{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nDane są funkcje liniowe\n2\n)\n(\n= x\nx\nf\noraz\n4\n)\n(\n= x\nx\ng\nokreślone dla wszystkich liczb\nrzeczywistych\nx . Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji\n( )\n( )\nx\ng\nx\nf\nx\nh\n⋅\n)\n(\nA.\nx\ny\n-4\n2\nB.\nx\ny\n-4\n2\nC.\nx\ny\n-2\n4\nD.\nx\n-2\n4\ny\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x) = f(x)⋅g(x).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOkreślenie funkcji za pomocą wzoru\ni interpretowanie wykresów funkcji\nkwadratowych\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) jest **malejąca** i jej wykres przechodzi przez punkt \\((0, 3)\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt współczynników z postaci kierunkowej\n\nFunkcja liniowa ma postać ogólną \\(f(x) = ax + b\\), gdzie:\n- \\(a\\) - **współczynnik kierunkowy** (decyduje o rosnięciu/malejeniu)\n- \\(b\\) - **wyraz wolny** (wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(OY\\))\n\nPorównujemy \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) z \\(f(x) = ax + b\\):\n\n\\[a = -\\frac{1}{2}, \\quad b = 3\\]\n\n**Monotoniczność:**\n\nSkoro \\(a = -\\dfrac{1}{2} < 0\\), funkcja jest **malejąca**.\n\n**Punkt przecięcia z osią \\(OY\\):**\n\n\\[f(0) = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\nWykres przechodzi przez punkt \\((0, 3)\\).\n\n**Odpowiedź: D** - funkcja jest malejąca i przechodzi przez \\((0, 3)\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie dwóch punktów\n\nSprawdzamy, że funkcja rzeczywiście maleje, obliczając dwie wartości:\n\nDla \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[f(2) = -\\frac{1}{2} \\cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2\\]\n\n\\(x\\) wzrosło z \\(0\\) do \\(2\\), a \\(f(x)\\) **spadło** z \\(3\\) do \\(2\\) - funkcja maleje. ✓\n\nPunkt \\((0, 3)\\) należy do wykresu. ✓\n\nOdpowiedź **D** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i interpretacji jej współczynników (podstawa programowa, nie karta wzorów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń pomylił znak \\(a\\): ujemny współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\) daje funkcję **malejącą**, nie rosnącą. Punkt \\((0,3)\\) dobry, ale monotoniczność błędna. |\n| B | Punkt \\((0, -3)\\) - uczeń wziął \\(-b\\) zamiast \\(b\\). Monotoniczność (malejąca) poprawna, ale punkt przecięcia z \\(OY\\) błędny. |\n| C | Dwa błędy naraz: źle odczytana monotoniczność (rosnąca zamiast malejąca) **oraz** błędny punkt \\((0, -3)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\) oznacza funkcję **malejącą** - im większe \\(x\\), tym mniejsza wartość funkcji. Nie mylić znaku \\(a\\) ze znakiem \\(b\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) to wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\), czyli \\(f(0) = b\\). Punkt przecięcia z osią \\(OY\\) to zawsze \\((0, b)\\), a nie \\((0, -b)\\). Tutaj \\(b = 3\\), więc punkt to \\((0, 3)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) z \\(f(x) = \\dfrac{1}{-2x+3}\\) - to zapis funkcji liniowej w postaci \\(ax + b\\), nie ułamek!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza wzoru liniowego\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\). Tu \\(a = -\\tfrac{1}{2}\\), \\(b = 3\\).\n\n- Współczynnik kierunkowy \\(a = -\\tfrac{1}{2} < 0\\) \\(\\Rightarrow\\) funkcja **malejąca**.\n- Wyraz wolny \\(b = 3\\) \\(\\Rightarrow\\) wykres przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 3)\\).\n\nObie cechy pasują do opcji **D**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wartości \\(f(0)\\)\n\\[f(0) = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 0 + 3 = 3.\\]\nPunkt \\((0, 3)\\) należy do wykresu - odpada B, C.\n\nDla monotoniczności: \\(f(2) = -1+3 = 2\\), \\(f(4) = -2+3 = 1\\). \\(2 > 1\\), więc malejąca - odpada A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Nie jest rosnąca.\n- **B.** Przechodzi przez \\((0, 3)\\), nie \\((0, -3)\\).\n- **C.** Dwie błędy: nie rosnąca, nie przez \\((0, -3)\\).\n\n**Trik:** Dla \\(f(x)=ax+b\\): znak \\(a\\) → monotoniczność, \\(b\\) → punkt przecięcia z \\(OY\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Dane są funkcje liniowe<br>2<br>)<br>(<br>= x<br>x<br>f<br>oraz<br>4<br>)<br>(<br>= x<br>x<br>g<br>określone dla wszystkich liczb<br>rzeczywistych<br>x . Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji<br>( )<br>( )<br>x<br>g<br>x<br>f<br>x<br>h<br>⋅<br>)<br>(<br>A.<br>x<br>y<br>-4<br>2<br>B.<br>x<br>y<br>-4<br>2<br>C.<br>x<br>y<br>-2<br>4<br>D.<br>x<br>-2<br>4<br>y<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x) = f(x)⋅g(x).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Określenie funkcji za pomocą wzoru<br>i interpretowanie wykresów funkcji<br>kwadratowych<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Funkcja \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) jest <strong>malejąca</strong> i jej wykres przechodzi przez punkt \\((0, 3)\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt współczynników z postaci kierunkowej</h4>\n<p>Funkcja liniowa ma postać ogólną \\(f(x) = ax + b\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(a\\) - <strong>współczynnik kierunkowy</strong> (decyduje o rosnięciu/malejeniu)</li><li>\\(b\\) - <strong>wyraz wolny</strong> (wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(OY\\))</li></ul>\n<p>Porównujemy \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) z \\(f(x) = ax + b\\):</p>\n<p>\\[a = -\\frac{1}{2}, \\quad b = 3\\]</p>\n<p><strong>Monotoniczność:</strong></p>\n<p>Skoro \\(a = -\\dfrac{1}{2} &lt; 0\\), funkcja jest <strong>malejąca</strong>.</p>\n<p><strong>Punkt przecięcia z osią \\(OY\\):</strong></p>\n<p>\\[f(0) = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + 3 = 3\\]</p>\n<p>Wykres przechodzi przez punkt \\((0, 3)\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D</strong> - funkcja jest malejąca i przechodzi przez \\((0, 3)\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie dwóch punktów</h4>\n<p>Sprawdzamy, że funkcja rzeczywiście maleje, obliczając dwie wartości:</p>\n<p>Dla \\(x = 0\\):<br>\\[f(0) = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + 3 = 3\\]</p>\n<p>Dla \\(x = 2\\):<br>\\[f(2) = -\\frac{1}{2} \\cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2\\]</p>\n<p>\\(x\\) wzrosło z \\(0\\) do \\(2\\), a \\(f(x)\\) <strong>spadło</strong> z \\(3\\) do \\(2\\) - funkcja maleje. ✓</p>\n<p>Punkt \\((0, 3)\\) należy do wykresu. ✓</p>\n<p>Odpowiedź <strong>D</strong> potwierdzona.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i interpretacji jej współczynników (podstawa programowa, nie karta wzorów).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń pomylił znak \\(a\\): ujemny współczynnik kierunkowy \\(a &lt; 0\\) daje funkcję <strong>malejącą</strong>, nie rosnącą. Punkt \\((0,3)\\) dobry, ale monotoniczność błędna. |<br>| B | Punkt \\((0, -3)\\) - uczeń wziął \\(-b\\) zamiast \\(b\\). Monotoniczność (malejąca) poprawna, ale punkt przecięcia z \\(OY\\) błędny. |<br>| C | Dwa błędy naraz: źle odczytana monotoniczność (rosnąca zamiast malejąca) <strong>oraz</strong> błędny punkt \\((0, -3)\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ujemny współczynnik kierunkowy \\(a &lt; 0\\) oznacza funkcję <strong>malejącą</strong> - im większe \\(x\\), tym mniejsza wartość funkcji. Nie mylić znaku \\(a\\) ze znakiem \\(b\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny \\(b\\) to wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\), czyli \\(f(0) = b\\). Punkt przecięcia z osią \\(OY\\) to zawsze \\((0, b)\\), a nie \\((0, -b)\\). Tutaj \\(b = 3\\), więc punkt to \\((0, 3)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) z \\(f(x) = \\dfrac{1}{-2x+3}\\) - to zapis funkcji liniowej w postaci \\(ax + b\\), nie ułamek!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza wzoru liniowego</h5>\n<p>Funkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\). Tu \\(a = -\\tfrac{1}{2}\\), \\(b = 3\\).</p>\n<ul><li>Współczynnik kierunkowy \\(a = -\\tfrac{1}{2} &lt; 0\\) \\(\\Rightarrow\\) funkcja <strong>malejąca</strong>.</li><li>Wyraz wolny \\(b = 3\\) \\(\\Rightarrow\\) wykres przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 3)\\).</li></ul>\n<p>Obie cechy pasują do opcji <strong>D</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie wartości \\(f(0)\\)</h5>\n<p>\\[f(0) = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 0 + 3 = 3.\\]<br>Punkt \\((0, 3)\\) należy do wykresu - odpada B, C.</p>\n<p>Dla monotoniczności: \\(f(2) = -1+3 = 2\\), \\(f(4) = -2+3 = 1\\). \\(2 &gt; 1\\), więc malejąca - odpada A.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Nie jest rosnąca.</li><li><strong>B.</strong> Przechodzi przez \\((0, 3)\\), nie \\((0, -3)\\).</li><li><strong>C.</strong> Dwie błędy: nie rosnąca, nie przez \\((0, -3)\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla \\(f(x)=ax+b\\): znak \\(a\\) → monotoniczność, \\(b\\) → punkt przecięcia z \\(OY\\).</p>"}]}