{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt α jest ostry oraz\no\nsin\ncos47\nα =\n. Wtedy miara kąta α jest równa:\nA. 6°\nB. 33°\nC. 47°\nD. 43°\nKąt alfa jest ostry oraz sin alfa = cos47 stopni. Wtedy miara kąta alfa jest równa A. 6, B. 33, C. 47, D. 43","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 43°\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór redukcyjny \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\)\n\nZ karty wzorów wiemy, że dla dowolnego kąta \\(\\alpha\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\]\n\nMamy dane równanie:\n\\[\\sin\\alpha = \\cos 47°\\]\n\nZamieniamy lewą stronę korzystając ze wzoru redukcyjnego:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\cos 47°\\]\n\nSkoro cosinusy są równe, to argumenty są równe:\n\\[90° - \\alpha = 47°\\]\n\\[\\alpha = 90° - 47° = 43°\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\alpha = 43°\\)**\n\n## Sposób 2 - Myślenie przez trójkąt prostokątny\n\nW trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \\(90°\\), czyli są **dopełniające**.\n\nJeśli jeden kąt ostry wynosi \\(\\alpha\\), to drugi wynosi \\(90° - \\alpha\\).\n\nKluczowa obserwacja: **sinus jednego kąta ostrego = cosinus drugiego kąta ostrego** w tym samym trójkącie.\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\cos(90° - \\alpha)\\]\n\nMamy \\(\\sin\\alpha = \\cos 47°\\), więc \\(\\alpha\\) i \\(47°\\) muszą być kątami dopełniającymi:\n\\[\\alpha + 47° = 90°\\]\n\\[\\alpha = 43°\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\sin 43° = \\cos(90° - 43°) = \\cos 47°\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\quad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nTo jest **dokładnie ten wzór**, który zastosowaliśmy - sinus i cosinus kątów dopełniających są sobie równe. Na karcie wzorów znajdziesz go w sekcji „Wzory redukcyjne\".\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(6°\\) | Wynik błędnego odejmowania: \\(47° - 41° = 6°\\) albo inne losowe działanie - brak sensu matematycznego |\n| B. \\(33°\\) | Odjęto od \\(80°\\) zamiast od \\(90°\\): \\(80° - 47° = 33°\\) - mylenie kąta pełnego lub pomyłka w wartości |\n| C. \\(47°\\) | Pułapka! Uczeń myśli: „\\(\\sin\\alpha = \\cos 47°\\), więc \\(\\alpha = 47°\\)\". Ale \\(\\sin 47° \\neq \\cos 47°\\) - to byłoby prawdą tylko dla \\(\\alpha = 45°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź C - uczeń „przepisuje\" \\(47°\\) jako wynik, nie zauważając, że sinus i cosinus tego samego kąta są równe **tylko dla \\(45°\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) oznacza \\(\\alpha + \\beta = 90°\\), a **nie** \\(\\alpha = \\beta\\). Sinus i cosinus to funkcje „dopełniające się\" do \\(90°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\) to jeden z najczęściej używanych wzorów redukcyjnych na maturze - warto go znać na pamięć!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Tożsamość \\(\\cos\\beta = \\sin(90^{\\circ}-\\beta)\\)\nDla kątów ostrych \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(\\alpha = 90^{\\circ} - \\beta\\). Stąd:\n\\[\\sin\\alpha = \\cos 47^{\\circ} = \\sin(90^{\\circ} - 47^{\\circ}) = \\sin 43^{\\circ}.\\]\nZ iniektywności sinusa na przedziale \\((0^{\\circ}, 90^{\\circ})\\): \\(\\alpha = 43^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Interpretacja w trójkącie prostokątnym\nW trójkącie prostokątnym o kątach ostrych \\(\\beta\\) i \\(90^{\\circ}-\\beta\\): \\(\\sin\\beta = \\cos(90^{\\circ}-\\beta)\\). Tutaj \\(\\cos 47^{\\circ} = \\sin 43^{\\circ}\\), więc \\(\\alpha=43^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6^{\\circ}\\)** - \\(\\sin 6^{\\circ}\\approx 0{,}105\\), a \\(\\cos 47^{\\circ}\\approx 0{,}682\\). Nie równe.\n- **B. \\(33^{\\circ}\\)** - \\(\\sin 33^{\\circ}\\approx 0{,}545\\). Nie równe.\n- **C. \\(47^{\\circ}\\)** - \\(\\sin 47^{\\circ}\\ne \\cos 47^{\\circ}\\) (bo \\(\\sin 47^{\\circ}\\ne \\sin 43^{\\circ}\\)).\n\n**Trik:** Funkcje cofunkcyjne: \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^{\\circ}-\\alpha)\\); jeśli chcesz zamienić \\(\\sin\\) na \\(\\cos\\) - od \\(90^{\\circ}\\) odejmij kąt.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>Kąt α jest ostry oraz<br>o<br>sin<br>cos47<br>α =<br>. Wtedy miara kąta α jest równa:<br>A. 6°<br>B. 33°<br>C. 47°<br>D. 43°<br>Kąt alfa jest ostry oraz sin alfa = cos47 stopni. Wtedy miara kąta alfa jest równa A. 6, B. 33, C. 47, D. 43</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 43°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór redukcyjny \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\)</h4>\n<p>Z karty wzorów wiemy, że dla dowolnego kąta \\(\\alpha\\):<br>\\[\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\]</p>\n<p>Mamy dane równanie:<br>\\[\\sin\\alpha = \\cos 47°\\]</p>\n<p>Zamieniamy lewą stronę korzystając ze wzoru redukcyjnego:<br>\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\cos 47°\\]</p>\n<p>Skoro cosinusy są równe, to argumenty są równe:<br>\\[90° - \\alpha = 47°\\]<br>\\[\\alpha = 90° - 47° = 43°\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\alpha = 43°\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Myślenie przez trójkąt prostokątny</h4>\n<p>W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \\(90°\\), czyli są <strong>dopełniające</strong>.</p>\n<p>Jeśli jeden kąt ostry wynosi \\(\\alpha\\), to drugi wynosi \\(90° - \\alpha\\).</p>\n<p>Kluczowa obserwacja: <strong>sinus jednego kąta ostrego = cosinus drugiego kąta ostrego</strong> w tym samym trójkącie.</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\cos(90° - \\alpha)\\]</p>\n<p>Mamy \\(\\sin\\alpha = \\cos 47°\\), więc \\(\\alpha\\) i \\(47°\\) muszą być kątami dopełniającymi:<br>\\[\\alpha + 47° = 90°\\]<br>\\[\\alpha = 43°\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\(\\sin 43° = \\cos(90° - 43°) = \\cos 47°\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 14)</strong> - wzory redukcyjne:<br>\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\quad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>To jest <strong>dokładnie ten wzór</strong>, który zastosowaliśmy - sinus i cosinus kątów dopełniających są sobie równe. Na karcie wzorów znajdziesz go w sekcji „Wzory redukcyjne&quot;.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(6°\\) | Wynik błędnego odejmowania: \\(47° - 41° = 6°\\) albo inne losowe działanie - brak sensu matematycznego |<br>| B. \\(33°\\) | Odjęto od \\(80°\\) zamiast od \\(90°\\): \\(80° - 47° = 33°\\) - mylenie kąta pełnego lub pomyłka w wartości |<br>| C. \\(47°\\) | Pułapka! Uczeń myśli: „\\(\\sin\\alpha = \\cos 47°\\), więc \\(\\alpha = 47°\\)&quot;. Ale \\(\\sin 47° \\neq \\cos 47°\\) - to byłoby prawdą tylko dla \\(\\alpha = 45°\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to odpowiedź C - uczeń „przepisuje&quot; \\(47°\\) jako wynik, nie zauważając, że sinus i cosinus tego samego kąta są równe <strong>tylko dla \\(45°\\)</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) oznacza \\(\\alpha + \\beta = 90°\\), a <strong>nie</strong> \\(\\alpha = \\beta\\). Sinus i cosinus to funkcje „dopełniające się&quot; do \\(90°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\) to jeden z najczęściej używanych wzorów redukcyjnych na maturze - warto go znać na pamięć!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Tożsamość \\(\\cos\\beta = \\sin(90^{\\circ}-\\beta)\\)</h5>\n<p>Dla kątów ostrych \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(\\alpha = 90^{\\circ} - \\beta\\). Stąd:<br>\\[\\sin\\alpha = \\cos 47^{\\circ} = \\sin(90^{\\circ} - 47^{\\circ}) = \\sin 43^{\\circ}.\\]<br>Z iniektywności sinusa na przedziale \\((0^{\\circ}, 90^{\\circ})\\): \\(\\alpha = 43^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Interpretacja w trójkącie prostokątnym</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych \\(\\beta\\) i \\(90^{\\circ}-\\beta\\): \\(\\sin\\beta = \\cos(90^{\\circ}-\\beta)\\). Tutaj \\(\\cos 47^{\\circ} = \\sin 43^{\\circ}\\), więc \\(\\alpha=43^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(6^{\\circ}\\)</strong> - \\(\\sin 6^{\\circ}\\approx 0{,}105\\), a \\(\\cos 47^{\\circ}\\approx 0{,}682\\). Nie równe.</li><li><strong>B. \\(33^{\\circ}\\)</strong> - \\(\\sin 33^{\\circ}\\approx 0{,}545\\). Nie równe.</li><li><strong>C. \\(47^{\\circ}\\)</strong> - \\(\\sin 47^{\\circ}\\ne \\cos 47^{\\circ}\\) (bo \\(\\sin 47^{\\circ}\\ne \\sin 43^{\\circ}\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Funkcje cofunkcyjne: \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^{\\circ}-\\alpha)\\); jeśli chcesz zamienić \\(\\sin\\) na \\(\\cos\\) - od \\(90^{\\circ}\\) odejmij kąt.</p>"}]}