{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji kwadratowej\n2\n( )\n4\nf x\nx\njest\nA.\n)\n4,\n〈-\n+∞\nB.\n)\n2,\n〈-\n+∞\nC.\n)\n2,\n〈\n+∞\nD.\n)\n4,\n〈\n+∞\nZbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x^2-4 jest A. <-4,+oo), B. <-2,+oo), C. <2,+oo), D. <4,+oo)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -4, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - analiza postaci kanonicznej\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 - 4\\) to parabola skierowana ramionami **w górę** (współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni: \\(a = 1 > 0\\)).\n\n**Krok 1:** Znajdź wierzchołek paraboli.\n\nFunkcja jest już w postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = (x - 0)^2 + (-4)\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (0, -4)\\)\n\n**Krok 2:** Ponieważ parabola jest skierowana w górę, wierzchołek to **minimum** funkcji.\n\nMinimalna wartość funkcji wynosi \\(f(0) = -4\\).\n\n**Krok 3:** Funkcja przyjmuje wszystkie wartości od \\(-4\\) wzwyż, czyli:\n\\[\\text{ZW}(f) = \\langle -4, +\\infty)\\]\n\n**Odpowiedź: A**\n\n## Sposób 2 - tabelka wartości + myślenie o paraboli\n\nObliczmy kilka wartości:\n\n| \\(x\\) | \\(-3\\) | \\(-2\\) | \\(-1\\) | \\(0\\) | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(3\\) |\n| \\(f(x)\\) | \\(5\\) | \\(0\\) | \\(-3\\) | \\(-4\\) | \\(-3\\) | \\(0\\) | \\(5\\) |\n\nWidzimy, że najmniejsza wartość to \\(f(0) = -4\\), a wraz z oddalaniem się od \\(x = 0\\) wartości rosną bez ograniczenia.\n\n**Weryfikacja:** Dla dowolnego \\(x\\) mamy \\(x^2 \\geq 0\\), więc:\n\\[f(x) = x^2 - 4 \\geq 0 - 4 = -4\\]\n\nDolne ograniczenie \\(-4\\) jest osiągane (dla \\(x = 0\\)), więc \\(-4\\) **należy** do zbioru wartości - stąd nawias ostrokątny \\(\\langle\\) (domknięty).\n\nZbiór wartości: \\(\\langle -4, +\\infty)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\ngdzie \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) to minimalna wartość funkcji (gdy \\(a > 0\\)).\n\nUżyliśmy tego faktu: gdy \\(a > 0\\), wierzchołek wyznacza **minimum** funkcji, a zbiorem wartości jest \\(\\langle q, +\\infty)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** | Pomylenie wierzchołka z miejscami zerowymi - \\(f(x) = 0\\) daje \\(x = \\pm 2\\), ale to miejsca zerowe, nie minimum wartości |\n| **C** | Wzięto \\(x_2 = 2\\) (jedno z miejsc zerowych) jako dolne ograniczenie zbioru wartości - błędne myślenie |\n| **D** | Zamieniono znaki - \\(f(x) = x^2 - 4\\) ma minimum \\(-4\\), nie \\(+4\\); pomylenie \\(f(0) = -4\\) z \\(|{-4}| = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **miejsc zerowych** (\\(x = \\pm 2\\), gdzie \\(f(x) = 0\\)) z **minimum funkcji** (\\(f(0) = -4\\)). To zupełnie różne pojęcia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dolne ograniczenie zbioru wartości to \\(-4\\) (wartość \\(f\\) w wierzchołku) - z nawiasem **domkniętym** \\(\\langle\\), bo minimum **jest osiągane** (dla \\(x = 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby parabola była skierowana w dół (\\(a < 0\\)), zbiorem wartości byłoby \\((-\\infty, q\\rangle\\) - zawsze sprawdzaj znak \\(a\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna i wierzchołek\nFunkcja \\(f(x) = x^{2} - 4\\) jest już w postaci kanonicznej \\(f(x) = (x-0)^{2} + (-4)\\). Wierzchołek paraboli: \\((0, -4)\\).\n\nWspółczynnik \\(a=1>0\\), więc ramiona paraboli skierowane do góry - minimum w wierzchołku. Najmniejsza wartość: \\(-4\\).\n\n\\[ZW_{f} = \\langle -4, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Nierówność\n\\(x^{2} \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(x^{2}-4 \\ge -4\\). Wartość \\(-4\\) jest osiągana (dla \\(x=0\\)); wartości dowolnie duże - gdy \\(|x|\\to\\infty\\). Stąd \\(ZW_{f} = \\langle -4, +\\infty)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle -2, +\\infty)\\)** - minimum nie jest \\(-2\\) (to pierwiastek \\(\\sqrt{4}\\), ale nie wartość funkcji).\n- **C. \\(\\langle 2, +\\infty)\\)** - \\(f(0) = -4 < 2\\), więc \\(-4\\) też w zbiorze wartości.\n- **D. \\(\\langle 4, +\\infty)\\)** - podobnie, zbyt wysokie minimum.\n\n**Trik:** Dla \\(f(x) = x^{2} + c\\) min wartość to \\(c\\) (przyjmowana w \\(x=0\\)).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 10. (1 pkt)<br>Zbiorem wartości funkcji kwadratowej<br>2<br>( )<br>4<br>f x<br>x<br>jest<br>A.<br>)<br>4,<br>〈-<br>+∞<br>B.<br>)<br>2,<br>〈-<br>+∞<br>C.<br>)<br>2,<br>〈<br>+∞<br>D.<br>)<br>4,<br>〈<br>+∞<br>Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x^2-4 jest A. &lt;-4,+oo), B. &lt;-2,+oo), C. &lt;2,+oo), D. &lt;4,+oo)</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -4, +\\infty)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - analiza postaci kanonicznej</h4>\n<p>Funkcja \\(f(x) = x^2 - 4\\) to parabola skierowana ramionami <strong>w górę</strong> (współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni: \\(a = 1 &gt; 0\\)).</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Znajdź wierzchołek paraboli.</p>\n<p>Funkcja jest już w postaci kanonicznej:<br>\\[f(x) = (x - 0)^2 + (-4)\\]</p>\n<p>Wierzchołek: \\(W = (0, -4)\\)</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Ponieważ parabola jest skierowana w górę, wierzchołek to <strong>minimum</strong> funkcji.</p>\n<p>Minimalna wartość funkcji wynosi \\(f(0) = -4\\).</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Funkcja przyjmuje wszystkie wartości od \\(-4\\) wzwyż, czyli:<br>\\[\\text{ZW}(f) = \\langle -4, +\\infty)\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: A</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - tabelka wartości + myślenie o paraboli</h4>\n<p>Obliczmy kilka wartości:</p>\n<p>| \\(x\\) | \\(-3\\) | \\(-2\\) | \\(-1\\) | \\(0\\) | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(3\\) |<br>| \\(f(x)\\) | \\(5\\) | \\(0\\) | \\(-3\\) | \\(-4\\) | \\(-3\\) | \\(0\\) | \\(5\\) |</p>\n<p>Widzimy, że najmniejsza wartość to \\(f(0) = -4\\), a wraz z oddalaniem się od \\(x = 0\\) wartości rosną bez ograniczenia.</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Dla dowolnego \\(x\\) mamy \\(x^2 \\geq 0\\), więc:<br>\\[f(x) = x^2 - 4 \\geq 0 - 4 = -4\\]</p>\n<p>Dolne ograniczenie \\(-4\\) jest osiągane (dla \\(x = 0\\)), więc \\(-4\\) <strong>należy</strong> do zbioru wartości - stąd nawias ostrokątny \\(\\langle\\) (domknięty).</p>\n<p>Zbiór wartości: \\(\\langle -4, +\\infty)\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek:<br>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]<br>gdzie \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) to minimalna wartość funkcji (gdy \\(a &gt; 0\\)).</p>\n<p>Użyliśmy tego faktu: gdy \\(a &gt; 0\\), wierzchołek wyznacza <strong>minimum</strong> funkcji, a zbiorem wartości jest \\(\\langle q, +\\infty)\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>B</strong> | Pomylenie wierzchołka z miejscami zerowymi - \\(f(x) = 0\\) daje \\(x = \\pm 2\\), ale to miejsca zerowe, nie minimum wartości |<br>| <strong>C</strong> | Wzięto \\(x_2 = 2\\) (jedno z miejsc zerowych) jako dolne ograniczenie zbioru wartości - błędne myślenie |<br>| <strong>D</strong> | Zamieniono znaki - \\(f(x) = x^2 - 4\\) ma minimum \\(-4\\), nie \\(+4\\); pomylenie \\(f(0) = -4\\) z \\(|{-4}| = 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić <strong>miejsc zerowych</strong> (\\(x = \\pm 2\\), gdzie \\(f(x) = 0\\)) z <strong>minimum funkcji</strong> (\\(f(0) = -4\\)). To zupełnie różne pojęcia!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dolne ograniczenie zbioru wartości to \\(-4\\) (wartość \\(f\\) w wierzchołku) - z nawiasem <strong>domkniętym</strong> \\(\\langle\\), bo minimum <strong>jest osiągane</strong> (dla \\(x = 0\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdyby parabola była skierowana w dół (\\(a &lt; 0\\)), zbiorem wartości byłoby \\((-\\infty, q\\rangle\\) - zawsze sprawdzaj znak \\(a\\)!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna i wierzchołek</h5>\n<p>Funkcja \\(f(x) = x^{2} - 4\\) jest już w postaci kanonicznej \\(f(x) = (x-0)^{2} + (-4)\\). Wierzchołek paraboli: \\((0, -4)\\).</p>\n<p>Współczynnik \\(a=1&gt;0\\), więc ramiona paraboli skierowane do góry - minimum w wierzchołku. Najmniejsza wartość: \\(-4\\).</p>\n<p>\\[ZW_{f} = \\langle -4, +\\infty).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Nierówność</h5>\n<p>\\(x^{2} \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(x^{2}-4 \\ge -4\\). Wartość \\(-4\\) jest osiągana (dla \\(x=0\\)); wartości dowolnie duże - gdy \\(|x|\\to\\infty\\). Stąd \\(ZW_{f} = \\langle -4, +\\infty)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\langle -2, +\\infty)\\)</strong> - minimum nie jest \\(-2\\) (to pierwiastek \\(\\sqrt{4}\\), ale nie wartość funkcji).</li><li><strong>C. \\(\\langle 2, +\\infty)\\)</strong> - \\(f(0) = -4 &lt; 2\\), więc \\(-4\\) też w zbiorze wartości.</li><li><strong>D. \\(\\langle 4, +\\infty)\\)</strong> - podobnie, zbyt wysokie minimum.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla \\(f(x) = x^{2} + c\\) min wartość to \\(c\\) (przyjmowana w \\(x=0\\)).</p>"}]}