{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 3, 1, 1, 0, x, 2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa\nA. 3\nB. 4\nC. 5\nD. 6\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 3,1,1,0,x,2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa A. 3, B. 4, C. 5, D. 6","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną\n\nZe wzoru na średnią arytmetyczną \\(n\\) liczb wiemy, że:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]\n\nMamy sześć liczb: \\(3, 1, 1, 0, x, 2\\), a ich średnia wynosi \\(2\\). Podstawiamy:\n\\[\\frac{3 + 1 + 1 + 0 + x + 2}{6} = 2\\]\n\nLiczymy sumę znanych liczb:\n\\[\\frac{7 + x}{6} = 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(6\\):\n\\[7 + x = 12\\]\n\nOdejmujemy \\(7\\) od obu stron:\n\\[x = 5\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = 5\\), czyli odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Z własności sumy (suma = średnia × liczba wyrazów)\n\nSkoro średnia sześciu liczb wynosi \\(2\\), to ich suma musi wynosić:\n\\[\\text{suma} = \\bar{a} \\cdot n = 2 \\cdot 6 = 12\\]\n\nSumujemy znane liczby:\n\\[3 + 1 + 1 + 0 + 2 = 7\\]\n\nSkoro cała suma ma wynosić \\(12\\), to brakująca liczba to:\n\\[x = 12 - 7 = 5\\]\n\n**Weryfikacja:** średnia liczb \\(3, 1, 1, 0, 5, 2\\):\n\\[\\frac{3 + 1 + 1 + 0 + 5 + 2}{6} = \\frac{12}{6} = 2 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - podstawiliśmy dane i wyznaczyli \\(x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(3\\) | Uczeń liczy \\(3+1+1+0+2 = 7\\), dzieli przez \\(5\\) (zamiast \\(6\\)) i dostaje \\(\\approx 1{,}4\\), po czym gubi się w obliczeniach - lub po prostu wpisuje \"coś z zadania\" |\n| B: \\(4\\) | Uczeń liczy sumę znanych liczb jako \\(8\\) (błąd rachunkowy: pomija \\(0\\) lub liczy \\(3+1+1+2=7\\), ale potem odejmuje od \\(11\\) zamiast \\(12\\)) |\n| D: \\(6\\) | Uczeń zapomina odliczyć jedną z liczb (np. pomija \\(1\\)) i dostaje sumę znanych \\(= 6\\), a wtedy \\(x = 12 - 6 = 6\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o zerze! Liczba \\(0\\) jest w zbiorze i **wchodzi do sumy** (nie zmienia sumy, ale wchodzi do **licznika** - i przede wszystkim jest jednym z sześciu wyrazów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, ile liczb jest w zbiorze - tu jest ich **sześć** (licząc \\(x\\)). Łatwo pomylić się i dzielić przez \\(5\\), bo \\(x\\) \"nie wygląda jak liczba\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prościej jest od razu policzyć **wymaganą sumę** (\\(\\bar{a} \\cdot n = 2 \\cdot 6 = 12\\)) i odjąć sumę pozostałych - to szybsza droga bez ryzyka błędu przy mnożeniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja średniej arytmetycznej\n\\[\\text{średnia} = \\dfrac{3+1+1+0+x+2}{6} = 2.\\]\nLicznik: \\(7 + x\\). Zatem:\n\\[\\dfrac{7+x}{6} = 2 \\Rightarrow 7+x = 12 \\Rightarrow x = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Suma liczb musi być \\(6\\cdot 2 = 12\\)\n\\(3+1+1+0+2 = 7\\), więc brakuje \\(12 - 7 = 5\\). Stąd \\(x = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - daje sumę \\(10\\), średnią \\(\\tfrac{10}{6}\\ne 2\\).\n- **B. \\(4\\)** - suma \\(11\\), średnia \\(\\tfrac{11}{6}\\ne 2\\).\n- **D. \\(6\\)** - suma \\(13\\), średnia \\(\\tfrac{13}{6}\\ne 2\\).\n\n**Trik:** Średnia = \\(\\tfrac{\\text{suma}}{n}\\). Jeśli znasz średnią i \\(n\\) → sumę od razu wyliczysz.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3, 1, 1, 0, x, 2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3,1,1,0,x,2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa A. 3, B. 4, C. 5, D. 6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 5\\)

\n

Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną

\n

Ze wzoru na średnią arytmetyczną \\(n\\) liczb wiemy, że:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]

\n

Mamy sześć liczb: \\(3, 1, 1, 0, x, 2\\), a ich średnia wynosi \\(2\\). Podstawiamy:
\\[\\frac{3 + 1 + 1 + 0 + x + 2}{6} = 2\\]

\n

Liczymy sumę znanych liczb:
\\[\\frac{7 + x}{6} = 2\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(6\\):
\\[7 + x = 12\\]

\n

Odejmujemy \\(7\\) od obu stron:
\\[x = 5\\]

\n

Odpowiedź: \\(x = 5\\), czyli odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - Z własności sumy (suma = średnia × liczba wyrazów)

\n

Skoro średnia sześciu liczb wynosi \\(2\\), to ich suma musi wynosić:
\\[\\text{suma} = \\bar{a} \\cdot n = 2 \\cdot 6 = 12\\]

\n

Sumujemy znane liczby:
\\[3 + 1 + 1 + 0 + 2 = 7\\]

\n

Skoro cała suma ma wynosić \\(12\\), to brakująca liczba to:
\\[x = 12 - 7 = 5\\]

\n

Weryfikacja: średnia liczb \\(3, 1, 1, 0, 5, 2\\):
\\[\\frac{3 + 1 + 1 + 0 + 5 + 2}{6} = \\frac{12}{6} = 2 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]
Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - podstawiliśmy dane i wyznaczyli \\(x\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(3\\) | Uczeń liczy \\(3+1+1+0+2 = 7\\), dzieli przez \\(5\\) (zamiast \\(6\\)) i dostaje \\(\\approx 1{,}4\\), po czym gubi się w obliczeniach - lub po prostu wpisuje "coś z zadania" |
| B: \\(4\\) | Uczeń liczy sumę znanych liczb jako \\(8\\) (błąd rachunkowy: pomija \\(0\\) lub liczy \\(3+1+1+2=7\\), ale potem odejmuje od \\(11\\) zamiast \\(12\\)) |
| D: \\(6\\) | Uczeń zapomina odliczyć jedną z liczb (np. pomija \\(1\\)) i dostaje sumę znanych \\(= 6\\), a wtedy \\(x = 12 - 6 = 6\\) |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o zerze! Liczba \\(0\\) jest w zbiorze i wchodzi do sumy (nie zmienia sumy, ale wchodzi do licznika - i przede wszystkim jest jednym z sześciu wyrazów).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, ile liczb jest w zbiorze - tu jest ich sześć (licząc \\(x\\)). Łatwo pomylić się i dzielić przez \\(5\\), bo \\(x\\) "nie wygląda jak liczba".
\n
⚠️ Uwaga: Prościej jest od razu policzyć wymaganą sumę (\\(\\bar{a} \\cdot n = 2 \\cdot 6 = 12\\)) i odjąć sumę pozostałych - to szybsza droga bez ryzyka błędu przy mnożeniu.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Definicja średniej arytmetycznej
\n

\\[\\text{średnia} = \\dfrac{3+1+1+0+x+2}{6} = 2.\\]
Licznik: \\(7 + x\\). Zatem:
\\[\\dfrac{7+x}{6} = 2 \\Rightarrow 7+x = 12 \\Rightarrow x = 5.\\]

\n
Sposób 2 - Suma liczb musi być \\(6\\cdot 2 = 12\\)
\n

\\(3+1+1+0+2 = 7\\), więc brakuje \\(12 - 7 = 5\\). Stąd \\(x = 5\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Średnia = \\(\\tfrac{\\text{suma}}{n}\\). Jeśli znasz średnią i \\(n\\) → sumę od razu wyliczysz.

"}]}