{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nKrawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:\nA.\n3 9\nB. 9 2\nC. 9 3\nD. 9\n9 2\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nKrawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. pierwiastek trzeciego stopnia z 9, B. 9 pierwiastków z 2, C. 9 pierwiastków z 3, D. 9 + 9 pierwiastków z 2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(9\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\n\n**Co szukamy?** Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki - przechodzi przez wnętrze bryły.\n\nNiech krawędź sześcianu ma długość \\(a = 9\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz przekątną podstawy (kwadrat).**\n\nPodstawa sześcianu to kwadrat o boku \\(a\\). Jego przekątna:\n\\[d_{\\text{podstawy}} = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz przekątną sześcianu.**\n\nPrzekątna sześcianu \\(d\\) tworzy trójkąt prostokątny z:\n- przekątną podstawy \\(a\\sqrt{2}\\) (przyprostokątna)\n- krawędzią pionową \\(a\\) (przyprostokątna)\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = (a\\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2\\]\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Podstaw \\(a = 9\\):**\n\\[\\boxed{d = 9\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio ze współrzędnych\n\nUmieść sześcian w układzie współrzędnych tak, żeby jeden wierzchołek był w \\(A = (0, 0, 0)\\), a przeciwległy w \\(B = (9, 9, 9)\\).\n\nDługość przekątnej:\n\\[d = |AB| = \\sqrt{(9-0)^2 + (9-0)^2 + (9-0)^2} = \\sqrt{81 + 81 + 81} = \\sqrt{3 \\cdot 81} = \\sqrt{3} \\cdot 9 = 9\\sqrt{3}\\]\n\nTen sam wynik - potwierdza odpowiedź C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nKrawędź sześcianu to krawędź prostopadłościanu o \\(a = b = c\\). Przekątna przestrzenna prostopadłościanu wynika z podwójnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[c^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyliśmy go dwukrotnie: najpierw do przekątnej podstawy, potem do przekątnej przestrzennej.\n\nGotowy wzór na przekątną sześcianu (wynika ze stereometrii):\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(3\\sqrt{9} = 3 \\cdot 3 = 9\\) - to po prostu krawędź sześcianu! Błąd: mylenie \\(3\\sqrt{9}\\) z \\(9\\sqrt{3}\\). Nieprawidłowe rozpisanie pierwiastka. |\n| B | \\(9\\sqrt{2}\\) - to przekątna **podstawy** (kwadrat o boku 9), nie przekątna sześcianu. Błąd: zatrzymanie się na pierwszym kroku. |\n| D | \\(9 + 9\\sqrt{2}\\) - brak sensu geometrycznego; błąd polegający na **dodaniu** krawędzi i przekątnej podstawy zamiast zastosowania Pitagorasa. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3\\sqrt{9} = 9\\), nie \\(9\\sqrt{3}\\)! Odpowiedź A to pułapka na nieuważnych - wyrażenia wyglądają podobnie, ale mają zupełnie różne wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna sześcianu ≠ przekątna podstawy. Przekątna podstawy to \\(a\\sqrt{2}\\), a przekątna przestrzenna to \\(a\\sqrt{3}\\). Zapamiętaj: **sześcian → \\(\\sqrt{3}\\), kwadrat → \\(\\sqrt{2}\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Pitagorasa stosujemy **dwa razy** (najpierw w 2D, potem w 3D) - nie pomijaj żadnego kroku i nie dodawaj długości zamiast kwadrować.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\) przekątna przestrzenna:\n\\[d = a\\sqrt{3}.\\]\nDla \\(a=9\\): \\(d = 9\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Podwójne twierdzenie Pitagorasa\nPrzekątna ściany (kwadrat o boku \\(9\\)): \\(d_{1} = 9\\sqrt{2}\\).\nPrzekątna sześcianu z trójkąta prostokątnego (krawędź \\(9\\), przekątna ściany \\(9\\sqrt{2}\\)):\n\\[d = \\sqrt{9^{2} + (9\\sqrt{2})^{2}} = \\sqrt{81 + 162} = \\sqrt{243} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\sqrt{9}=9\\)** - to długość krawędzi, nie przekątnej.\n- **B. \\(9\\sqrt{2}\\)** - to przekątna ŚCIANY (kwadrat), nie sześcianu.\n- **D. \\(9 + 9\\sqrt{2}\\)** - suma krawędzi i przekątnej ściany, ale nie długość odcinka.\n\n**Trik:** Przekątna sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(a\\sqrt{3}\\) (pamiętać jak wzór pitagorejski w 3D).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"stereometria","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Krawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:<br>A.<br>3 9<br>B. 9 2<br>C. 9 3<br>D. 9<br>9 2</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>5<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>6<br>Krawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. pierwiastek trzeciego stopnia z 9, B. 9 pierwiastków z 2, C. 9 pierwiastków z 3, D. 9 + 9 pierwiastków z 2.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(9\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu</h4>\n<p><strong>Co szukamy?</strong> Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki - przechodzi przez wnętrze bryły.</p>\n<p>Niech krawędź sześcianu ma długość \\(a = 9\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz przekątną podstawy (kwadrat).</strong></p>\n<p>Podstawa sześcianu to kwadrat o boku \\(a\\). Jego przekątna:<br>\\[d_{\\text{podstawy}} = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz przekątną sześcianu.</strong></p>\n<p>Przekątna sześcianu \\(d\\) tworzy trójkąt prostokątny z:</p>\n<ul><li>przekątną podstawy \\(a\\sqrt{2}\\) (przyprostokątna)</li><li>krawędzią pionową \\(a\\) (przyprostokątna)</li></ul>\n<p>Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[d^2 = (a\\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2\\]<br>\\[d = a\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstaw \\(a = 9\\):</strong><br>\\[\\boxed{d = 9\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio ze współrzędnych</h4>\n<p>Umieść sześcian w układzie współrzędnych tak, żeby jeden wierzchołek był w \\(A = (0, 0, 0)\\), a przeciwległy w \\(B = (9, 9, 9)\\).</p>\n<p>Długość przekątnej:<br>\\[d = |AB| = \\sqrt{(9-0)^2 + (9-0)^2 + (9-0)^2} = \\sqrt{81 + 81 + 81} = \\sqrt{3 \\cdot 81} = \\sqrt{3} \\cdot 9 = 9\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Ten sam wynik - potwierdza odpowiedź C.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong></p>\n<p>Krawędź sześcianu to krawędź prostopadłościanu o \\(a = b = c\\). Przekątna przestrzenna prostopadłościanu wynika z podwójnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[c^2 = a^2 + b^2\\]<br>Użyliśmy go dwukrotnie: najpierw do przekątnej podstawy, potem do przekątnej przestrzennej.</p>\n<p>Gotowy wzór na przekątną sześcianu (wynika ze stereometrii):<br>\\[d = a\\sqrt{3}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(3\\sqrt{9} = 3 \\cdot 3 = 9\\) - to po prostu krawędź sześcianu! Błąd: mylenie \\(3\\sqrt{9}\\) z \\(9\\sqrt{3}\\). Nieprawidłowe rozpisanie pierwiastka. |<br>| B | \\(9\\sqrt{2}\\) - to przekątna <strong>podstawy</strong> (kwadrat o boku 9), nie przekątna sześcianu. Błąd: zatrzymanie się na pierwszym kroku. |<br>| D | \\(9 + 9\\sqrt{2}\\) - brak sensu geometrycznego; błąd polegający na <strong>dodaniu</strong> krawędzi i przekątnej podstawy zamiast zastosowania Pitagorasa. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(3\\sqrt{9} = 9\\), nie \\(9\\sqrt{3}\\)! Odpowiedź A to pułapka na nieuważnych - wyrażenia wyglądają podobnie, ale mają zupełnie różne wartości.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątna sześcianu ≠ przekątna podstawy. Przekątna podstawy to \\(a\\sqrt{2}\\), a przekątna przestrzenna to \\(a\\sqrt{3}\\). Zapamiętaj: <strong>sześcian → \\(\\sqrt{3}\\), kwadrat → \\(\\sqrt{2}\\)</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie Pitagorasa stosujemy <strong>dwa razy</strong> (najpierw w 2D, potem w 3D) - nie pomijaj żadnego kroku i nie dodawaj długości zamiast kwadrować.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu</h5>\n<p>Dla sześcianu o krawędzi \\(a\\) przekątna przestrzenna:<br>\\[d = a\\sqrt{3}.\\]<br>Dla \\(a=9\\): \\(d = 9\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Podwójne twierdzenie Pitagorasa</h5>\n<p>Przekątna ściany (kwadrat o boku \\(9\\)): \\(d_{1} = 9\\sqrt{2}\\).<br>Przekątna sześcianu z trójkąta prostokątnego (krawędź \\(9\\), przekątna ściany \\(9\\sqrt{2}\\)):<br>\\[d = \\sqrt{9^{2} + (9\\sqrt{2})^{2}} = \\sqrt{81 + 162} = \\sqrt{243} = 9\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\sqrt{9}=9\\)</strong> - to długość krawędzi, nie przekątnej.</li><li><strong>B. \\(9\\sqrt{2}\\)</strong> - to przekątna ŚCIANY (kwadrat), nie sześcianu.</li><li><strong>D. \\(9 + 9\\sqrt{2}\\)</strong> - suma krawędzi i przekątnej ściany, ale nie długość odcinka.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przekątna sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(a\\sqrt{3}\\) (pamiętać jak wzór pitagorejski w 3D).</p>"}]}