{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania (\n)\n3 2\n3\n4\nx\nx\n- jest:\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n3\nx =\nD.\n4\nx =\nRozwiązaniem równania 3(2-3x) = x-4 jest A. x=1, B. x=2, C. x=3, D. x=4","answer":"A","answer_text":"x\n1\n1\nx\n2\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne (rozwinięcie nawiasów)\n\nZaczynamy od rozwinięcia nawiasów po lewej stronie:\n\n\\[3(2 - 3x) = x - 4\\]\n\n\\[6 - 9x = x - 4\\]\n\nPrzenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, liczby na prawą (zmieniając znaki przy przeniesieniu):\n\n\\[6 - 9x - x = -4\\]\n\n\\[-9x - x = -4 - 6\\]\n\n\\[-10x = -10\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-10\\):\n\n\\[x = \\frac{-10}{-10} = 1\\]\n\n**Wynik: \\(x = 1\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 1\\) rzeczywiście spełnia równanie. Podstawiamy do obu stron:\n\nLewa strona:\n\\[3(2 - 3 \\cdot 1) = 3(2 - 3) = 3 \\cdot (-1) = -3\\]\n\nPrawa strona:\n\\[1 - 4 = -3\\]\n\nLewa strona = Prawa strona: \\(-3 = -3\\) ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(x = 1\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne: rozwijanie nawiasów i przenoszenie wyrazów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(x = 2\\) | Błąd przy rozwinięciu nawiasu: \\(3(2-3x)\\) potraktowane jako \\(3 \\cdot 2 - 3x = 6 - 3x\\) zamiast \\(6 - 9x\\) - zapomniano pomnożyć \\(3\\) przez \\(-3x\\) |\n| C: \\(x = 3\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(-9x - x\\) obliczone jako \\(-8x\\) (zamiast \\(-10x\\)), co daje \\(x = \\frac{10}{8}\\) lub inne błędy rachunkowe |\n| D: \\(x = 4\\) | Przenoszenie bez zmiany znaku: \\(6 - 9x = x - 4\\) błędnie zapisane jako \\(-10x = -10\\) → \\(x = 4\\) gdy ktoś doda zamiast odjąć |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu nawiasu \\(3(2 - 3x)\\) KAŻDY wyraz musi być pomnożony przez \\(3\\). Bardzo częsty błąd to pomnożenie tylko pierwszego wyrazu: \\(3 \\cdot 2 = 6\\), ale zostawienie \\(-3x\\) zamiast \\(-9x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę równania **zawsze zmieniamy znak**. \\(+x\\) po prawej stronie staje się \\(-x\\) po lewej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez liczbę ujemną (\\(-10x = -10\\)) nie zmienia wyniku jeśli obie strony są ujemne - wynik jest dodatni. Pamiętaj: dwa minusy dają plus.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwinięcie nawiasu\n\\[3(2-3x) = x - 4\\]\n\\[6 - 9x = x - 4.\\]\nPrzenosimy zmienne na jedną stronę, stałe na drugą:\n\\[6 + 4 = x + 9x\\]\n\\[10 = 10x \\Rightarrow x = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie podanych wartości\n- **A. \\(x=1\\)**: LHS \\(= 3(2-3) = -3\\); RHS \\(= 1-4 = -3\\). ✓\n- **B. \\(x=2\\)**: LHS \\(= 3(2-6) = -12\\); RHS \\(= -2\\). Nie.\n- **C. \\(x=3\\)**: LHS \\(= 3(2-9) = -21\\); RHS \\(= -1\\). Nie.\n- **D. \\(x=4\\)**: LHS \\(= 3(2-12) = -30\\); RHS \\(= 0\\). Nie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - żadna z tych liczb nie spełnia równania (patrz powyżej).\n\n**Trik:** Zawsze można sprawdzić odpowiedzi przez podstawienie, szczególnie gdy równanie jest proste i odpowiedzi to małe liczby.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 1. (1 pkt)<br>Rozwiązaniem równania (<br>)<br>3 2<br>3<br>4<br>x<br>x</p>\n<ul><li>jest:</li></ul>\n<p>A.<br>1<br>x =<br>B.<br>2<br>x =<br>C.<br>3<br>x =<br>D.<br>4<br>x =<br>Rozwiązaniem równania 3(2-3x) = x-4 jest A. x=1, B. x=2, C. x=3, D. x=4</p>","answer_text_html":"<p>x<br>1<br>1<br>x<br>2<br>2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne (rozwinięcie nawiasów)</h4>\n<p>Zaczynamy od rozwinięcia nawiasów po lewej stronie:</p>\n<p>\\[3(2 - 3x) = x - 4\\]</p>\n<p>\\[6 - 9x = x - 4\\]</p>\n<p>Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, liczby na prawą (zmieniając znaki przy przeniesieniu):</p>\n<p>\\[6 - 9x - x = -4\\]</p>\n<p>\\[-9x - x = -4 - 6\\]</p>\n<p>\\[-10x = -10\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(-10\\):</p>\n<p>\\[x = \\frac{-10}{-10} = 1\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(x = 1\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(x = 1\\) rzeczywiście spełnia równanie. Podstawiamy do obu stron:</p>\n<p>Lewa strona:<br>\\[3(2 - 3 \\cdot 1) = 3(2 - 3) = 3 \\cdot (-1) = -3\\]</p>\n<p>Prawa strona:<br>\\[1 - 4 = -3\\]</p>\n<p>Lewa strona = Prawa strona: \\(-3 = -3\\) ✓</p>\n<p><strong>Wynik potwierdzony: \\(x = 1\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne: rozwijanie nawiasów i przenoszenie wyrazów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B: \\(x = 2\\) | Błąd przy rozwinięciu nawiasu: \\(3(2-3x)\\) potraktowane jako \\(3 \\cdot 2 - 3x = 6 - 3x\\) zamiast \\(6 - 9x\\) - zapomniano pomnożyć \\(3\\) przez \\(-3x\\) |<br>| C: \\(x = 3\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(-9x - x\\) obliczone jako \\(-8x\\) (zamiast \\(-10x\\)), co daje \\(x = \\frac{10}{8}\\) lub inne błędy rachunkowe |<br>| D: \\(x = 4\\) | Przenoszenie bez zmiany znaku: \\(6 - 9x = x - 4\\) błędnie zapisane jako \\(-10x = -10\\) → \\(x = 4\\) gdy ktoś doda zamiast odjąć |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwijaniu nawiasu \\(3(2 - 3x)\\) KAŻDY wyraz musi być pomnożony przez \\(3\\). Bardzo częsty błąd to pomnożenie tylko pierwszego wyrazu: \\(3 \\cdot 2 = 6\\), ale zostawienie \\(-3x\\) zamiast \\(-9x\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę równania <strong>zawsze zmieniamy znak</strong>. \\(+x\\) po prawej stronie staje się \\(-x\\) po lewej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dzielenie przez liczbę ujemną (\\(-10x = -10\\)) nie zmienia wyniku jeśli obie strony są ujemne - wynik jest dodatni. Pamiętaj: dwa minusy dają plus.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozwinięcie nawiasu</h5>\n<p>\\[3(2-3x) = x - 4\\]<br>\\[6 - 9x = x - 4.\\]<br>Przenosimy zmienne na jedną stronę, stałe na drugą:<br>\\[6 + 4 = x + 9x\\]<br>\\[10 = 10x \\Rightarrow x = 1.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie podanych wartości</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(x=1\\)</strong>: LHS \\(= 3(2-3) = -3\\); RHS \\(= 1-4 = -3\\). ✓</li><li><strong>B. \\(x=2\\)</strong>: LHS \\(= 3(2-6) = -12\\); RHS \\(= -2\\). Nie.</li><li><strong>C. \\(x=3\\)</strong>: LHS \\(= 3(2-9) = -21\\); RHS \\(= -1\\). Nie.</li><li><strong>D. \\(x=4\\)</strong>: LHS \\(= 3(2-12) = -30\\); RHS \\(= 0\\). Nie.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C, D</strong> - żadna z tych liczb nie spełnia równania (patrz powyżej).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Zawsze można sprawdzić odpowiedzi przez podstawienie, szczególnie gdy równanie jest proste i odpowiedzi to małe liczby.</p>"}]}