{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nUkład równań 4\n2\n10\n6\n15\nx\ny\nx\nay\n⎧\n⎨\n⎩\nma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli\nA.\n1\na = -\nB.\n0\na =\nC.\n2\na =\nD.\n3\na =\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Układ równań {4x+2y=10, 6x+ay=15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A. a=-1, B. a=0, C. a=2, D. a=3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie układu równań\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie przez definicję wartości bezwzględnej\n\nRównanie \\(|4x - 5| = x\\) rozwiązujemy, rozważając dwa przypadki.\n\n**Ważna uwaga na start:** Prawa strona to \\(x\\), a wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc musi być \\(x \\geq 0\\). Odpowiedzi A i D (\\(x < 0\\)) od razu odpadają.\n\n**Przypadek 1:** \\(4x - 5 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq \\frac{5}{4}\\)\n\nWtedy \\(|4x - 5| = 4x - 5\\), więc równanie staje się:\n\\[4x - 5 = x\\]\n\\[3x = 5\\]\n\\[x = \\frac{5}{3}\\]\n\nSprawdzamy warunek: \\(\\frac{5}{3} \\geq \\frac{5}{4}\\) ✓\n\nAle \\(\\frac{5}{3} \\notin \\{-1, 1, 2, -2\\}\\) - ta wartość nie pojawia się wśród odpowiedzi (wrócimy do tego w podsumowaniu).\n\n**Przypadek 2:** \\(4x - 5 < 0\\), czyli \\(x < \\frac{5}{4}\\)\n\nWtedy \\(|4x - 5| = -(4x - 5) = -4x + 5\\), więc:\n\\[-4x + 5 = x\\]\n\\[5 = 5x\\]\n\\[x = 1\\]\n\nSprawdzamy warunek: \\(1 < \\frac{5}{4}\\) ✓\n\n**Sprawdzenie w oryginalnym równaniu:**\n\\[|4 \\cdot 1 - 5| = |{-1}| = 1 = x \\checkmark\\]\n\n**Spośród podanych odpowiedzi jedyną spełniającą równanie jest \\(x = 1\\).**\n\n## Sposób 2 - Podstawianie odpowiedzi (sprawdzanie)\n\nPonieważ zadanie jest wielokrotnego wyboru, możemy sprawdzić każdą odpowiedź bezpośrednio:\n\n| Odp. | \\(x\\) | \\(|4x-5|\\) | \\(= x\\)? |\n| A | \\(-1\\) | \\(|{-4-5}| = 9\\) | \\(9 \\neq -1\\) ✗ |\n| **B** | **\\(1\\)** | **\\(|4-5| = 1\\)** | **\\(1 = 1\\) ✓** |\n| C | \\(2\\) | \\(|8-5| = 3\\) | \\(3 \\neq 2\\) ✗ |\n| D | \\(-2\\) | \\(|{-8-5}| = 13\\) | \\(13 \\neq -2\\) ✗ |\n\n**Tylko \\(x = 1\\) spełnia równanie.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1, rozbijając na dwa przypadki w zależności od znaku wyrażenia \\(4x - 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(x = -1\\) | Uczeń \"rozwiązuje\" \\(4x - 5 = x\\) i popełnia błąd arytmetyczny, albo zapomina, że \\(| | \\geq 0\\), więc \\(x\\) nie może być ujemne |\n| C: \\(x = 2\\) | Uczeń przypadkowo sprawdza tylko \\(|4x-5| = 3\\) i myli wynik \\(3\\) z \\(x=2\\), albo rozwiązuje błędnie \\(4x-5=x\\) jako \\(x=2\\) |\n| D: \\(x = -2\\) | Podobnie jak A - ignoruje warunek \\(x \\geq 0\\) wynikający z definicji wartości bezwzględnej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna jest zawsze \\(\\geq 0\\), więc jeśli równanie ma postać \\(| | = x\\), to od razu wiemy, że \\(x \\geq 0\\). Eliminuje to od razu odpowiedzi ujemne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozbiciu na przypadki zawsze sprawdź, czy znalezione \\(x\\) spełnia **warunek przypadku** (np. \\(x < \\frac{5}{4}\\)). Rozwiązanie niespełniające warunku jest odrzucane.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze podstaw wynik do oryginalnego równania - to najszybszy sposób weryfikacji i uniknięcia błędów rachunkowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Sprawdzenie każdej opcji\n- A. \\(x=-1\\): \\(|4(-1)-5|=|-9|=9\\); \\(x=-1\\). \\(9\\ne -1\\). Poza tym, \\(|4x-5|\\ge 0\\), więc \\(x\\ge 0\\).\n- B. \\(x=1\\): \\(|4-5| = 1\\); \\(x=1\\). ✓\n- C. \\(x=2\\): \\(|8-5| = 3\\); \\(x=2\\). \\(3\\ne 2\\).\n- D. \\(x=-2\\): podobnie - \\(x<0\\), niemożliwe.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie systematyczne\nRównanie \\(|4x-5|=x\\) ma sens tylko dla \\(x\\ge 0\\). Rozważamy dwa przypadki:\n- \\(4x-5 \\ge 0\\) (tj. \\(x\\ge \\tfrac{5}{4}\\)): \\(4x-5 = x \\Rightarrow 3x=5 \\Rightarrow x=\\tfrac{5}{3}\\).\n- \\(4x-5 < 0\\) (tj. \\(x<\\tfrac{5}{4}\\)): \\(-(4x-5) = x \\Rightarrow -4x+5=x \\Rightarrow 5x=5 \\Rightarrow x=1\\).\n\nOba rozwiązania są dodatnie, ale wśród opcji tylko \\(x=1\\) (odp. B).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-1\\)**, **D. \\(-2\\)** - ujemne, a \\(|4x-5|\\ge 0\\).\n- **C. \\(2\\)** - \\(|4\\cdot 2-5|=3\\ne 2\\).\n\n**Trik:** W \\(|f(x)|=g(x)\\) zawsze \\(g(x)\\ge 0\\) - zawęża dziedzinę.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Układ równań 4
2
10
6
15
x
y
x
ay
⎧
⎨
⎩
ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli
A.
1
a = -
B.
0
a =
C.
2
a =
D.
3
a =
Matura podstawowa z matematyki 2011. Układ równań {4x+2y=10, 6x+ay=15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A. a=-1, B. a=0, C. a=2, D. a=3

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Modelowanie matematyczne
Rozwiązanie układu równań
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 1\\)

\n

Sposób 1 - Rozwiązanie przez definicję wartości bezwzględnej

\n

Równanie \\(|4x - 5| = x\\) rozwiązujemy, rozważając dwa przypadki.

\n

Ważna uwaga na start: Prawa strona to \\(x\\), a wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc musi być \\(x \\geq 0\\). Odpowiedzi A i D (\\(x < 0\\)) od razu odpadają.

\n

Przypadek 1: \\(4x - 5 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq \\frac{5}{4}\\)

\n

Wtedy \\(|4x - 5| = 4x - 5\\), więc równanie staje się:
\\[4x - 5 = x\\]
\\[3x = 5\\]
\\[x = \\frac{5}{3}\\]

\n

Sprawdzamy warunek: \\(\\frac{5}{3} \\geq \\frac{5}{4}\\) ✓

\n

Ale \\(\\frac{5}{3} \\notin \\{-1, 1, 2, -2\\}\\) - ta wartość nie pojawia się wśród odpowiedzi (wrócimy do tego w podsumowaniu).

\n

Przypadek 2: \\(4x - 5 < 0\\), czyli \\(x < \\frac{5}{4}\\)

\n

Wtedy \\(|4x - 5| = -(4x - 5) = -4x + 5\\), więc:
\\[-4x + 5 = x\\]
\\[5 = 5x\\]
\\[x = 1\\]

\n

Sprawdzamy warunek: \\(1 < \\frac{5}{4}\\) ✓

\n

Sprawdzenie w oryginalnym równaniu:
\\[|4 \\cdot 1 - 5| = |{-1}| = 1 = x \\checkmark\\]

\n

Spośród podanych odpowiedzi jedyną spełniającą równanie jest \\(x = 1\\).

\n

Sposób 2 - Podstawianie odpowiedzi (sprawdzanie)

\n

Ponieważ zadanie jest wielokrotnego wyboru, możemy sprawdzić każdą odpowiedź bezpośrednio:

\n

| Odp. | \\(x\\) | \\(|4x-5|\\) | \\(= x\\)? |
| A | \\(-1\\) | \\(|{-4-5}| = 9\\) | \\(9 \\neq -1\\) ✗ |
| B | \\(1\\) | \\(|4-5| = 1\\) | \\(1 = 1\\) ✓ |
| C | \\(2\\) | \\(|8-5| = 3\\) | \\(3 \\neq 2\\) ✗ |
| D | \\(-2\\) | \\(|{-8-5}| = 13\\) | \\(13 \\neq -2\\) ✗ |

\n

Tylko \\(x = 1\\) spełnia równanie.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - definicja:
\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1, rozbijając na dwa przypadki w zależności od znaku wyrażenia \\(4x - 5\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(x = -1\\) | Uczeń "rozwiązuje" \\(4x - 5 = x\\) i popełnia błąd arytmetyczny, albo zapomina, że \\(| | \\geq 0\\), więc \\(x\\) nie może być ujemne |
| C: \\(x = 2\\) | Uczeń przypadkowo sprawdza tylko \\(|4x-5| = 3\\) i myli wynik \\(3\\) z \\(x=2\\), albo rozwiązuje błędnie \\(4x-5=x\\) jako \\(x=2\\) |
| D: \\(x = -2\\) | Podobnie jak A - ignoruje warunek \\(x \\geq 0\\) wynikający z definicji wartości bezwzględnej |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wartość bezwzględna jest zawsze \\(\\geq 0\\), więc jeśli równanie ma postać \\(| | = x\\), to od razu wiemy, że \\(x \\geq 0\\). Eliminuje to od razu odpowiedzi ujemne!
\n
⚠️ Uwaga: Po rozbiciu na przypadki zawsze sprawdź, czy znalezione \\(x\\) spełnia warunek przypadku (np. \\(x < \\frac{5}{4}\\)). Rozwiązanie niespełniające warunku jest odrzucane.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze podstaw wynik do oryginalnego równania - to najszybszy sposób weryfikacji i uniknięcia błędów rachunkowych.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Sprawdzenie każdej opcji
\n\n
Sposób 2 - Rozwiązanie systematyczne
\n

Równanie \\(|4x-5|=x\\) ma sens tylko dla \\(x\\ge 0\\). Rozważamy dwa przypadki:

\n\n

Oba rozwiązania są dodatnie, ale wśród opcji tylko \\(x=1\\) (odp. B).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: W \\(|f(x)|=g(x)\\) zawsze \\(g(x)\\ge 0\\) - zawęża dziedzinę.

"}]}