{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi\ndługości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.\nL\nH\nG\nF\nE\nM\nK\nD\nA\nB\nC\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Pą_ąP-112\n32\n33\n27\n28\n29\n30\n31\n26\n25\n24\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nSUMA\nPUNKTÓW\nD\nJ\n0\n0\n1\n1\n2\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n8\n9\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\nOdpowiedzi\nNr\nzad.\nPESEL\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\n\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nRozwiązanie\nTrójkąt ABK jest trójkątem prostokątnym, zatem\n2\n2\n1\n1\n2\nAK\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n. Stąd\n2\n5\n4\nAK\nTrójkąt MAK jest trójkątem prostokątnym, zatem\n2\n2\n2\n2\n1\n5\n3\n2\n4\n2\nMK\nMA\nAK\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nAnalogicznie dla trójkątów MEL i LGK obliczamy kwadraty długości boków ML i KL:\n2\n2\n3\n2\nML\nKL\nPonieważ\n2\n2\n2\nML\nKL\nMK\n, więc trójkąt KLM jest równoboczny.\nZatem jego pole wyraża się wzorem\n2\n3\n4\nMK\nP =\n, stąd\n3\n3\n3\n2\n3\n4\n8\nP\n⋅\nUwaga\nZdający nie musi obliczać kwadratów długości boków ML i KL. Wystarczy, że korzystając\nz przystawania trójkątów MAK , MEL , LGK uzasadni równość boków: ML\nKL\nMK\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczenie związków miarowych w sześcianie\nL\nH\nG\nF\nE\nM\nK\nD\nA\nB\nC\nKryteria oceniania odpowiedzi\n29\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie kwadratu długości odcinka AK :\n2\n5\n4\nAK\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\n• obliczenie\nkwadratów\ndługości\nlub\ndługości\nboków\ntrójkąta\nKLM:\n2\n2\n2\n3\n2\nML\nKL\nMK\nlub\n6\n2\nML\nKL\nMK\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełni błędy\nalbo\n• zauważenie, że trójkąt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu długości jednego\nz boków tego trójkąta, np.\n2\n3\n2\nMK\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie pola trójkąta KLM :\n3 3\n8\nP =\nUwaga\nAkceptujemy rozwiązanie, w którym zdający przyjmuje, że długość krawędzi sześcianu jest\noznaczona literą l.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nIstnieją dokładnie **dwa** okręgi spełniające warunki zadania:\n\\[(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25 \\qquad \\text{oraz} \\qquad (x - 13)^2 + (y - 13)^2 = 169\\]\n\n## Sposób 1 - Algebraiczny (warunek styczności + punkt na okręgu)\n\n**Krok 1: Ustal postać środka okręgu stycznego do obu osi.**\n\nOkrąg styczny do obu osi układu współrzędnych musi być równoodległy od obu osi. Skoro oś \\(OX\\) to \\(y = 0\\), a oś \\(OY\\) to \\(x = 0\\), to środek \\(S = (a, b)\\) leży w równej odległości od obu - zatem \\(|a| = |b| = r\\), gdzie \\(r > 0\\) to promień.\n\nMamy 4 możliwe przypadki dla środka:\n- **Przypadek 1:** \\(S = (r, r)\\)\n- **Przypadek 2:** \\(S = (-r, r)\\)\n- **Przypadek 3:** \\(S = (r, -r)\\)\n- **Przypadek 4:** \\(S = (-r, -r)\\)\n\n**Krok 2: Przypadek 1 - środek \\(S = (r, r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\nPunkt \\(A = (1, 8)\\) leży na okręgu, więc:\n\\[|SA|^2 = r^2\\]\n\\[(1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\]\n\\[1 - 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 - 18r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 18^2 - 4 \\cdot 65 = 324 - 260 = 64\\]\n\\[r = \\frac{18 \\pm 8}{2}\\]\n\nStąd: \\(r_1 = 13\\) lub \\(r_2 = 5\\) - oba dodatnie, oba poprawne!\n\n**Dwa okręgi z tego przypadku:**\n\\[\\boxed{(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25} \\quad \\text{oraz} \\quad \\boxed{(x-13)^2 + (y-13)^2 = 169}\\]\n\n**Krok 3: Przypadek 2 - środek \\(S = (-r, r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\n\\[(1 + r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\]\n\\[1 + 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 - 14r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 196 - 260 = -64 < 0\\]\n\n**Brak rozwiązań rzeczywistych.** Ten przypadek odpada.\n\n**Krok 4: Przypadek 3 - środek \\(S = (r, -r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\n\\[(1 - r)^2 + (8 + r)^2 = r^2\\]\n\\[1 - 2r + r^2 + 64 + 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 + 14r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 196 - 260 = -64 < 0\\]\n\n**Brak rozwiązań rzeczywistych.** Ten przypadek odpada.\n\n**Krok 5: Przypadek 4 - środek \\(S = (-r, -r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\n\\[(1 + r)^2 + (8 + r)^2 = r^2\\]\n\\[1 + 2r + r^2 + 64 + 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 + 18r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 324 - 260 = 64\\]\n\\[r = \\frac{-18 \\pm 8}{2}\\]\n\nStąd: \\(r = -5\\) lub \\(r = -13\\) - oba **ujemne**, więc **odrzucamy** (promień musi być dodatni).\n\n**Wniosek:** Tylko przypadek 1 daje rozwiązania.\n\n\\[\\boxed{(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25 \\qquad \\text{oraz} \\qquad (x-13)^2 + (y-13)^2 = 169}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, czy punkt \\(A = (1, 8)\\) faktycznie leży na obu okręgach i czy okręgi są styczne do obu osi.\n\n**Okrąg 1:** \\((x-5)^2 + (y-5)^2 = 25\\), środek \\((5, 5)\\), promień \\(5\\)\n- Odległość środka od osi \\(OX\\): \\(|5| = 5 = r\\) ✓\n- Odległość środka od osi \\(OY\\): \\(|5| = 5 = r\\) ✓\n- Punkt \\(A\\): \\((1-5)^2 + (8-5)^2 = 16 + 9 = 25 = r^2\\) ✓\n\n**Okrąg 2:** \\((x-13)^2 + (y-13)^2 = 169\\), środek \\((13, 13)\\), promień \\(13\\)\n- Odległość środka od osi \\(OX\\): \\(|13| = 13 = r\\) ✓\n- Odległość środka od osi \\(OY\\): \\(|13| = 13 = r\\) ✓\n- Punkt \\(A\\): \\((1-13)^2 + (8-13)^2 = 144 + 25 = 169 = r^2\\) ✓\n\nOba okręgi spełniają wszystkie warunki.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nRównanie okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - najpierw do zapisania warunku przechodzenia przez punkt \\(A\\), potem do podania wyniku końcowego.\n\nOdległość punktu od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nWarunek styczności do osi \\(OX\\) (prosta \\(y = 0\\)): \\(d = |b| = r\\). Warunek styczności do osi \\(OY\\) (prosta \\(x = 0\\)): \\(d = |a| = r\\). Stąd wprost wynika, że \\(|a| = |b| = r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj o **wszystkich czterech ćwiartkach** - środek stycznego do obu osi okręgu może leżeć w każdej z nich. Tutaj przypadki 2, 3, 4 wypadają, ale trzeba to sprawdzić - na egzaminie \"rozważ wszystkie przypadki\" to sygnał, że egzaminator oczekuje analizy każdego z nich.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przypadek 4 daje \\(\\Delta > 0\\), ale oba rozwiązania są ujemne - **nie wolno ich przyjąć** jako promień. To klasyczna pułapka: nie każde rozwiązanie równania jest rozwiązaniem zadania geometrycznego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\) łatwo popełnić błąd znaku lub zapomnieć rozwinąć jeden z nawiasów. Działaj krok po kroku i zawsze upraszczaj do trójmianu kwadratowego przed liczeniem \\(\\Delta\\).\n\n**Odpowiedź:** Są dwa okręgi:\n\\[(x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 25 \\quad \\text{oraz} \\quad (x-13)^{2}+(y-13)^{2} = 169.\\]\n\n### Sposób 1 - Położenie środka + podstawienie\nPunkt \\(A=(1,8)\\) leży w **I ćwiartce** (\\(x>0, y>0\\)). Okrąg styczny do obu osi ma środek w takiej samej odległości od obu osi - to odległość równa promieniowi \\(r\\). Stąd środek \\(S=(r, r)\\), a okrąg:\n\\[(x-r)^{2} + (y-r)^{2} = r^{2}.\\]\n\n**Warunek przejścia przez \\(A\\):**\n\\[(1-r)^{2} + (8-r)^{2} = r^{2}\\]\n\\[1 - 2r + r^{2} + 64 - 16r + r^{2} = r^{2}\\]\n\\[r^{2} - 18r + 65 = 0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = 324 - 260 = 64\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=8\\). Pierwiastki:\n\\[r_{1} = \\dfrac{18-8}{2} = 5, \\qquad r_{2} = \\dfrac{18+8}{2} = 13.\\]\n\n**Dwa okręgi:**\n- \\(r=5\\): środek \\(S_{1}=(5,5)\\), równanie \\((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\\).\n- \\(r=13\\): środek \\(S_{2}=(13,13)\\), równanie \\((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\\).\n\n**Sprawdzenie A w obu:**\n- \\((1-5)^{2}+(8-5)^{2} = 16 + 9 = 25\\) ✓.\n- \\((1-13)^{2}+(8-13)^{2} = 144 + 25 = 169\\) ✓.\n\n**Uwaga o innych ćwiartkach.** Punkt \\(A=(1,8)\\) jest w I ćwiartce. Okrąg styczny do obu osi musi leżeć w tej samej ćwiartce co punkt, bo inaczej nie mógłby jednocześnie być styczny do osi i przechodzić przez \\(A\\). Zatem rozpatrujemy tylko przypadek środka \\((r,r)\\) z \\(r>0\\).\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna okręgu\nRozwijamy \\((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0\\).\nRozwijamy \\((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie, że środek leży na prostej \\(y=x\\) lub \\(S=(r,r)\\).\n- **2 pkt:** Zapisanie równania kwadratowego \\(r^{2}-18r+65=0\\).\n- **3 pkt:** Rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym lub zapisanie tylko jednego z okręgów.\n- **4 pkt:** Zapisanie równań **obu** okręgów.\n\n**Uwagi (zgodnie z CKE):** Zapisanie równań obu okręgów **i** stwierdzenie, że nie ma innych \\(\\Rightarrow\\) 4 pkt. Zapisanie tylko jednego okręgu \\(\\Rightarrow\\) 1 pkt.\n\n**Trik:** Okrąg styczny do obu osi ma środek w \\((\\pm r, \\pm r)\\), w zależności od ćwiartki. Do punktu w I ćwiartce → dwa okręgi (mniejszy i większy, oba w I ćwiartce).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (4 pkt)<br>Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi<br>długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.<br>L<br>H<br>G<br>F<br>E<br>M<br>K<br>D<br>A<br>B<br>C</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>19<br>Odpowiedź:<br>Nr zadania<br>33.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>20<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>MMA-Pą_ąP-112<br>32<br>33<br>27<br>28<br>29<br>30<br>31<br>26<br>25<br>24<br>Nr<br>zad.<br>Punkty<br>0<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>WYPEŁNIA EGZAMINATOR<br>WYPEŁNIA ZDAJĄCY<br>SUMA<br>PUNKTÓW<br>D<br>J<br>0<br>0<br>1<br>1<br>2<br>2<br>3<br>3<br>4<br>4<br>5<br>5<br>6<br>6<br>7<br>7<br>8<br>8<br>9<br>9<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>6<br>7<br>8<br>9<br>10<br>11<br>12<br>13<br>14<br>15<br>16<br>17<br>18<br>19<br>20<br>21<br>22<br>23<br>Odpowiedzi<br>Nr<br>zad.<br>PESEL<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>A<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>B<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>D<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>C<br>Miejsce na naklejkę<br>z nr PESEL</p>\n<p>KOD EGZAMINATORA<br>Czytelny podpis egzaminatora<br>KOD ZDAJĄCEGO<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Rozwiązanie<br>Trójkąt ABK jest trójkątem prostokątnym, zatem<br>2<br>2<br>1<br>1<br>2<br>AK<br>⎛<br>⎞<br>⎜<br>⎟<br>⎝<br>⎠<br>. Stąd<br>2<br>5<br>4<br>AK<br>Trójkąt MAK jest trójkątem prostokątnym, zatem<br>2<br>2<br>2<br>2<br>1<br>5<br>3<br>2<br>4<br>2<br>MK<br>MA<br>AK<br>⎛<br>⎞<br>⎜<br>⎟<br>⎝<br>⎠<br>Analogicznie dla trójkątów MEL i LGK obliczamy kwadraty długości boków ML i KL:<br>2<br>2<br>3<br>2<br>ML<br>KL<br>Ponieważ<br>2<br>2<br>2<br>ML<br>KL<br>MK<br>, więc trójkąt KLM jest równoboczny.<br>Zatem jego pole wyraża się wzorem<br>2<br>3<br>4<br>MK<br>P =<br>, stąd<br>3<br>3<br>3<br>2<br>3<br>4<br>8<br>P<br>⋅<br>Uwaga<br>Zdający nie musi obliczać kwadratów długości boków ML i KL. Wystarczy, że korzystając<br>z przystawania trójkątów MAK , MEL , LGK uzasadni równość boków: ML<br>KL<br>MK<br>Użycie i tworzenie strategii<br>Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie<br>L<br>H<br>G<br>F<br>E<br>M<br>K<br>D<br>A<br>B<br>C<br>Kryteria oceniania odpowiedzi<br>29<br>Schemat oceniania<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt<br>Obliczenie kwadratu długości odcinka AK :<br>2<br>5<br>4<br>AK<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt<br>• obliczenie<br>kwadratów<br>długości<br>lub<br>długości<br>boków<br>trójkąta<br>KLM:<br>2<br>2<br>2<br>3<br>2<br>ML<br>KL<br>MK<br>lub<br>6<br>2<br>ML<br>KL<br>MK<br>i na tym poprzestanie lub<br>dalej popełni błędy<br>albo<br>• zauważenie, że trójkąt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu długości jednego<br>z boków tego trójkąta, np.<br>2<br>3<br>2<br>MK<br>Rozwiązanie pełne 4 pkt<br>Obliczenie pola trójkąta KLM :<br>3 3<br>8<br>P =<br>Uwaga<br>Akceptujemy rozwiązanie, w którym zdający przyjmuje, że długość krawędzi sześcianu jest<br>oznaczona literą l.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p>Istnieją dokładnie <strong>dwa</strong> okręgi spełniające warunki zadania:<br>\\[(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25 \\qquad \\text{oraz} \\qquad (x - 13)^2 + (y - 13)^2 = 169\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Algebraiczny (warunek styczności + punkt na okręgu)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ustal postać środka okręgu stycznego do obu osi.</strong></p>\n<p>Okrąg styczny do obu osi układu współrzędnych musi być równoodległy od obu osi. Skoro oś \\(OX\\) to \\(y = 0\\), a oś \\(OY\\) to \\(x = 0\\), to środek \\(S = (a, b)\\) leży w równej odległości od obu - zatem \\(|a| = |b| = r\\), gdzie \\(r &gt; 0\\) to promień.</p>\n<p>Mamy 4 możliwe przypadki dla środka:</p>\n<ul><li><strong>Przypadek 1:</strong> \\(S = (r, r)\\)</li><li><strong>Przypadek 2:</strong> \\(S = (-r, r)\\)</li><li><strong>Przypadek 3:</strong> \\(S = (r, -r)\\)</li><li><strong>Przypadek 4:</strong> \\(S = (-r, -r)\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 2: Przypadek 1 - środek \\(S = (r, r)\\), promień \\(r &gt; 0\\)</strong></p>\n<p>Punkt \\(A = (1, 8)\\) leży na okręgu, więc:<br>\\[|SA|^2 = r^2\\]<br>\\[(1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\]<br>\\[1 - 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2\\]<br>\\[r^2 - 18r + 65 = 0\\]</p>\n<p>Wyróżnik:<br>\\[\\Delta = 18^2 - 4 \\cdot 65 = 324 - 260 = 64\\]<br>\\[r = \\frac{18 \\pm 8}{2}\\]</p>\n<p>Stąd: \\(r_1 = 13\\) lub \\(r_2 = 5\\) - oba dodatnie, oba poprawne!</p>\n<p><strong>Dwa okręgi z tego przypadku:</strong><br>\\[\\boxed{(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25} \\quad \\text{oraz} \\quad \\boxed{(x-13)^2 + (y-13)^2 = 169}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Przypadek 2 - środek \\(S = (-r, r)\\), promień \\(r &gt; 0\\)</strong></p>\n<p>\\[(1 + r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\]<br>\\[1 + 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2\\]<br>\\[r^2 - 14r + 65 = 0\\]</p>\n<p>Wyróżnik:<br>\\[\\Delta = 196 - 260 = -64 &lt; 0\\]</p>\n<p><strong>Brak rozwiązań rzeczywistych.</strong> Ten przypadek odpada.</p>\n<p><strong>Krok 4: Przypadek 3 - środek \\(S = (r, -r)\\), promień \\(r &gt; 0\\)</strong></p>\n<p>\\[(1 - r)^2 + (8 + r)^2 = r^2\\]<br>\\[1 - 2r + r^2 + 64 + 16r + r^2 = r^2\\]<br>\\[r^2 + 14r + 65 = 0\\]</p>\n<p>Wyróżnik:<br>\\[\\Delta = 196 - 260 = -64 &lt; 0\\]</p>\n<p><strong>Brak rozwiązań rzeczywistych.</strong> Ten przypadek odpada.</p>\n<p><strong>Krok 5: Przypadek 4 - środek \\(S = (-r, -r)\\), promień \\(r &gt; 0\\)</strong></p>\n<p>\\[(1 + r)^2 + (8 + r)^2 = r^2\\]<br>\\[1 + 2r + r^2 + 64 + 16r + r^2 = r^2\\]<br>\\[r^2 + 18r + 65 = 0\\]</p>\n<p>Wyróżnik:<br>\\[\\Delta = 324 - 260 = 64\\]<br>\\[r = \\frac{-18 \\pm 8}{2}\\]</p>\n<p>Stąd: \\(r = -5\\) lub \\(r = -13\\) - oba <strong>ujemne</strong>, więc <strong>odrzucamy</strong> (promień musi być dodatni).</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Tylko przypadek 1 daje rozwiązania.</p>\n<p>\\[\\boxed{(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25 \\qquad \\text{oraz} \\qquad (x-13)^2 + (y-13)^2 = 169}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy oba wyniki, czy punkt \\(A = (1, 8)\\) faktycznie leży na obu okręgach i czy okręgi są styczne do obu osi.</p>\n<p><strong>Okrąg 1:</strong> \\((x-5)^2 + (y-5)^2 = 25\\), środek \\((5, 5)\\), promień \\(5\\)</p>\n<ul><li>Odległość środka od osi \\(OX\\): \\(|5| = 5 = r\\) ✓</li><li>Odległość środka od osi \\(OY\\): \\(|5| = 5 = r\\) ✓</li><li>Punkt \\(A\\): \\((1-5)^2 + (8-5)^2 = 16 + 9 = 25 = r^2\\) ✓</li></ul>\n<p><strong>Okrąg 2:</strong> \\((x-13)^2 + (y-13)^2 = 169\\), środek \\((13, 13)\\), promień \\(13\\)</p>\n<ul><li>Odległość środka od osi \\(OX\\): \\(|13| = 13 = r\\) ✓</li><li>Odległość środka od osi \\(OY\\): \\(|13| = 13 = r\\) ✓</li><li>Punkt \\(A\\): \\((1-13)^2 + (8-13)^2 = 144 + 25 = 169 = r^2\\) ✓</li></ul>\n<p>Oba okręgi spełniają wszystkie warunki.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Równanie okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - najpierw do zapisania warunku przechodzenia przez punkt \\(A\\), potem do podania wyniku końcowego.</p>\n<p>Odległość punktu od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):<br>\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]</p>\n<p>Warunek styczności do osi \\(OX\\) (prosta \\(y = 0\\)): \\(d = |b| = r\\). Warunek styczności do osi \\(OY\\) (prosta \\(x = 0\\)): \\(d = |a| = r\\). Stąd wprost wynika, że \\(|a| = |b| = r\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zapominaj o <strong>wszystkich czterech ćwiartkach</strong> - środek stycznego do obu osi okręgu może leżeć w każdej z nich. Tutaj przypadki 2, 3, 4 wypadają, ale trzeba to sprawdzić - na egzaminie &quot;rozważ wszystkie przypadki&quot; to sygnał, że egzaminator oczekuje analizy każdego z nich.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przypadek 4 daje \\(\\Delta &gt; 0\\), ale oba rozwiązania są ujemne - <strong>nie wolno ich przyjąć</strong> jako promień. To klasyczna pułapka: nie każde rozwiązanie równania jest rozwiązaniem zadania geometrycznego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\((1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\) łatwo popełnić błąd znaku lub zapomnieć rozwinąć jeden z nawiasów. Działaj krok po kroku i zawsze upraszczaj do trójmianu kwadratowego przed liczeniem \\(\\Delta\\).</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Są dwa okręgi:<br>\\[(x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 25 \\quad \\text{oraz} \\quad (x-13)^{2}+(y-13)^{2} = 169.\\]</p>\n<h5>Sposób 1 - Położenie środka + podstawienie</h5>\n<p>Punkt \\(A=(1,8)\\) leży w <strong>I ćwiartce</strong> (\\(x&gt;0, y&gt;0\\)). Okrąg styczny do obu osi ma środek w takiej samej odległości od obu osi - to odległość równa promieniowi \\(r\\). Stąd środek \\(S=(r, r)\\), a okrąg:<br>\\[(x-r)^{2} + (y-r)^{2} = r^{2}.\\]</p>\n<p><strong>Warunek przejścia przez \\(A\\):</strong><br>\\[(1-r)^{2} + (8-r)^{2} = r^{2}\\]<br>\\[1 - 2r + r^{2} + 64 - 16r + r^{2} = r^{2}\\]<br>\\[r^{2} - 18r + 65 = 0.\\]<br>Wyróżnik: \\(\\Delta = 324 - 260 = 64\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=8\\). Pierwiastki:<br>\\[r_{1} = \\dfrac{18-8}{2} = 5, \\qquad r_{2} = \\dfrac{18+8}{2} = 13.\\]</p>\n<p><strong>Dwa okręgi:</strong></p>\n<ul><li>\\(r=5\\): środek \\(S_{1}=(5,5)\\), równanie \\((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\\).</li><li>\\(r=13\\): środek \\(S_{2}=(13,13)\\), równanie \\((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\\).</li></ul>\n<p><strong>Sprawdzenie A w obu:</strong></p>\n<ul><li>\\((1-5)^{2}+(8-5)^{2} = 16 + 9 = 25\\) ✓.</li><li>\\((1-13)^{2}+(8-13)^{2} = 144 + 25 = 169\\) ✓.</li></ul>\n<p><strong>Uwaga o innych ćwiartkach.</strong> Punkt \\(A=(1,8)\\) jest w I ćwiartce. Okrąg styczny do obu osi musi leżeć w tej samej ćwiartce co punkt, bo inaczej nie mógłby jednocześnie być styczny do osi i przechodzić przez \\(A\\). Zatem rozpatrujemy tylko przypadek środka \\((r,r)\\) z \\(r&gt;0\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać ogólna okręgu</h5>\n<p>Rozwijamy \\((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0\\).<br>Rozwijamy \\((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\\).</p>\n<h5>Uwagi punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt:</strong> Zapisanie, że środek leży na prostej \\(y=x\\) lub \\(S=(r,r)\\).</li><li><strong>2 pkt:</strong> Zapisanie równania kwadratowego \\(r^{2}-18r+65=0\\).</li><li><strong>3 pkt:</strong> Rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym lub zapisanie tylko jednego z okręgów.</li><li><strong>4 pkt:</strong> Zapisanie równań <strong>obu</strong> okręgów.</li></ul>\n<p><strong>Uwagi (zgodnie z CKE):</strong> Zapisanie równań obu okręgów <strong>i</strong> stwierdzenie, że nie ma innych \\(\\Rightarrow\\) 4 pkt. Zapisanie tylko jednego okręgu \\(\\Rightarrow\\) 1 pkt.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Okrąg styczny do obu osi ma środek w \\((\\pm r, \\pm r)\\), w zależności od ćwiartki. Do punktu w I ćwiartce → dwa okręgi (mniejszy i większy, oba w I ćwiartce).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P = \\dfrac{3}{8}\\sqrt{3}$</p>"}]}