{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nDane są punkty\n(1, 4)\nA =\ni\n(2,3)\nB =\n. Odcinek AB ma długość\nA. 1\nB. 4 3\nC. 5 2\nD. 7\nDane są punkty A=(1,-4) i B=(2,3). Odcinek AB ma długość A. 1, B. 4 pierwiastki z 3, C. 5 pierwiastków z 2, D. 7","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na długość odcinka\n\nMamy punkty \\(A = (1, -4)\\) i \\(B = (2, 3)\\). Podstawiamy wprost do wzoru na odległość między dwoma punktami:\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nLiczymy różnice współrzędnych:\n\\[x_B - x_A = 2 - 1 = 1\\]\n\\[y_B - y_A = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7\\]\n\nUwaga na znak! \\(3 - (-4) = 7\\), nie \\(3 - 4 = -1\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[|AB| = \\sqrt{1^2 + 7^2} = \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50}\\]\n\nUpraszczamy:\n\\[\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(|AB| = 5\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa (trójkąt pomocniczy)\n\nNarysujmy (lub wyobraźmy sobie) trójkąt prostokątny, w którym odcinek \\(AB\\) jest przeciwprostokątną.\n\nPrzyprostokątne mają długości równe różnicom współrzędnych:\n- pozioma: \\(|x_B - x_A| = |2 - 1| = 1\\)\n- pionowa: \\(|y_B - y_A| = |3 - (-4)| = 7\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[|AB|^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]\n\nTo dokładnie ta sama metoda - wzór na długość odcinka to po prostu Pitagoras zapisany bezpośrednio. **Wynik zgodny: \\(5\\sqrt{2}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do bezpośredniego obliczenia długości odcinka \\(AB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(1\\)) | Policzono tylko różnicę współrzędnych \\(x\\): \\(2 - 1 = 1\\), zupełnie pomijając różnicę \\(y\\) |\n| B (\\(4\\sqrt{3}\\)) | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{48}\\) zamiast \\(\\sqrt{50}\\) - prawdopodobnie pomylono \\(7^2 = 49\\) z \\(48\\) albo błędnie policzono różnicę \\(y\\) jako \\(6\\) zamiast \\(7\\) |\n| D (\\(\\sqrt{7}\\)) | Policzono \\(\\sqrt{(2-1) + (3-(-4))} = \\sqrt{1+7} = \\sqrt{8}\\) albo pominięto potęgowanie - zsumowano różnice zamiast ich kwadratów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to \\(3 - (-4) = -1\\) zamiast \\(7\\). Odejmowanie liczby ujemnej to **dodawanie** - zawsze zwracaj uwagę na znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie sumuj różnic, tylko ich **kwadraty**. Wzór to \\(\\sqrt{(\\Delta x)^2 + (\\Delta y)^2}\\), nie \\(\\sqrt{\\Delta x + \\Delta y}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj upraszczać pierwiastek! \\(\\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) - szukaj, czy pod pierwiastkiem nie kryje się pełny kwadrat jako czynnik (\\(50 = 25 \\cdot 2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na odległość\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}} = \\sqrt{(2-1)^{2} + (3-(-4))^{2}}\\]\n\\[= \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50} = \\sqrt{25\\cdot 2} = 5\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez przybliżenie\n\\(5\\sqrt{2}\\approx 5\\cdot 1{,}414 \\approx 7{,}07\\). Porównanie:\n- A: \\(1\\) (za mało).\n- B: \\(4\\sqrt{3}\\approx 6{,}93\\).\n- C: \\(5\\sqrt{2}\\approx 7{,}07\\) ✓.\n- D: \\(\\sqrt{7}\\approx 2{,}65\\).\n\n\\(\\sqrt{50} = \\sqrt{50}\\), a \\(\\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}\\) - różne wartości.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - to tylko \\(|x_{B}-x_{A}|\\), a nie odległość 2D.\n- **B. \\(4\\sqrt{3} = \\sqrt{48}\\ne \\sqrt{50}\\)**.\n- **D. \\(\\sqrt{7}\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Trik:** Odległość w 2D: pierwiastek z sumy kwadratów różnic współrzędnych.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Dane są punkty<br>(1, 4)<br>A =<br>i<br>(2,3)<br>B =<br>. Odcinek AB ma długość<br>A. 1<br>B. 4 3<br>C. 5 2<br>D. 7<br>Dane są punkty A=(1,-4) i B=(2,3). Odcinek AB ma długość A. 1, B. 4 pierwiastki z 3, C. 5 pierwiastków z 2, D. 7</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\sqrt{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na długość odcinka</h4>\n<p>Mamy punkty \\(A = (1, -4)\\) i \\(B = (2, 3)\\). Podstawiamy wprost do wzoru na odległość między dwoma punktami:</p>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]</p>\n<p>Liczymy różnice współrzędnych:<br>\\[x_B - x_A = 2 - 1 = 1\\]<br>\\[y_B - y_A = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7\\]</p>\n<p>Uwaga na znak! \\(3 - (-4) = 7\\), nie \\(3 - 4 = -1\\).</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[|AB| = \\sqrt{1^2 + 7^2} = \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50}\\]</p>\n<p>Upraszczamy:<br>\\[\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(|AB| = 5\\sqrt{2}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa (trójkąt pomocniczy)</h4>\n<p>Narysujmy (lub wyobraźmy sobie) trójkąt prostokątny, w którym odcinek \\(AB\\) jest przeciwprostokątną.</p>\n<p>Przyprostokątne mają długości równe różnicom współrzędnych:</p>\n<ul><li>pozioma: \\(|x_B - x_A| = |2 - 1| = 1\\)</li><li>pionowa: \\(|y_B - y_A| = |3 - (-4)| = 7\\)</li></ul>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[|AB|^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50\\]<br>\\[|AB| = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>To dokładnie ta sama metoda - wzór na długość odcinka to po prostu Pitagoras zapisany bezpośrednio. <strong>Wynik zgodny: \\(5\\sqrt{2}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - wzór na długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do bezpośredniego obliczenia długości odcinka \\(AB\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(1\\)) | Policzono tylko różnicę współrzędnych \\(x\\): \\(2 - 1 = 1\\), zupełnie pomijając różnicę \\(y\\) |<br>| B (\\(4\\sqrt{3}\\)) | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{48}\\) zamiast \\(\\sqrt{50}\\) - prawdopodobnie pomylono \\(7^2 = 49\\) z \\(48\\) albo błędnie policzono różnicę \\(y\\) jako \\(6\\) zamiast \\(7\\) |<br>| D (\\(\\sqrt{7}\\)) | Policzono \\(\\sqrt{(2-1) + (3-(-4))} = \\sqrt{1+7} = \\sqrt{8}\\) albo pominięto potęgowanie - zsumowano różnice zamiast ich kwadratów |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to \\(3 - (-4) = -1\\) zamiast \\(7\\). Odejmowanie liczby ujemnej to <strong>dodawanie</strong> - zawsze zwracaj uwagę na znak!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie sumuj różnic, tylko ich <strong>kwadraty</strong>. Wzór to \\(\\sqrt{(\\Delta x)^2 + (\\Delta y)^2}\\), nie \\(\\sqrt{\\Delta x + \\Delta y}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj upraszczać pierwiastek! \\(\\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) - szukaj, czy pod pierwiastkiem nie kryje się pełny kwadrat jako czynnik (\\(50 = 25 \\cdot 2\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na odległość</h5>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}} = \\sqrt{(2-1)^{2} + (3-(-4))^{2}}\\]<br>\\[= \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50} = \\sqrt{25\\cdot 2} = 5\\sqrt{2}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie przez przybliżenie</h5>\n<p>\\(5\\sqrt{2}\\approx 5\\cdot 1{,}414 \\approx 7{,}07\\). Porównanie:</p>\n<ul><li>A: \\(1\\) (za mało).</li><li>B: \\(4\\sqrt{3}\\approx 6{,}93\\).</li><li>C: \\(5\\sqrt{2}\\approx 7{,}07\\) ✓.</li><li>D: \\(\\sqrt{7}\\approx 2{,}65\\).</li></ul>\n<p>\\(\\sqrt{50} = \\sqrt{50}\\), a \\(\\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}\\) - różne wartości.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(1\\)</strong> - to tylko \\(|x_{B}-x_{A}|\\), a nie odległość 2D.</li><li><strong>B. \\(4\\sqrt{3} = \\sqrt{48}\\ne \\sqrt{50}\\)</strong>.</li><li><strong>D. \\(\\sqrt{7}\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Odległość w 2D: pierwiastek z sumy kwadratów różnic współrzędnych.</p>"}]}