{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nNajmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3\n5\n8\n6\n12\nx\nx\n<\njest\nA. 1\nB. 2\nC.\n1\nD.\n2\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3/8 + x/6 < 5x/12 jest A. 1, B. 2, C. -1, D. -2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nSprawdzenie, które z podanych liczb\nspełniają nierówność i wybranie z nich\nnajmniejszej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\((x-10)(x+10)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nRozpoznajemy schemat: \\(x^2 - 100\\) to **różnica dwóch kwadratów**.\n\nSprawdzamy:\n\\[x^2 = (x)^2, \\qquad 100 = 10^2\\]\n\nStosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), gdzie \\(a = x\\), \\(b = 10\\):\n\n\\[x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x - 10)(x + 10)\\]\n\n**Odpowiedź: B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez mnożenie\n\nSprawdzamy, czy \\((x-10)(x+10) = x^2 - 100\\), mnożąc nawiasy metodą FOIL:\n\n\\[(x-10)(x+10) = x \\cdot x + x \\cdot 10 - 10 \\cdot x - 10 \\cdot 10\\]\n\\[= x^2 + 10x - 10x - 100\\]\n\\[= x^2 - 100 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź B jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1, przyjmując \\(a = x\\), \\(b = 10\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((x-10)^2 = x^2 - 20x + 100\\) - to kwadrat różnicy, nie różnica kwadratów. Wynik ma \\(-20x\\) i \\(+100\\), więc jest zupełnie innym wyrażeniem. |\n| C | \\((x-50)^2 = x^2 - 100x + 2500\\) - błędne założenie, że \\(100 = 50^2\\) (a przecież \\(50^2 = 2500\\)). Mylenie \\(\\sqrt{100} = 10\\) z \\(\\frac{100}{2} = 50\\). |\n| D | \\((x-50)(x+50) = x^2 - 2500\\) - efekt tego samego błędu co w C: wzięto \\(b = 50\\) zamiast \\(b = 10\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na różnicę kwadratów to \\(a^2 - b^2\\), a **nie** \\((a-b)^2\\)! To dwa różne wzory - nie mylić ich!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{100} = 10\\), **nie** \\(50\\). Przy faktoryzacji \\(x^2 - 100\\) szukamy pierwiastka z \\(100\\), czyli \\(10\\), a nie połowy \\(100\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór różnicy kwadratów wymaga znaku minus między składnikami (\\(a^2 - b^2\\)). Suma kwadratów \\(a^2 + b^2\\) **nie rozkłada się** na czynniki rzeczywiste!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nRóżnica kwadratów: \\(a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)\\). Tu \\(a=x, b=10\\) (bo \\(100 = 10^{2}\\)):\n\\[x^{2} - 100 = x^{2} - 10^{2} = (x-10)(x+10).\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja przez rozwinięcie\nMnożymy \\((x-10)(x+10) = x^{2} + 10x - 10x - 100 = x^{2} - 100\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((x-10)^{2} = x^{2} - 20x + 100\\)** - zły środkowy wyraz i znak stałego.\n- **C. \\((x-50)^{2}\\)** - \\(50 \\ne 10\\).\n- **D. \\((x-50)(x+50) = x^{2} - 2500\\)** - \\(2500\\ne 100\\).\n\n**Trik:** Różnica kwadratów: \\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\\). Suma kwadratów \\(a^{2}+b^{2}\\) NIE rozkłada się na czynniki rzeczywiste.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (1 pkt)<br>Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3<br>5<br>8<br>6<br>12<br>x<br>x<br>&lt;<br>jest<br>A. 1<br>B. 2<br>C.<br>1<br>D.<br>2<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3/8 + x/6 &lt; 5x/12 jest A. 1, B. 2, C. -1, D. -2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Sprawdzenie, które z podanych liczb<br>spełniają nierówność i wybranie z nich<br>najmniejszej<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\((x-10)(x+10)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów</h4>\n<p>Rozpoznajemy schemat: \\(x^2 - 100\\) to <strong>różnica dwóch kwadratów</strong>.</p>\n<p>Sprawdzamy:<br>\\[x^2 = (x)^2, \\qquad 100 = 10^2\\]</p>\n<p>Stosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), gdzie \\(a = x\\), \\(b = 10\\):</p>\n<p>\\[x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x - 10)(x + 10)\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez mnożenie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\((x-10)(x+10) = x^2 - 100\\), mnożąc nawiasy metodą FOIL:</p>\n<p>\\[(x-10)(x+10) = x \\cdot x + x \\cdot 10 - 10 \\cdot x - 10 \\cdot 10\\]<br>\\[= x^2 + 10x - 10x - 100\\]<br>\\[= x^2 - 100 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - <strong>odpowiedź B jest poprawna</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong>:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1, przyjmując \\(a = x\\), \\(b = 10\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\((x-10)^2 = x^2 - 20x + 100\\) - to kwadrat różnicy, nie różnica kwadratów. Wynik ma \\(-20x\\) i \\(+100\\), więc jest zupełnie innym wyrażeniem. |<br>| C | \\((x-50)^2 = x^2 - 100x + 2500\\) - błędne założenie, że \\(100 = 50^2\\) (a przecież \\(50^2 = 2500\\)). Mylenie \\(\\sqrt{100} = 10\\) z \\(\\frac{100}{2} = 50\\). |<br>| D | \\((x-50)(x+50) = x^2 - 2500\\) - efekt tego samego błędu co w C: wzięto \\(b = 50\\) zamiast \\(b = 10\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na różnicę kwadratów to \\(a^2 - b^2\\), a <strong>nie</strong> \\((a-b)^2\\)! To dwa różne wzory - nie mylić ich!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{100} = 10\\), <strong>nie</strong> \\(50\\). Przy faktoryzacji \\(x^2 - 100\\) szukamy pierwiastka z \\(100\\), czyli \\(10\\), a nie połowy \\(100\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór różnicy kwadratów wymaga znaku minus między składnikami (\\(a^2 - b^2\\)). Suma kwadratów \\(a^2 + b^2\\) <strong>nie rozkłada się</strong> na czynniki rzeczywiste!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia</h5>\n<p>Różnica kwadratów: \\(a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)\\). Tu \\(a=x, b=10\\) (bo \\(100 = 10^{2}\\)):<br>\\[x^{2} - 100 = x^{2} - 10^{2} = (x-10)(x+10).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja przez rozwinięcie</h5>\n<p>Mnożymy \\((x-10)(x+10) = x^{2} + 10x - 10x - 100 = x^{2} - 100\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((x-10)^{2} = x^{2} - 20x + 100\\)</strong> - zły środkowy wyraz i znak stałego.</li><li><strong>C. \\((x-50)^{2}\\)</strong> - \\(50 \\ne 10\\).</li><li><strong>D. \\((x-50)(x+50) = x^{2} - 2500\\)</strong> - \\(2500\\ne 100\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Różnica kwadratów: \\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\\). Suma kwadratów \\(a^{2}+b^{2}\\) NIE rozkłada się na czynniki rzeczywiste.</p>"}]}