{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nZe\nzbioru\ndwucyfrowych\nliczb\nnaturalnych\nwybieramy\nlosowo\njedną\nliczbę.\nPrawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe\nA.\n1\n90\nB.\n2\n90\nC.\n3\n90\nD. 10\n90\nZe zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe A. 1/90, B. 2/90, C. 3/90, D. 10/90","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{3}{90}\\)\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\).**\n\nZbiór dwucyfrowych liczb naturalnych to liczby od \\(10\\) do \\(99\\).\n\n\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy zdarzenie sprzyjające \\(A\\) - liczby dwucyfrowe podzielne przez \\(30\\).**\n\nWielokrotności liczby \\(30\\):\n\\[30 \\cdot 1 = 30 \\quad \\checkmark\\]\n\\[30 \\cdot 2 = 60 \\quad \\checkmark\\]\n\\[30 \\cdot 3 = 90 \\quad \\checkmark\\]\n\\[30 \\cdot 4 = 120 \\quad \\text{- już trzycyfrowa, odpadamy}\\]\n\nZatem \\(A = \\{30, 60, 90\\}\\), czyli \\(|A| = 3\\).\n\n**Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{90}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez podzielność (rozkład na czynniki)\n\nLiczba jest podzielna przez \\(30\\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna jednocześnie przez \\(2\\), \\(3\\) i \\(5\\) (bo \\(30 = 2 \\cdot 3 \\cdot 5\\)).\n\nWśród dwucyfrowych liczb naturalnych szukamy takich, które kończą się na \\(0\\) (podzielność przez \\(2\\) i \\(5\\)) **oraz** suma ich cyfr jest podzielna przez \\(3\\).\n\nDwucyfrowe liczby kończące się na \\(0\\): \\(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\\) - jest ich \\(9\\).\n\nSprawdzamy podzielność przez \\(3\\) (suma cyfr musi być podzielna przez \\(3\\)):\n\n| Liczba | Suma cyfr | Podzielna przez 3? |\n| 10 | \\(1+0=1\\) | nie |\n| 20 | \\(2+0=2\\) | nie |\n| **30** | \\(3+0=3\\) | **tak** |\n| 40 | \\(4+0=4\\) | nie |\n| 50 | \\(5+0=5\\) | nie |\n| **60** | \\(6+0=6\\) | **tak** |\n| 70 | \\(7+0=7\\) | nie |\n| 80 | \\(8+0=8\\) | nie |\n| **90** | \\(9+0=9\\) | **tak** |\n\nSprzyjające: \\(\\{30, 60, 90\\}\\) - dokładnie \\(3\\) liczby. Wynik potwierdza:\n\n\\[P(A) = \\frac{3}{90}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach: \\(|\\Omega| = 90\\) (wszystkie dwucyfrowe), \\(|A| = 3\\) (podzielne przez 30).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\frac{1}{90}\\) | Uczeń znalazł tylko **jedną** wielokrotność 30 (np. tylko liczbę 30), zapominając o 60 i 90 |\n| B: \\(\\frac{2}{90}\\) | Uczeń znalazł dwie wielokrotności (np. 30 i 60), pomijając 90 |\n| D: \\(\\frac{10}{90}\\) | Uczeń policzył wielokrotności **10** zamiast **30** - jest ich dokładnie 9 (nie 10, bo do 90), albo błędnie wyznaczył przestrzeń zdarzeń |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwucyfrowe liczby naturalne to **90 liczb** (od 10 do 99), nie 99! Nie wliczamy liczb jednocyfrowych (1-9).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukamy wielokrotności 30 w zakresie **10-99**. Łatwo zapomnieć o 90 - bo \"wygląda jak granica zakresu\", ale 90 ≤ 99, więc należy do zbioru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(120 = 30 \\cdot 4\\) już **nie jest** dwucyfrowa - zawsze sprawdzaj, czy wynik mieści się w zakresie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie zdarzeń sprzyjających\nLiczby dwucyfrowe: od \\(10\\) do \\(99\\). Ich jest \\(99-10+1 = 90\\), więc \\(|\\Omega| = 90\\).\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(30\\): \\(30, 60, 90\\). Jest ich \\(3\\).\n\n\\[P = \\dfrac{3}{90} = \\dfrac{1}{30}.\\]\n\n### Sposób 2 - Co 30-ta liczba\nLiczby podzielne przez \\(30\\) to \\(30k\\) dla \\(k=1,2,3,\\ldots\\). W zakresie \\(\\langle 10, 99\\rangle\\): \\(k=1,2,3\\) (czyli \\(30, 60, 90\\)). Stąd \\(3\\) wyrazy.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{90}\\)** - tylko \\(1\\) zdarzenie sprzyjające? Niepoprawne (są trzy).\n- **B. \\(\\tfrac{2}{90}\\)** - dwa zdarzenia? Pominięto np. \\(90\\).\n- **D. \\(\\tfrac{10}{90}\\)** - \\(10\\) zdarzeń sprzyjających? To byłyby liczby podzielne przez \\(9\\) lub podobne.\n\n**Trik:** Ilość wielokrotności \\(k\\) w przedziale \\(\\langle a, b\\rangle\\): \\(\\lfloor b/k\\rfloor - \\lfloor (a-1)/k\\rfloor\\). Tu: \\(\\lfloor 99/30\\rfloor - \\lfloor 9/30\\rfloor = 3 - 0 = 3\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Ze<br>zbioru<br>dwucyfrowych<br>liczb<br>naturalnych<br>wybieramy<br>losowo<br>jedną<br>liczbę.<br>Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe<br>A.<br>1<br>90<br>B.<br>2<br>90<br>C.<br>3<br>90<br>D. 10<br>90<br>Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe A. 1/90, B. 2/90, C. 3/90, D. 10/90</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{3}{90}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa</h4>\n<p><strong>Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\).</strong></p>\n<p>Zbiór dwucyfrowych liczb naturalnych to liczby od \\(10\\) do \\(99\\).</p>\n<p>\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy zdarzenie sprzyjające \\(A\\) - liczby dwucyfrowe podzielne przez \\(30\\).</strong></p>\n<p>Wielokrotności liczby \\(30\\):<br>\\[30 \\cdot 1 = 30 \\quad \\checkmark\\]<br>\\[30 \\cdot 2 = 60 \\quad \\checkmark\\]<br>\\[30 \\cdot 3 = 90 \\quad \\checkmark\\]<br>\\[30 \\cdot 4 = 120 \\quad \\text{- już trzycyfrowa, odpadamy}\\]</p>\n<p>Zatem \\(A = \\{30, 60, 90\\}\\), czyli \\(|A| = 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo.</strong></p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{90}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez podzielność (rozkład na czynniki)</h4>\n<p>Liczba jest podzielna przez \\(30\\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna jednocześnie przez \\(2\\), \\(3\\) i \\(5\\) (bo \\(30 = 2 \\cdot 3 \\cdot 5\\)).</p>\n<p>Wśród dwucyfrowych liczb naturalnych szukamy takich, które kończą się na \\(0\\) (podzielność przez \\(2\\) i \\(5\\)) <strong>oraz</strong> suma ich cyfr jest podzielna przez \\(3\\).</p>\n<p>Dwucyfrowe liczby kończące się na \\(0\\): \\(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\\) - jest ich \\(9\\).</p>\n<p>Sprawdzamy podzielność przez \\(3\\) (suma cyfr musi być podzielna przez \\(3\\)):</p>\n<p>| Liczba | Suma cyfr | Podzielna przez 3? |<br>| 10 | \\(1+0=1\\) | nie |<br>| 20 | \\(2+0=2\\) | nie |<br>| <strong>30</strong> | \\(3+0=3\\) | <strong>tak</strong> |<br>| 40 | \\(4+0=4\\) | nie |<br>| 50 | \\(5+0=5\\) | nie |<br>| <strong>60</strong> | \\(6+0=6\\) | <strong>tak</strong> |<br>| 70 | \\(7+0=7\\) | nie |<br>| 80 | \\(8+0=8\\) | nie |<br>| <strong>90</strong> | \\(9+0=9\\) | <strong>tak</strong> |</p>\n<p>Sprzyjające: \\(\\{30, 60, 90\\}\\) - dokładnie \\(3\\) liczby. Wynik potwierdza:</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{3}{90}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach: \\(|\\Omega| = 90\\) (wszystkie dwucyfrowe), \\(|A| = 3\\) (podzielne przez 30).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(\\frac{1}{90}\\) | Uczeń znalazł tylko <strong>jedną</strong> wielokrotność 30 (np. tylko liczbę 30), zapominając o 60 i 90 |<br>| B: \\(\\frac{2}{90}\\) | Uczeń znalazł dwie wielokrotności (np. 30 i 60), pomijając 90 |<br>| D: \\(\\frac{10}{90}\\) | Uczeń policzył wielokrotności <strong>10</strong> zamiast <strong>30</strong> - jest ich dokładnie 9 (nie 10, bo do 90), albo błędnie wyznaczył przestrzeń zdarzeń |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dwucyfrowe liczby naturalne to <strong>90 liczb</strong> (od 10 do 99), nie 99! Nie wliczamy liczb jednocyfrowych (1-9).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Szukamy wielokrotności 30 w zakresie <strong>10-99</strong>. Łatwo zapomnieć o 90 - bo &quot;wygląda jak granica zakresu&quot;, ale 90 ≤ 99, więc należy do zbioru.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba \\(120 = 30 \\cdot 4\\) już <strong>nie jest</strong> dwucyfrowa - zawsze sprawdzaj, czy wynik mieści się w zakresie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zliczanie zdarzeń sprzyjających</h5>\n<p>Liczby dwucyfrowe: od \\(10\\) do \\(99\\). Ich jest \\(99-10+1 = 90\\), więc \\(|\\Omega| = 90\\).</p>\n<p>Liczby dwucyfrowe podzielne przez \\(30\\): \\(30, 60, 90\\). Jest ich \\(3\\).</p>\n<p>\\[P = \\dfrac{3}{90} = \\dfrac{1}{30}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Co 30-ta liczba</h5>\n<p>Liczby podzielne przez \\(30\\) to \\(30k\\) dla \\(k=1,2,3,\\ldots\\). W zakresie \\(\\langle 10, 99\\rangle\\): \\(k=1,2,3\\) (czyli \\(30, 60, 90\\)). Stąd \\(3\\) wyrazy.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{90}\\)</strong> - tylko \\(1\\) zdarzenie sprzyjające? Niepoprawne (są trzy).</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{2}{90}\\)</strong> - dwa zdarzenia? Pominięto np. \\(90\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{10}{90}\\)</strong> - \\(10\\) zdarzeń sprzyjających? To byłyby liczby podzielne przez \\(9\\) lub podobne.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Ilość wielokrotności \\(k\\) w przedziale \\(\\langle a, b\\rangle\\): \\(\\lfloor b/k\\rfloor - \\lfloor (a-1)/k\\rfloor\\). Tu: \\(\\lfloor 99/30\\rfloor - \\lfloor 9/30\\rfloor = 3 - 0 = 3\\).</p>"}]}