{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nRozwiązanie równania (\n)\n(\n)\n4\n49\n3\nx\nx\nx\nx\nnależy do przedziału\nA. (\n)\n,3\n-∞\nB. (\n)\n10,+∞\nC. (\n)1\n,5 -\nD.\n)\n,2\n( +∞\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Rozwiązanie równania x(x+3)-49=x(x-4) należy do przedziału A.(-oo,3), B. (10,+oo), C. (-5,-1), D. (2,+oo)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązanie równania liniowego\ni sprawdzenie czy rozwiązanie należy\ndo danego przedziału\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - cena zmniejszyła się o \\(12\\%\\)\n\n## Sposób 1 - mnożniki procentowe\n\nWeźmy cenę pierwotną jako \\(C\\).\n\n**Krok 1: obniżka o \\(20\\%\\)**\n\nObniżka o \\(20\\%\\) oznacza, że nowa cena to \\(80\\%\\) poprzedniej:\n\\[C_1 = C \\cdot 0{,}8\\]\n\n**Krok 2: podwyżka o \\(10\\%\\)**\n\nPodwyżka o \\(10\\%\\) oznacza, że kolejna cena to \\(110\\%\\) poprzedniej:\n\\[C_2 = C_1 \\cdot 1{,}1 = C \\cdot 0{,}8 \\cdot 1{,}1\\]\n\n**Krok 3: obliczamy wynik**\n\n\\[C_2 = C \\cdot 0{,}88\\]\n\nCena ostateczna stanowi \\(88\\%\\) ceny pierwotnej, zatem **zmniejszyła się o \\(12\\%\\)**.\n\n## Sposób 2 - konkretna liczba (przykład liczbowy)\n\nPrzyjmijmy cenę pierwotną \\(C = 100\\) zł.\n\n**Obniżka o \\(20\\%\\):**\n\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]\n\n**Podwyżka o \\(10\\%\\):**\n\\[80 + 10\\% \\cdot 80 = 80 + 8 = 88 \\text{ zł}\\]\n\nCena zmieniła się ze \\(100\\) zł na \\(88\\) zł, czyli **zmniejszyła się o \\(12\\) zł**, co stanowi \\(12\\%\\) ceny pierwotnej.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i mnożniki procentowe (podstawowe działania arytmetyczne).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((88\\%)\\) | Uczeń poprawnie obliczył, że cena wynosi \\(88\\%\\) pierwotnej, ale zapomniał odjąć od \\(100\\%\\) - to jest nowa **wartość** ceny, nie **zmiana** |\n| B \\((15\\%)\\) | Typowy błąd: odjęcie \\(20\\% - 10\\% = 10\\%\\) daje \\(10\\%\\), a może uczeń próbował uśredniać lub inne błędne dodawanie; prowadzi do \\(15\\%\\) gdy np. liczy \\(\\frac{20\\%+10\\%}{2}\\) albo miesza działania |\n| D \\((10\\%)\\) | Uczeń po prostu odejmuje \\(20\\% - 10\\% = 10\\%\\), traktując zmiany procentowe jako addytywne - ignoruje, że podwyżka \\(10\\%\\) naliczana jest od **już obniżonej** ceny, nie od pierwotnej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zmiany procentowe NIE są addytywne! Obniżka o \\(20\\%\\) i podwyżka o \\(10\\%\\) to **nie** zmiana o \\(-20\\% + 10\\% = -10\\%\\). Każda zmiana działa na aktualną cenę, nie na pierwotną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\(88\\%\\)) to pułapka - to wartość końcowej ceny w stosunku do pierwotnej, a pytanie dotyczy **o ile procent zmniejszyła się** cena. Należy obliczyć \\(100\\% - 88\\% = 12\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożnik obniżki o \\(p\\%\\) to \\(\\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)\\), a podwyżki o \\(p\\%\\) to \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\). Przy złożonych zmianach **mnożymy** te współczynniki, nie dodajemy procentów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn współczynników zmian\nObniżka o \\(20\\%\\): cena \\(\\times 0{,}8\\). Podwyżka o \\(10\\%\\): \\(\\times 1{,}1\\).\nŁączny współczynnik: \\(0{,}8\\cdot 1{,}1 = 0{,}88\\).\nCena wynosi \\(88\\%\\) pierwotnej, czyli **spadła o \\(12\\%\\)**.\n\n### Sposób 2 - Na konkretnej cenie \\(100\\) zł\nPo obniżce: \\(100 - 20 = 80\\) zł.\nPo podwyżce: \\(80 + 10\\%\\cdot 80 = 80 + 8 = 88\\) zł.\nSpadek: \\(100 - 88 = 12\\) zł, czyli \\(12\\%\\) ceny pierwotnej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(88\\%\\)** - to cena KOŃCOWA, nie spadek.\n- **B. \\(15\\%\\)** - ktoś pomylił (\\(20\\%-\\tfrac{10\\%}{2}\\)).\n- **D. \\(10\\%\\)** - błędnie odjęto procenty liniowo: \\(20\\%-10\\%\\).\n\n**Trik:** Zmiany procentowe MNOŻY się (jako współczynniki), nie dodaje.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (1 pkt)<br>Rozwiązanie równania (<br>)<br>(<br>)<br>4<br>49<br>3<br>x<br>x<br>x<br>x<br>należy do przedziału<br>A. (<br>)<br>,3<br>-∞<br>B. (<br>)<br>10,+∞<br>C. (<br>)1<br>,5 -<br>D.<br>)<br>,2<br>( +∞<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Rozwiązanie równania x(x+3)-49=x(x-4) należy do przedziału A.(-oo,3), B. (10,+oo), C. (-5,-1), D. (2,+oo)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Rozwiązanie równania liniowego<br>i sprawdzenie czy rozwiązanie należy<br>do danego przedziału<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - cena zmniejszyła się o \\(12\\%\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - mnożniki procentowe</h4>\n<p>Weźmy cenę pierwotną jako \\(C\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: obniżka o \\(20\\%\\)</strong></p>\n<p>Obniżka o \\(20\\%\\) oznacza, że nowa cena to \\(80\\%\\) poprzedniej:<br>\\[C_1 = C \\cdot 0{,}8\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: podwyżka o \\(10\\%\\)</strong></p>\n<p>Podwyżka o \\(10\\%\\) oznacza, że kolejna cena to \\(110\\%\\) poprzedniej:<br>\\[C_2 = C_1 \\cdot 1{,}1 = C \\cdot 0{,}8 \\cdot 1{,}1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: obliczamy wynik</strong></p>\n<p>\\[C_2 = C \\cdot 0{,}88\\]</p>\n<p>Cena ostateczna stanowi \\(88\\%\\) ceny pierwotnej, zatem <strong>zmniejszyła się o \\(12\\%\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - konkretna liczba (przykład liczbowy)</h4>\n<p>Przyjmijmy cenę pierwotną \\(C = 100\\) zł.</p>\n<p><strong>Obniżka o \\(20\\%\\):</strong><br>\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Podwyżka o \\(10\\%\\):</strong><br>\\[80 + 10\\% \\cdot 80 = 80 + 8 = 88 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Cena zmieniła się ze \\(100\\) zł na \\(88\\) zł, czyli <strong>zmniejszyła się o \\(12\\) zł</strong>, co stanowi \\(12\\%\\) ceny pierwotnej.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i mnożniki procentowe (podstawowe działania arytmetyczne).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((88\\%)\\) | Uczeń poprawnie obliczył, że cena wynosi \\(88\\%\\) pierwotnej, ale zapomniał odjąć od \\(100\\%\\) - to jest nowa <strong>wartość</strong> ceny, nie <strong>zmiana</strong> |<br>| B \\((15\\%)\\) | Typowy błąd: odjęcie \\(20\\% - 10\\% = 10\\%\\) daje \\(10\\%\\), a może uczeń próbował uśredniać lub inne błędne dodawanie; prowadzi do \\(15\\%\\) gdy np. liczy \\(\\frac{20\\%+10\\%}{2}\\) albo miesza działania |<br>| D \\((10\\%)\\) | Uczeń po prostu odejmuje \\(20\\% - 10\\% = 10\\%\\), traktując zmiany procentowe jako addytywne - ignoruje, że podwyżka \\(10\\%\\) naliczana jest od <strong>już obniżonej</strong> ceny, nie od pierwotnej |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zmiany procentowe NIE są addytywne! Obniżka o \\(20\\%\\) i podwyżka o \\(10\\%\\) to <strong>nie</strong> zmiana o \\(-20\\% + 10\\% = -10\\%\\). Każda zmiana działa na aktualną cenę, nie na pierwotną.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź A (\\(88\\%\\)) to pułapka - to wartość końcowej ceny w stosunku do pierwotnej, a pytanie dotyczy <strong>o ile procent zmniejszyła się</strong> cena. Należy obliczyć \\(100\\% - 88\\% = 12\\%\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mnożnik obniżki o \\(p\\%\\) to \\(\\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)\\), a podwyżki o \\(p\\%\\) to \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\). Przy złożonych zmianach <strong>mnożymy</strong> te współczynniki, nie dodajemy procentów.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Iloczyn współczynników zmian</h5>\n<p>Obniżka o \\(20\\%\\): cena \\(\\times 0{,}8\\). Podwyżka o \\(10\\%\\): \\(\\times 1{,}1\\).<br>Łączny współczynnik: \\(0{,}8\\cdot 1{,}1 = 0{,}88\\).<br>Cena wynosi \\(88\\%\\) pierwotnej, czyli <strong>spadła o \\(12\\%\\)</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Na konkretnej cenie \\(100\\) zł</h5>\n<p>Po obniżce: \\(100 - 20 = 80\\) zł.<br>Po podwyżce: \\(80 + 10\\%\\cdot 80 = 80 + 8 = 88\\) zł.<br>Spadek: \\(100 - 88 = 12\\) zł, czyli \\(12\\%\\) ceny pierwotnej.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(88\\%\\)</strong> - to cena KOŃCOWA, nie spadek.</li><li><strong>B. \\(15\\%\\)</strong> - ktoś pomylił (\\(20\\%-\\tfrac{10\\%}{2}\\)).</li><li><strong>D. \\(10\\%\\)</strong> - błędnie odjęto procenty liniowo: \\(20\\%-10\\%\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Zmiany procentowe MNOŻY się (jako współczynniki), nie dodaje.</p>"}]}