{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nIle wyrazów ujemnych ma ciąg (\n)\nn\na\nokreślony wzorem\n2\n2\n9 dla\n1\nn\na\nn\nn\n≥?\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nIle wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n=2n^2-9 dla n >= 1?","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nCiąg ma **2 wyrazy ujemne**.\n\n## Sposób 1 - Szukanie bezpośrednio kiedy \\(a_n < 0\\)\n\nSzukamy, dla jakich \\(n \\geq 1\\) spełniona jest nierówność:\n\\[a_n < 0\\]\n\\[2n^2 - 9 < 0\\]\n\\[2n^2 < 9\\]\n\\[n^2 < \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]\n\\[n < \\sqrt{4{,}5} \\approx 2{,}12\\]\n\nPonieważ \\(n\\) musi być liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)), mamy:\n\\[n \\in \\{1, 2\\}\\]\n\n**Sprawdzamy:**\n\\[a_1 = 2 \\cdot 1^2 - 9 = 2 - 9 = -7 < 0 \\checkmark\\]\n\\[a_2 = 2 \\cdot 2^2 - 9 = 8 - 9 = -1 < 0 \\checkmark\\]\n\\[a_3 = 2 \\cdot 3^2 - 9 = 18 - 9 = 9 > 0\\]\n\nZatem **dokładnie 2 wyrazy** ciągu są ujemne.\n\n## Sposób 2 - Obliczenie kolejnych wyrazów wprost\n\nZamiast rozwiązywać nierówność, po prostu podstawiamy kolejne \\(n\\):\n\n| \\(n\\) | \\(a_n = 2n^2 - 9\\) | Znak |\n| 1 | \\(2 \\cdot 1 - 9 = -7\\) | ujemny |\n| 2 | \\(2 \\cdot 4 - 9 = -1\\) | ujemny |\n| 3 | \\(2 \\cdot 9 - 9 = 9\\) | dodatni |\n| 4 | \\(2 \\cdot 16 - 9 = 23\\) | dodatni |\n\nPonieważ \\(a_n = 2n^2 - 9\\) jest funkcją rosnącą dla \\(n \\geq 1\\) (współczynnik przy \\(n^2\\) jest dodatni), od \\(n = 3\\) wzwyż wszystkie wyrazy są dodatnie. **Ujemne wyrazy: \\(a_1\\) i \\(a_2\\) - łącznie 2.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozwiązanie prostej nierówności kwadratowej i podstawianie wartości naturalnych.\n\n(Ewentualnie możemy potraktować \\(a_n = 2n^2 - 9\\) jako funkcję kwadratową i odczytać, kiedy jest ujemna, co wiąże się z **Działem 7, s. 7-9** - miejsca zerowe trójmianu: \\(n = \\pm\\sqrt{\\frac{9}{2}} \\approx \\pm 2{,}12\\). Nas interesuje tylko \\(n \\geq 1\\), czyli wartości naturalne poniżej \\(2{,}12\\).)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń błędnie uznaje, że \\(a_1 = 2 - 9 = -7\\) jest „technicznie poza zakresem\" lub myli znak - w ogóle nie liczy wyrazów |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń liczy tylko \\(a_1 = -7\\), a dla \\(a_2\\) pomyłkowo wychodzi \\(8 - 9 = 1 > 0\\) (błąd \\(2 \\cdot 4 = 8\\) mylone z \\(2 \\cdot 2 = 4\\)) |\n| D (\\(3\\)) | Uczeń bierze \\(n < \\sqrt{9} = 3\\) (zapomina podzielić przez 2 w nierówności \\(n^2 < \\frac{9}{2}\\)), co daje \\(n \\in \\{1, 2, 3\\}\\) - błąd o jeden |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzięcie \\(n^2 < 9\\) zamiast \\(n^2 < \\frac{9}{2}\\) - czyli zapomnienie o podzieleniu przez 2. To daje fałszywy wynik \\(n < 3\\), czyli 3 wyrazy ujemne (odpowiedź D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(n\\) przyjmuje tylko wartości naturalne \\(\\geq 1\\), więc nierówność \\(n < 2{,}12\\) daje \\(n \\in \\{1, 2\\}\\) - nie \\(n \\in \\{1, 2, 2{,}12\\}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = 2n^2 - 9\\) to **nie jest** ciąg arytmetyczny ani geometryczny - nie ma tu wzoru sumy ani ilorazu. To po prostu funkcja kwadratowa dziedziny naturalnej.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności \\(a_{n} < 0\\)\n\\[2n^{2} - 9 < 0 \\Rightarrow n^{2} < \\dfrac{9}{2} = 4{,}5.\\]\n\\(n\\) jest liczbą naturalną \\(\\ge 1\\). Sprawdzamy:\n- \\(n=1\\): \\(1 < 4{,}5\\) ✓ → \\(a_{1} = 2 - 9 = -7 < 0\\).\n- \\(n=2\\): \\(4 < 4{,}5\\) ✓ → \\(a_{2} = 8 - 9 = -1 < 0\\).\n- \\(n=3\\): \\(9 > 4{,}5\\) ✗ → \\(a_{3} = 18 - 9 = 9 > 0\\).\n\nUjemne są \\(a_{1}\\) i \\(a_{2}\\) - **2 wyrazy**.\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie\n\\(a_{1} = -7\\), \\(a_{2} = -1\\), \\(a_{3} = 9\\), \\(a_{4} = 23\\) Dla \\(n\\ge 3\\): \\(a_{n} > 0\\) (rośnie). Zatem tylko \\(n=1, 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - istnieją wyrazy ujemne (\\(a_{1},a_{2}\\)).\n- **B. \\(1\\)** - dwa wyrazy ujemne, nie jeden.\n- **D. \\(3\\)** - \\(a_{3}=9>0\\), więc nie ma trzeciego ujemnego.\n\n**Trik:** W ciągach kwadratowych sprawdzaj miejsce zerowe nierówności - ciąg monotoniczny (rosnący od pewnego miejsca) ma ograniczoną liczbę wyrazów ujemnych.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (<br>)<br>n<br>a<br>określony wzorem<br>2<br>2<br>9 dla<br>1<br>n<br>a<br>n<br>n<br>≥?<br>A. 0<br>B. 1<br>C. 2<br>D. 3<br>Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n=2n^2-9 dla n &gt;= 1?</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Ciąg ma <strong>2 wyrazy ujemne</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Szukanie bezpośrednio kiedy \\(a_n &lt; 0\\)</h4>\n<p>Szukamy, dla jakich \\(n \\geq 1\\) spełniona jest nierówność:<br>\\[a_n &lt; 0\\]<br>\\[2n^2 - 9 &lt; 0\\]<br>\\[2n^2 &lt; 9\\]<br>\\[n^2 &lt; \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]<br>\\[n &lt; \\sqrt{4{,}5} \\approx 2{,}12\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(n\\) musi być liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)), mamy:<br>\\[n \\in \\{1, 2\\}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy:</strong><br>\\[a_1 = 2 \\cdot 1^2 - 9 = 2 - 9 = -7 &lt; 0 \\checkmark\\]<br>\\[a_2 = 2 \\cdot 2^2 - 9 = 8 - 9 = -1 &lt; 0 \\checkmark\\]<br>\\[a_3 = 2 \\cdot 3^2 - 9 = 18 - 9 = 9 &gt; 0\\]</p>\n<p>Zatem <strong>dokładnie 2 wyrazy</strong> ciągu są ujemne.</p>\n<h4>Sposób 2 - Obliczenie kolejnych wyrazów wprost</h4>\n<p>Zamiast rozwiązywać nierówność, po prostu podstawiamy kolejne \\(n\\):</p>\n<p>| \\(n\\) | \\(a_n = 2n^2 - 9\\) | Znak |<br>| 1 | \\(2 \\cdot 1 - 9 = -7\\) | ujemny |<br>| 2 | \\(2 \\cdot 4 - 9 = -1\\) | ujemny |<br>| 3 | \\(2 \\cdot 9 - 9 = 9\\) | dodatni |<br>| 4 | \\(2 \\cdot 16 - 9 = 23\\) | dodatni |</p>\n<p>Ponieważ \\(a_n = 2n^2 - 9\\) jest funkcją rosnącą dla \\(n \\geq 1\\) (współczynnik przy \\(n^2\\) jest dodatni), od \\(n = 3\\) wzwyż wszystkie wyrazy są dodatnie. <strong>Ujemne wyrazy: \\(a_1\\) i \\(a_2\\) - łącznie 2.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozwiązanie prostej nierówności kwadratowej i podstawianie wartości naturalnych.</p>\n<p>(Ewentualnie możemy potraktować \\(a_n = 2n^2 - 9\\) jako funkcję kwadratową i odczytać, kiedy jest ujemna, co wiąże się z <strong>Działem 7, s. 7-9</strong> - miejsca zerowe trójmianu: \\(n = \\pm\\sqrt{\\frac{9}{2}} \\approx \\pm 2{,}12\\). Nas interesuje tylko \\(n \\geq 1\\), czyli wartości naturalne poniżej \\(2{,}12\\).)</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(0\\)) | Uczeń błędnie uznaje, że \\(a_1 = 2 - 9 = -7\\) jest „technicznie poza zakresem&quot; lub myli znak - w ogóle nie liczy wyrazów |<br>| B (\\(1\\)) | Uczeń liczy tylko \\(a_1 = -7\\), a dla \\(a_2\\) pomyłkowo wychodzi \\(8 - 9 = 1 &gt; 0\\) (błąd \\(2 \\cdot 4 = 8\\) mylone z \\(2 \\cdot 2 = 4\\)) |<br>| D (\\(3\\)) | Uczeń bierze \\(n &lt; \\sqrt{9} = 3\\) (zapomina podzielić przez 2 w nierówności \\(n^2 &lt; \\frac{9}{2}\\)), co daje \\(n \\in \\{1, 2, 3\\}\\) - błąd o jeden |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to wzięcie \\(n^2 &lt; 9\\) zamiast \\(n^2 &lt; \\frac{9}{2}\\) - czyli zapomnienie o podzieleniu przez 2. To daje fałszywy wynik \\(n &lt; 3\\), czyli 3 wyrazy ujemne (odpowiedź D).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(n\\) przyjmuje tylko wartości naturalne \\(\\geq 1\\), więc nierówność \\(n &lt; 2{,}12\\) daje \\(n \\in \\{1, 2\\}\\) - nie \\(n \\in \\{1, 2, 2{,}12\\}\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = 2n^2 - 9\\) to <strong>nie jest</strong> ciąg arytmetyczny ani geometryczny - nie ma tu wzoru sumy ani ilorazu. To po prostu funkcja kwadratowa dziedziny naturalnej.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności \\(a_{n} &lt; 0\\)</h5>\n<p>\\[2n^{2} - 9 &lt; 0 \\Rightarrow n^{2} &lt; \\dfrac{9}{2} = 4{,}5.\\]<br>\\(n\\) jest liczbą naturalną \\(\\ge 1\\). Sprawdzamy:</p>\n<ul><li>\\(n=1\\): \\(1 &lt; 4{,}5\\) ✓ → \\(a_{1} = 2 - 9 = -7 &lt; 0\\).</li><li>\\(n=2\\): \\(4 &lt; 4{,}5\\) ✓ → \\(a_{2} = 8 - 9 = -1 &lt; 0\\).</li><li>\\(n=3\\): \\(9 &gt; 4{,}5\\) ✗ → \\(a_{3} = 18 - 9 = 9 &gt; 0\\).</li></ul>\n<p>Ujemne są \\(a_{1}\\) i \\(a_{2}\\) - <strong>2 wyrazy</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie</h5>\n<p>\\(a_{1} = -7\\), \\(a_{2} = -1\\), \\(a_{3} = 9\\), \\(a_{4} = 23\\) Dla \\(n\\ge 3\\): \\(a_{n} &gt; 0\\) (rośnie). Zatem tylko \\(n=1, 2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0\\)</strong> - istnieją wyrazy ujemne (\\(a_{1},a_{2}\\)).</li><li><strong>B. \\(1\\)</strong> - dwa wyrazy ujemne, nie jeden.</li><li><strong>D. \\(3\\)</strong> - \\(a_{3}=9&gt;0\\), więc nie ma trzeciego ujemnego.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W ciągach kwadratowych sprawdzaj miejsce zerowe nierówności - ciąg monotoniczny (rosnący od pewnego miejsca) ma ograniczoną liczbę wyrazów ujemnych.</p>"}]}