{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWyrażenie\n)1\n2\n(\nlog4\nx\njest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek\nA.\n1\n2\nx ≤\nB.\n1\n2\nx >\nC.\n0\nx ≤\nD.\n0\nx >\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wyrażenie log_4(2x-1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek A. x<=1/2 B. x>1/2 C. x<=0 D. x>0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie definicji logarytmu\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie\n\nRozwijamy obie strony nierówności.\n\n**Lewa strona** (wzór na różnicę kwadratów):\n\\[(3-x)(3+x) = 9 - x^2\\]\n\n**Prawa strona** (wzór skróconego mnożenia):\n\\[(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[9 - x^2 > 9 - 6x + x^2\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[9 - x^2 - 9 + 6x - x^2 > 0\\]\n\\[-2x^2 + 6x > 0\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-2\\) - **zmieniamy znak nierówności!**\n\\[x^2 - 3x < 0\\]\n\\[x(x - 3) < 0\\]\n\nIloczyn jest ujemny, gdy czynniki mają **przeciwne znaki**:\n\\[x > 0 \\quad \\text{i} \\quad x - 3 < 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x > 0 \\quad \\text{i} \\quad x < 3\\]\n\nRozwiązanie: \\(x \\in (0, 3)\\) - przedział **otwarty**.\n\nLiczby całkowite w tym przedziale: \\(1, 2\\).\n\n**Najmniejsza z nich to \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika (bez pełnego rozwinięcia)\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą:\n\\[(3-x)(3+x) - (3-x)^2 > 0\\]\n\nWyłączamy \\((3-x)\\) przed nawias:\n\\[(3-x)\\big[(3+x) - (3-x)\\big] > 0\\]\n\\[(3-x)\\big[3 + x - 3 + x\\big] > 0\\]\n\\[(3-x) \\cdot 2x > 0\\]\n\\[2x(3-x) > 0\\]\n\nDzielimy przez \\(2 > 0\\) (znak nierówności bez zmiany):\n\\[x(3-x) > 0\\]\n\nIloczyn dodatni, gdy obydwa czynniki mają ten sam znak:\n\n| Przypadek | Warunek | Wynik |\n| Oba dodatnie | \\(x > 0\\) i \\(3 - x > 0\\) | \\(0 < x < 3\\) ✓ |\n| Oba ujemne | \\(x < 0\\) i \\(3 - x < 0\\) | \\(x < 0\\) i \\(x > 3\\) - sprzeczność ✗ |\n\nRozwiązanie: \\(x \\in (0, 3)\\), **najmniejsza liczba całkowita to \\(1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do uproszczenia lewej strony: \\((3-x)(3+x) = 9 - x^2\\).\n\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy do rozwinięcia prawej strony: \\((3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Sprawdzenie | Błąd |\n| A | \\(x = 0\\) | \\((3)(3) > (3)^2 \\Rightarrow 9 > 9\\) - **fałsz** | Przedział jest otwarty: \\(x = 0\\) nie należy do \\((0, 3)\\) |\n| C | \\(x = 2\\) | \\((1)(5) > (1)^2 \\Rightarrow 5 > 1\\) - spełnione | Ale \\(2 > 1\\), więc nie jest **najmniejszą** liczbą całkowitą |\n| D | \\(x = 3\\) | \\((0)(6) > (0)^2 \\Rightarrow 0 > 0\\) - **fałsz** | Przedział jest otwarty: \\(x = 3\\) nie należy do \\((0, 3)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** musisz odwrócić znak nierówności. Tu: dzielimy przez \\(-2\\), więc \\(>\\) staje się \\(<\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obie granice przedziału \\((0, 3)\\) są **wykluczone** (nawias okrągły = otwarty). Maturzyści często mylą \\(<\\) z \\(\\leq\\) i błędnie wliczają \\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\) - sprawdź podstawiając!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie dotyczy **najmniejszej** liczby całkowitej spełniającej nierówność - nie chodzi o wszystkie liczby z przedziału, tylko o tę z lewej strony. Zbyt pochopna odpowiedź \\(x = 2\\) wynika z pomylenia \"pierwsza z brzegu\" z \"największa\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie\n\\((3-x)(3+x) = 9 - x^{2}\\) (różnica kwadratów).\n\\((3-x)^{2} = 9 - 6x + x^{2}\\).\nNierówność:\n\\[9 - x^{2} > 9 - 6x + x^{2}\\]\n\\[-x^{2} > -6x + x^{2}\\]\n\\[0 > 2x^{2} - 6x\\]\n\\[2x(x-3) < 0.\\]\nZnak \\(2x(x-3)\\): ujemny dla \\(x\\in (0, 3)\\).\n\nRozwiązania: \\(x\\in (0, 3)\\). Liczby całkowite w tym przedziale: \\(\\{1, 2\\}\\). Najmniejsza: \\(1\\).\n\n### Sposób 2 - Przeniesienie na lewą stronę\n\\((3-x)(3+x) - (3-x)^{2} > 0\\)\n\\((3-x)\\bigl[(3+x) - (3-x)\\bigr] > 0\\)\n\\((3-x)\\cdot 2x > 0\\)\n\\(2x(3-x) > 0\\).\nZnaki: dodatni gdy \\(x\\in(0, 3)\\). Najmniejsza całkowita: \\(x=1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - \\(2\\cdot 0\\cdot 3 = 0\\), nie \\(>0\\). \\(0\\notin (0,3)\\).\n- **C. \\(2\\)** - też jest w zbiorze, ale NIE jest najmniejsze.\n- **D. \\(3\\)** - \\(2\\cdot 3\\cdot 0 = 0\\), nie \\(>0\\).\n\n**Trik:** Zawsze wyłączaj wspólny czynnik, jeśli się pojawia - skraca pracę.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Wyrażenie
)1
2
(
log4
x
jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek
A.
1
2
x ≤
B.
1
2
x >
C.
0
x ≤
D.
0
x >
Matura podstawowa z matematyki 2011. Wyrażenie log_4(2x-1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek A. x<=1/2 B. x>1/2 C. x<=0 D. x>0

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie definicji logarytmu
B
Kryteria oceniania odpowiedzi
3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 1\\)

\n

Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie

\n

Rozwijamy obie strony nierówności.

\n

Lewa strona (wzór na różnicę kwadratów):
\\[(3-x)(3+x) = 9 - x^2\\]

\n

Prawa strona (wzór skróconego mnożenia):
\\[(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[9 - x^2 > 9 - 6x + x^2\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[9 - x^2 - 9 + 6x - x^2 > 0\\]
\\[-2x^2 + 6x > 0\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(-2\\) - zmieniamy znak nierówności!
\\[x^2 - 3x < 0\\]
\\[x(x - 3) < 0\\]

\n

Iloczyn jest ujemny, gdy czynniki mają przeciwne znaki:
\\[x > 0 \\quad \\text{i} \\quad x - 3 < 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x > 0 \\quad \\text{i} \\quad x < 3\\]

\n

Rozwiązanie: \\(x \\in (0, 3)\\) - przedział otwarty.

\n

Liczby całkowite w tym przedziale: \\(1, 2\\).

\n

Najmniejsza z nich to \\(1\\).

\n

Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika (bez pełnego rozwinięcia)

\n

Przenosimy prawą stronę na lewą:
\\[(3-x)(3+x) - (3-x)^2 > 0\\]

\n

Wyłączamy \\((3-x)\\) przed nawias:
\\[(3-x)\\big[(3+x) - (3-x)\\big] > 0\\]
\\[(3-x)\\big[3 + x - 3 + x\\big] > 0\\]
\\[(3-x) \\cdot 2x > 0\\]
\\[2x(3-x) > 0\\]

\n

Dzielimy przez \\(2 > 0\\) (znak nierówności bez zmiany):
\\[x(3-x) > 0\\]

\n

Iloczyn dodatni, gdy obydwa czynniki mają ten sam znak:

\n

| Przypadek | Warunek | Wynik |
| Oba dodatnie | \\(x > 0\\) i \\(3 - x > 0\\) | \\(0 < x < 3\\) ✓ |
| Oba ujemne | \\(x < 0\\) i \\(3 - x < 0\\) | \\(x < 0\\) i \\(x > 3\\) - sprzeczność ✗ |

\n

Rozwiązanie: \\(x \\in (0, 3)\\), najmniejsza liczba całkowita to \\(1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do uproszczenia lewej strony: \\((3-x)(3+x) = 9 - x^2\\).

\n

\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy do rozwinięcia prawej strony: \\((3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość | Sprawdzenie | Błąd |
| A | \\(x = 0\\) | \\((3)(3) > (3)^2 \\Rightarrow 9 > 9\\) - fałsz | Przedział jest otwarty: \\(x = 0\\) nie należy do \\((0, 3)\\) |
| C | \\(x = 2\\) | \\((1)(5) > (1)^2 \\Rightarrow 5 > 1\\) - spełnione | Ale \\(2 > 1\\), więc nie jest najmniejszą liczbą całkowitą |
| D | \\(x = 3\\) | \\((0)(6) > (0)^2 \\Rightarrow 0 > 0\\) - fałsz | Przedział jest otwarty: \\(x = 3\\) nie należy do \\((0, 3)\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną musisz odwrócić znak nierówności. Tu: dzielimy przez \\(-2\\), więc \\(>\\) staje się \\(<\\).
\n
⚠️ Uwaga: Obie granice przedziału \\((0, 3)\\) są wykluczone (nawias okrągły = otwarty). Maturzyści często mylą \\(<\\) z \\(\\leq\\) i błędnie wliczają \\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\) - sprawdź podstawiając!
\n
⚠️ Uwaga: Pytanie dotyczy najmniejszej liczby całkowitej spełniającej nierówność - nie chodzi o wszystkie liczby z przedziału, tylko o tę z lewej strony. Zbyt pochopna odpowiedź \\(x = 2\\) wynika z pomylenia "pierwsza z brzegu" z "największa".
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie
\n

\\((3-x)(3+x) = 9 - x^{2}\\) (różnica kwadratów).
\\((3-x)^{2} = 9 - 6x + x^{2}\\).
Nierówność:
\\[9 - x^{2} > 9 - 6x + x^{2}\\]
\\[-x^{2} > -6x + x^{2}\\]
\\[0 > 2x^{2} - 6x\\]
\\[2x(x-3) < 0.\\]
Znak \\(2x(x-3)\\): ujemny dla \\(x\\in (0, 3)\\).

\n

Rozwiązania: \\(x\\in (0, 3)\\). Liczby całkowite w tym przedziale: \\(\\{1, 2\\}\\). Najmniejsza: \\(1\\).

\n
Sposób 2 - Przeniesienie na lewą stronę
\n

\\((3-x)(3+x) - (3-x)^{2} > 0\\)
\\((3-x)\\bigl[(3+x) - (3-x)\\bigr] > 0\\)
\\((3-x)\\cdot 2x > 0\\)
\\(2x(3-x) > 0\\).
Znaki: dodatni gdy \\(x\\in(0, 3)\\). Najmniejsza całkowita: \\(x=1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Zawsze wyłączaj wspólny czynnik, jeśli się pojawia - skraca pracę.

"}]}