋅
⎪⎩
Z pierwszego równania wyznaczamy
112
y
x
112
x
y
podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy
(
) 112
3
12
112
x
x
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
3
28
0
x
x
2
9
112
121
11
Δ =
1
3 11
7
2
x
= - sprzeczne z zał.
0
x >
2
3 11
4
2
x
Obliczamy y:
112
28
4
y =
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
(
)
112
3
12
112
y
y
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
12
448
0
y
y
2
144
1792
1936
44
Δ =
1
12
44
16
2
y
sprzeczne z zał.
0
y >
2
12
44
28
2
y
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
II sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem
112
x y
⋅
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
wówczas zapisujemy równanie: (
) (
)
3
12
112
x
y
⋅
Zapisujemy układ równań, np. (
) (
)
112
3
12
112
x y
x
y
⋅
⎧⎪⎨
⋅
⎪⎩
Stąd otrzymujemy kolejno
112
12
3
36
112
x y
x y
x
y
⋅
⎧
⎨⋅
⎩
Modelowanie matematyczne
Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego
z jedną niewiadomą
Kryteria oceniania odpowiedzi
26
112
112 12
3
36
112
x y
x
y
⋅
⎧
⎨
⎩
112
12
3
36
0
x y
x
y
⋅
⎧
⎨-
⎩
W równaniu 12
3
36
0
x
y
obie strony dzielimy przez (
)
3
Otrzymujemy 4
12
0
x
y
, stąd wyznaczamy
4
12
y
x
1
3
4
x
y
podstawiamy do równania pierwszego i rozwiązujemy
(
)
4
12
112
x
x
⋅
2
4
12
112
0
x
x
2
3
28
0
x
x
2
9
112
121
11
Δ =
1
3 11
7
2
x
= - sprzeczne z zał.
0
x >
2
3 11
4
2
x
Obliczamy y:
4 4
12
28
y =
⋅+
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
1
3
112
4 y
y
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
2
1
3
112
0
4 y
y
2
12
448
0
y
y
2
144
1792
1936
44
Δ =
1
12
44
16
2
y
sprzeczne z zał.
0
y >
2
12
44
28
2
y
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie zależności między przebytą drogą, liczbą dni wędrówki oraz liczbą kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę, np.:
(
) (
)
3
12
112
x
y
⋅
albo
112
x y
⋅
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y - odpowiednio: liczbą dni wędrówki i liczbą
kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np. (
) (
)
112
3
12
112
x y
x
y
⋅
⎧⎪⎨
⋅
⎪⎩
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:
(
) 112
3
12
112
x
x
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
lub
(
)
112
3
12
112
y
y
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
,
lub
(
)
4
12
112
x
x
⋅
,
lub 1
3
112
4 y
y
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Kryteria oceniania odpowiedzi
27
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
• rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę
albo
• rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.
III sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę opisujemy równaniem
112
y
x
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
wówczas zapisujemy równanie: 112
112
12
3
x
x
Przekształcamy to równanie do postaci
2
3
28
0
x
x
Rozwiązaniem
równania
są:
1
3 11
7
2
x
sprzeczne
z
założeniem
0
x >
i
2
3 11
4
2
x
Obliczamy y:
112
28
4
y =
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Przyjęcie oznaczeń: x - liczba dni wędrówki, y - liczba kilometrów przebytych każdego dnia
przez turystę i zapisanie zależności, np.
112
y
x
albo
112
12
3
y
x
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą: 112
112
12
3
x
x
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
• rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę
albo
• rozwiązanie równania z niewiadomą x błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, przy czym
obliczona liczba kilometrów musi być większa od 12.
Kryteria oceniania odpowiedzi
28
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.
  2. Jeżeli zdający odgadnie liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i nie
\n

uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Sinus kąta nachylenia krawędzi \\(BS\\) do płaszczyzny podstawy wynosi \\(\\dfrac{\\sqrt{506}}{23}\\).

\n

Sposób 1 - Układ współrzędnych + trójkąt prostokątny

\n

Krok 1: Oblicz przekątne rombu ABCD.

\n

Romb o boku \\(a = 4\\) i kącie \\(\\angle ABC = 120°\\). Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC:
\\[|AC|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 120° = 32 - 32 \\cdot \\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 48\\]
\\[|AC| = 4\\sqrt{3}\\]

\n

Kąt \\(\\angle DAB = 180° - 120° = 60°\\) (kąty przyległe rombu). Dla trójkąta ABD:
\\[|BD|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 60° = 32 - 16 = 16\\]
\\[|BD| = 4\\]

\n

Krok 2: Wprowadź układ współrzędnych.

\n

Punkt O = przecięcie przekątnych (środek rombu) umieszczamy w początku układu. Przekątne rombu są prostopadłe, więc:

\n

\\[A = (-2\\sqrt{3},\\; 0,\\; 0), \\quad C = (2\\sqrt{3},\\; 0,\\; 0)\\]
\\[B = (0,\\; -2,\\; 0), \\quad D = (0,\\; 2,\\; 0)\\]

\n

Sprawdzenie: \\(|AB| = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12+4} = 4\\) ✓

\n

Krok 3: Wyznacz pozycję wierzchołka S.

\n

Warunek \\(|AS| = |CS|\\): S leży na prostopadłościennej płaszczyźnie symetrii odcinka AC, czyli na płaszczyźnie \\(x = 0\\).

\n

Warunek \\(|BS| = |DS|\\): S leży na płaszczyźnie symetrii odcinka BD, czyli na płaszczyźnie \\(y = 0\\).

\n

Zatem \\(S = (0,\\; 0,\\; h)\\) - wierzchołek leży dokładnie nad środkiem O.

\n

Krok 4: Oblicz wysokość h.

\n

Z warunku \\(|AS| = 10\\):
\\[|AS|^2 = (2\\sqrt{3})^2 + 0^2 + h^2 = 12 + h^2 = 100\\]
\\[h^2 = 88, \\quad h = 2\\sqrt{22}\\]

\n

Krok 5: Oblicz \\(|BS|\\).

\n

\\[|BS|^2 = 0^2 + 2^2 + h^2 = 4 + 88 = 92\\]
\\[|BS| = 2\\sqrt{23}\\]

\n

Krok 6: Wyznacz kąt nachylenia BS do podstawy.

\n

Rzut prostokątny S na płaszczyznę podstawy to O = (0, 0, 0).
Rzut krawędzi BS na podstawę to odcinek BO.

\n

Powstaje trójkąt prostokątny BOS z kątem prostym w O:

\n

| Odcinek | Wartość |
| \\(|BO|\\) | \\(2\\) (= połowa przekątnej BD) |
| \\(|OS|\\) | \\(2\\sqrt{22}\\) (wysokość ostrosłupa) |
| \\(|BS|\\) | \\(2\\sqrt{23}\\) (krawędź boczna) |

\n

Kąt nachylenia \\(\\theta = \\angle OBS\\):
\\[\\sin\\theta = \\frac{|OS|}{|BS|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22} \\cdot \\sqrt{23}}{23} = \\boxed{\\dfrac{\\sqrt{506}}{23}}\\]

\n

Sposób 2 - Metoda wektora i kąt z płaszczyzną

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{BS} = S - B = (0, 2, 2\\sqrt{22})\\).

\n

Kąt między linią prostą a płaszczyzną obliczamy jako dopełnienie kąta z normalną \\(\\vec{n} = (0, 0, 1)\\) do podstawy:

\n

\\[\\cos\\varphi = \\frac{|\\overrightarrow{BS} \\cdot \\vec{n}|}{|\\overrightarrow{BS}| \\cdot |\\vec{n}|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{\\sqrt{4 + 88}} = \\frac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}\\]

\n

Kąt nachylenia do płaszczyzny: \\(\\theta = 90° - \\varphi\\), więc:
\\[\\sin\\theta = \\cos\\varphi = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{506}}{23}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Sprawdzenie jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\theta + \\cos^2\\theta = \\frac{22}{23} + \\frac{1}{23} = \\frac{23}{23} = 1\\; \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-17) - twierdzenie cosinusów:
\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]
Użyte do obliczenia przekątnych AC i BD rombu z warunku bocznego i kąta.

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pojęcie wysokości ostrosłupa i rzutu prostokątnego.
Użyte do wyznaczenia \\(h\\) i trójkąta prostokątnego BOS.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\theta = \\frac{\\text{przeciwprostokątna katety prostopadłej}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
Użyte w Kroku 6 do odczytu sinusa kąta nachylenia.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Wzięcie połowy drugiej przekątnej: \\(|AO| = 2\\sqrt{3}\\) jako odległość poziomą zamiast \\(|BO| = 2\\). Daje \\(\\sin\\theta = \\frac{2\\sqrt{22}}{\\sqrt{88+12}} = \\frac{2\\sqrt{22}}{10} = \\frac{\\sqrt{22}}{5}\\) |
| C | Obliczenie cosinusa zamiast sinusa: \\(\\cos\\theta = \\frac{|BO|}{|BS|} = \\frac{2}{2\\sqrt{23}} = \\frac{1}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{23}}{23}\\) |
| D | Pomieszanie kąta z płaszczyzną z kątem z pionową osią; użycie \\(\\frac{h}{|AS|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{10} = \\frac{\\sqrt{22}}{5}\\) zamiast \\(\\frac{h}{|BS|}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Klucz zadania to rozpoznanie, że S leży dokładnie nad środkiem O rombu - bo oba warunki (\\(|AS|=|CS|\\) i \\(|BS|=|DS|\\)) razem wymuszają \\(S = (0,0,h)\\). Bez tego nie możemy poprawnie wyznaczyć trójkąta prostokątnego.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia BS do podstawy to kąt przy wierzchołku B (nie przy S!) w trójkącie prostokątnym BOS. Częsty błąd to mylenie go z kątem przy O lub S.
\n
⚠️ Uwaga: Odległość pozioma \\(|BO|\\) to połowa przekątnej BD, czyli \\(\\frac{4}{2} = 2\\) - nie mylić z połową przekątnej AC równą \\(2\\sqrt{3}\\). Krawędź BS biegnie z B do S, więc liczy się przekątna przez B, czyli BD!
\n

Odpowiedź: \\(\\sin\\beta = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{506}}{23}\\) (\\(\\approx 0{,}9780\\)).

\n
Sposób 1 - Wysokość ostrosłupa + Pitagoras
\n

Przekątne rombu. Kąt \\(\\angle ABC = 120^{\\circ}\\) oznacza, że trójkąt \\(ABC\\) ma w \\(B\\) kąt \\(120^{\\circ}\\) z bokami \\(|AB|=|BC|=4\\). Przekątna \\(|AC|\\) (krótsza, ale w tym ułożeniu):
\\[|AC|^{2} = 4^{2}+4^{2}-2\\cdot 4\\cdot 4\\cos 120^{\\circ} = 16+16+16 = 48, \\quad |AC| = 4\\sqrt{3}.\\]
Dla trójkąta \\(BCD\\) (kąt \\(\\angle BCD = 180^{\\circ}-120^{\\circ}=60^{\\circ}\\)): trójkąt równoboczny, \\(|BD| = 4\\).

\n

Oznaczmy \\(O\\) - przecięcie przekątnych (środek rombu): \\(|AO|=|OC|=\\tfrac{|AC|}{2}=2\\sqrt{3}\\), \\(|BO|=|OD|=2\\).

\n

Położenie wierzchołka \\(S\\). \\(|AS|=|CS|=10\\) i \\(|BS|=|DS|\\). Stąd \\(S\\) leży na prostopadłej do płaszczyzny rombu przechodzącej przez \\(O\\) (bo \\(O\\) jest środkiem symetrii).

\n

Oznaczmy \\(h=|OS|\\) (wysokość ostrosłupa). Z trójkąta \\(AOS\\) (prostokątny):
\\[|AS|^{2} = |AO|^{2} + h^{2} \\Rightarrow 100 = 12 + h^{2} \\Rightarrow h^{2} = 88, \\quad h = 2\\sqrt{22}.\\]

\n

Długość \\(|BS|\\). Z trójkąta \\(BOS\\) (prostokątny):
\\[|BS|^{2} = |BO|^{2} + h^{2} = 4 + 88 = 92, \\quad |BS| = 2\\sqrt{23}.\\]

\n

Kąt nachylenia krawędzi \\(BS\\) do podstawy.
Kąt \\(\\beta = \\angle SBO\\). Rzut \\(S\\) na płaszczyznę podstawy to \\(O\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(SOB\\):
\\[\\sin\\beta = \\dfrac{h}{|BS|} = \\dfrac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{22}\\cdot \\sqrt{23}}{23} = \\dfrac{\\sqrt{506}}{23} \\approx 0{,}9780.\\]

\n
Sposób 2 - Przez tangens i jedynkę trygonometryczną
\n

Z trójkąta \\(SOB\\): \\(\\tan\\beta = \\dfrac{h}{|OB|} = \\dfrac{2\\sqrt{22}}{2} = \\sqrt{22}\\).
\\[\\sin\\beta = \\dfrac{\\tan\\beta}{\\sqrt{1+\\tan^{2}\\beta}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{1+22}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}.\\]

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Uwaga: Dopuszczalna odpowiedź przybliżona \\(\\sin\\beta \\approx \\sin 78^{\\circ} \\approx 0{,}978\\) - jeśli zostało wyliczone z tangensa i tabeli.

\n

Trik: W ostrosłupach o symetrii \\(|AS|=|CS|\\) i \\(|BS|=|DS|\\) wysokość pada na przecięcie przekątnych. Kąt nachylenia krawędzi: \\(\\sin\\beta = \\tfrac{h}{\\text{krawędź}}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

28 km

"}]}