{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nWskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających\njednocześnie następujące nierówności: (\n)(\n)\n3\n1\n5\n0\nx\nx\n≤\ni\n1\nx > .\nA.\nB.\nC.\nD.\n1\n3\nx\n1\n5\nx\n1\n6\nx\n1\n5\nx\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: 3(x-1)(x-5) ≤ 0 i x>1.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZinterpretowanie rozwiązania\nnierówności kwadratowej i liniowej na osi\nliczbowej\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nRównanie \\(\\dfrac{x^2 + 25}{x - 5} = 0\\) **nie ma rozwiązań.**\n\n## Sposób 1 - Analiza licznika i mianownika\n\nUłamek jest równy zero **wtedy i tylko wtedy**, gdy **licznik = 0** i jednocześnie **mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Dziedzina równania**\n\nMianownik nie może być zerem:\n\\[x - 5 \\neq 0 \\implies x \\neq 5\\]\n\nDziedzina: \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\)\n\n**Krok 2: Przyrównaj licznik do zera**\n\n\\[x^2 + 25 = 0\\]\n\\[x^2 = -25\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej **nie może być ujemny** - dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) zachodzi \\(x^2 \\geq 0\\).\n\nZatem \\(x^2 + 25 \\geq 25 > 0\\) - licznik jest zawsze dodatni i **nigdy nie przyjmuje wartości 0**.\n\n**Wniosek:** Nie istnieje żadne \\(x\\), dla którego ułamek mógłby być równy zero.\n\n**Odpowiedź: A - równanie nie ma rozwiązań.**\n\n## Sposób 2 - Nierówność jako dowód\n\nPokażmy wprost, że lewa strona nigdy nie wynosi 0.\n\nDla każdego \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\) (dziedziny):\n\n- **Licznik:** \\(x^2 \\geq 0\\), więc \\(x^2 + 25 \\geq 25 > 0\\)\n- **Mianownik:** \\(x - 5 \\neq 0\\) (z definicji dziedziny)\n\nSkoro mianownik \\(\\neq 0\\) i licznik \\(> 0\\), to:\n\\[\\frac{x^2 + 25}{x - 5} \\neq 0 \\quad \\text{dla żadnego } x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\]\n\nWyrażenie jest albo **dodatnie** (gdy \\(x > 5\\)), albo **ujemne** (gdy \\(x < 5\\)) - nigdy zero.\n\nPrzykład sprawdzający: dla \\(x = 0\\):\n\\[\\frac{0^2 + 25}{0 - 5} = \\frac{25}{-5} = -5 \\neq 0\\]\n\nDla \\(x = 10\\):\n\\[\\frac{100 + 25}{10 - 5} = \\frac{125}{5} = 25 \\neq 0\\]\n\n**Wniosek:** Równanie rzeczywiście nie ma rozwiązań. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności liczb rzeczywistych:\n- \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (własność kwadratu)\n- Ułamek \\(= 0 \\iff\\) licznik \\(= 0\\) i mianownik \\(\\neq 0\\)\n\nMożna jednak nawiązać do **Działu 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**: wyróżnik trójmianu \\(x^2 + 25\\) (czyli \\(a=1, b=0, c=25\\)):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \\cdot 1 \\cdot 25 = -100 < 0\\]\nUjemna delta potwierdza, że \\(x^2 + 25 = 0\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń \"rozwiązuje\" \\(x^2 = -25\\) i zapisuje np. \\(x = 5\\) (bo \\(25 = 5^2\\)) - zapominając o znaku minus oraz że \\(x = 5\\) jest wyłączone z dziedziny |\n| C | Uczeń myśli, że \\(x^2 + 25 = 0\\) daje dwa rozwiązania \\(x = \\pm 5\\), ignorując fakt, że \\(x^2 = -25\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych; dodatkowo \\(x = 5\\) nie należy do dziedziny |\n| D | Błędne kombinowanie: uczeń \"liczy\" rozwiązania z licznika i mianownika łącznie, nie rozumiejąc struktury równania ułamkowego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x^2 \\geq 0\\) zawsze - równanie \\(x^2 = -\\text{coś dodatniego}\\) **nigdy** nie ma rozwiązań rzeczywistych. To podstawowy fakt, który łatwo przeoczyć pod presją egzaminu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o dziedzinie! Nawet gdyby licznik miał rozwiązanie (np. gdyby było \\(x^2 - 25 = 0\\)), to \\(x = 5\\) musiałoby być odrzucone, bo zeruje mianownik. Zawsze wyznaczaj dziedzinę **przed** rozwiązywaniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek równa się zero **tylko gdy licznik = 0**, a nie gdy mianownik → ∞. Nie wolno \"przenosić\" mianownika na drugą stronę w równaniu ułamkowym bez zachowania dziedziny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Analiza licznika i mianownika\nUłamek \\(\\dfrac{x^{2}+25}{x-5} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy licznik \\(= 0\\) i mianownik \\(\\ne 0\\).\n\nLicznik \\(x^{2}+25 = 0 \\Rightarrow x^{2} = -25\\) - **brak rozwiązań w \\(\\mathbb{R}\\)**, bo \\(x^{2}\\ge 0\\).\n\nZatem równanie nie ma rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Nieujemność \\(x^{2}\\)\nDla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\): \\(x^{2}\\ge 0\\), więc \\(x^{2}+25 \\ge 25 > 0\\). Licznik zawsze dodatni, więc ułamek NIGDY nie zeruje.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - sugerują co najmniej jedno rozwiązanie, ale licznik \\(x^{2}+25\\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.\n\n**Trik:** \\(x^{2}+a = 0\\) ma rozwiązania rzeczywiste \\(\\Leftrightarrow a\\le 0\\). Suma kwadratów z liczbą dodatnią jest zawsze dodatnia.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających
jednocześnie następujące nierówności: (
)(
)
3
1
5
0
x
x
≤
i
1
x > .
A.
B.
C.
D.
1
3
x
1
5
x
1
6
x
1
5
x

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
Matura podstawowa z matematyki 2011. Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: 3(x-1)(x-5) ≤ 0 i x>1.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zinterpretowanie rozwiązania
nierówności kwadratowej i liniowej na osi
liczbowej
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Równanie \\(\\dfrac{x^2 + 25}{x - 5} = 0\\) nie ma rozwiązań.

\n

Sposób 1 - Analiza licznika i mianownika

\n

Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik = 0 i jednocześnie mianownik ≠ 0.

\n

Krok 1: Dziedzina równania

\n

Mianownik nie może być zerem:
\\[x - 5 \\neq 0 \\implies x \\neq 5\\]

\n

Dziedzina: \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\)

\n

Krok 2: Przyrównaj licznik do zera

\n

\\[x^2 + 25 = 0\\]
\\[x^2 = -25\\]

\n

Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny - dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) zachodzi \\(x^2 \\geq 0\\).

\n

Zatem \\(x^2 + 25 \\geq 25 > 0\\) - licznik jest zawsze dodatni i nigdy nie przyjmuje wartości 0.

\n

Wniosek: Nie istnieje żadne \\(x\\), dla którego ułamek mógłby być równy zero.

\n

Odpowiedź: A - równanie nie ma rozwiązań.

\n

Sposób 2 - Nierówność jako dowód

\n

Pokażmy wprost, że lewa strona nigdy nie wynosi 0.

\n

Dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\) (dziedziny):

\n\n

Skoro mianownik \\(\\neq 0\\) i licznik \\(> 0\\), to:
\\[\\frac{x^2 + 25}{x - 5} \\neq 0 \\quad \\text{dla żadnego } x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\]

\n

Wyrażenie jest albo dodatnie (gdy \\(x > 5\\)), albo ujemne (gdy \\(x < 5\\)) - nigdy zero.

\n

Przykład sprawdzający: dla \\(x = 0\\):
\\[\\frac{0^2 + 25}{0 - 5} = \\frac{25}{-5} = -5 \\neq 0\\]

\n

Dla \\(x = 10\\):
\\[\\frac{100 + 25}{10 - 5} = \\frac{125}{5} = 25 \\neq 0\\]

\n

Wniosek: Równanie rzeczywiście nie ma rozwiązań. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności liczb rzeczywistych:

\n\n

Można jednak nawiązać do Działu 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9): wyróżnik trójmianu \\(x^2 + 25\\) (czyli \\(a=1, b=0, c=25\\)):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \\cdot 1 \\cdot 25 = -100 < 0\\]
Ujemna delta potwierdza, że \\(x^2 + 25 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Uczeń "rozwiązuje" \\(x^2 = -25\\) i zapisuje np. \\(x = 5\\) (bo \\(25 = 5^2\\)) - zapominając o znaku minus oraz że \\(x = 5\\) jest wyłączone z dziedziny |
| C | Uczeń myśli, że \\(x^2 + 25 = 0\\) daje dwa rozwiązania \\(x = \\pm 5\\), ignorując fakt, że \\(x^2 = -25\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych; dodatkowo \\(x = 5\\) nie należy do dziedziny |
| D | Błędne kombinowanie: uczeń "liczy" rozwiązania z licznika i mianownika łącznie, nie rozumiejąc struktury równania ułamkowego |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(x^2 \\geq 0\\) zawsze - równanie \\(x^2 = -\\text{coś dodatniego}\\) nigdy nie ma rozwiązań rzeczywistych. To podstawowy fakt, który łatwo przeoczyć pod presją egzaminu.
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o dziedzinie! Nawet gdyby licznik miał rozwiązanie (np. gdyby było \\(x^2 - 25 = 0\\)), to \\(x = 5\\) musiałoby być odrzucone, bo zeruje mianownik. Zawsze wyznaczaj dziedzinę przed rozwiązywaniem.
\n
⚠️ Uwaga: Ułamek równa się zero tylko gdy licznik = 0, a nie gdy mianownik → ∞. Nie wolno "przenosić" mianownika na drugą stronę w równaniu ułamkowym bez zachowania dziedziny.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Analiza licznika i mianownika
\n

Ułamek \\(\\dfrac{x^{2}+25}{x-5} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy licznik \\(= 0\\) i mianownik \\(\\ne 0\\).

\n

Licznik \\(x^{2}+25 = 0 \\Rightarrow x^{2} = -25\\) - brak rozwiązań w \\(\\mathbb{R}\\), bo \\(x^{2}\\ge 0\\).

\n

Zatem równanie nie ma rozwiązań.

\n
Sposób 2 - Nieujemność \\(x^{2}\\)
\n

Dla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\): \\(x^{2}\\ge 0\\), więc \\(x^{2}+25 \\ge 25 > 0\\). Licznik zawsze dodatni, więc ułamek NIGDY nie zeruje.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(x^{2}+a = 0\\) ma rozwiązania rzeczywiste \\(\\Leftrightarrow a\\le 0\\). Suma kwadratów z liczbą dodatnią jest zawsze dodatnia.

"}]}