{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa\nA. 108π\nB. 54π\nC. 36π\nD. 27π\nPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa A. 108pi, B. 54pi, C. 36pi, D. 27pi","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(54\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Przekrój osiowy to prostokąt → wyznaczamy wymiary walca\n\n**Przekrój osiowy walca** to prostokąt powstały przez przecięcie walca płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Jego boki to:\n- **wysokość walca** \\(h\\),\n- **średnica podstawy** \\(2r\\).\n\nSkoro przekrój osiowy jest **kwadratem o boku \\(6\\)**, to:\n\\[2r = 6 \\quad \\Rightarrow \\quad r = 3\\]\n\\[h = 6\\]\n\nTeraz liczymy objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 6 = \\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = \\mathbf{54\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie proporcji\n\nSprawdzamy, czy wymiary są spójne. Kwadrat ma wszystkie boki równe, więc:\n\\[\\text{szerokość} = \\text{wysokość} \\implies 2r = h\\]\n\nPrzy boku \\(6\\):\n\\[r = 3, \\quad h = 6, \\quad \\frac{h}{2r} = \\frac{6}{6} = 1 \\checkmark\\]\n\nProporcja jest poprawna (kwadrat, nie prostokąt). Objętość:\n\\[V = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 6 = 54\\pi \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach, podstawiając \\(r = 3\\) i \\(h = 6\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(108\\pi\\) | Wzięto \\(r = 6\\) (bok kwadratu) zamiast \\(r = 3\\) (połowa boku = promień): \\(\\pi \\cdot 6^2 \\cdot 3 = 108\\pi\\) |\n| C - \\(36\\pi\\) | Wzięto \\(r = 2\\) lub pomylono objętość z polem powierzchni bocznej walca |\n| D - \\(27\\pi\\) | Wzięto \\(r = 3\\) i \\(h = 3\\) - czyli wzięto promień zamiast średnicy jako obie wymiary: \\(\\pi \\cdot 3^2 \\cdot 3 = 27\\pi\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy ma szerokość równą **średnicy**, nie promieniowi! Boku kwadratu nie wolno wstawiać bezpośrednio jako \\(r\\) - trzeba podzielić przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to NIE to samo co przekrój prostopadły do osi (który byłby kołem). Przekrój **osiowy** zawiera oś walca - stąd prostokąt/kwadrat.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy kwadrat - oba wymiary są równe, więc \\(h = 2r\\). To dobry punkt kontrolny przed liczeniem objętości.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Ustalenie promienia i wysokości\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt o bokach \\(2r\\) (średnica podstawy) i \\(H\\) (wysokość). Skoro przekrój jest kwadratem o boku \\(6\\):\n\\[2r = 6, \\quad H = 6 \\Rightarrow r = 3, \\quad H = 6.\\]\n\nObjętość walca:\n\\[V = \\pi r^{2} H = \\pi\\cdot 9\\cdot 6 = 54\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie relacji\nGdy \\(2r = H\\) (warunek kwadratu), \\(H = 2r\\). Zatem \\(V = \\pi r^{2}\\cdot 2r = 2\\pi r^{3}\\). Dla \\(r = 3\\): \\(V = 2\\pi\\cdot 27 = 54\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(108\\pi\\)** - prawdopodobnie \\(\\pi\\cdot 6^{2}\\cdot 3\\) (użyto średnicy jako promienia w jednym wymiarze).\n- **C. \\(36\\pi\\)** - \\(\\pi\\cdot 6\\cdot 6\\), pomylono wzór.\n- **D. \\(27\\pi\\)** - \\(\\pi r^{3}\\) = \\(\\pi\\cdot 27\\), pomylono z półkulą/pomyłka.\n\n**Trik:** Przekrój osiowy walca to prostokąt, w którym podstawa prostokąta = średnica walca, a wysokość prostokąta = wysokość walca. Kwadrat ⟹ \\(2r = H\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa<br>A. 108π<br>B. 54π<br>C. 36π<br>D. 27π<br>Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa A. 108pi, B. 54pi, C. 36pi, D. 27pi</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(54\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przekrój osiowy to prostokąt → wyznaczamy wymiary walca</h4>\n<p><strong>Przekrój osiowy walca</strong> to prostokąt powstały przez przecięcie walca płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Jego boki to:</p>\n<ul><li><strong>wysokość walca</strong> \\(h\\),</li><li><strong>średnica podstawy</strong> \\(2r\\).</li></ul>\n<p>Skoro przekrój osiowy jest <strong>kwadratem o boku \\(6\\)</strong>, to:<br>\\[2r = 6 \\quad \\Rightarrow \\quad r = 3\\]<br>\\[h = 6\\]</p>\n<p>Teraz liczymy objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^2 h = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 6 = \\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = \\mathbf{54\\pi}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie proporcji</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wymiary są spójne. Kwadrat ma wszystkie boki równe, więc:<br>\\[\\text{szerokość} = \\text{wysokość} \\implies 2r = h\\]</p>\n<p>Przy boku \\(6\\):<br>\\[r = 3, \\quad h = 6, \\quad \\frac{h}{2r} = \\frac{6}{6} = 1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Proporcja jest poprawna (kwadrat, nie prostokąt). Objętość:<br>\\[V = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 6 = 54\\pi \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^2 h\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach, podstawiając \\(r = 3\\) i \\(h = 6\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(108\\pi\\) | Wzięto \\(r = 6\\) (bok kwadratu) zamiast \\(r = 3\\) (połowa boku = promień): \\(\\pi \\cdot 6^2 \\cdot 3 = 108\\pi\\) |<br>| C - \\(36\\pi\\) | Wzięto \\(r = 2\\) lub pomylono objętość z polem powierzchni bocznej walca |<br>| D - \\(27\\pi\\) | Wzięto \\(r = 3\\) i \\(h = 3\\) - czyli wzięto promień zamiast średnicy jako obie wymiary: \\(\\pi \\cdot 3^2 \\cdot 3 = 27\\pi\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekrój osiowy ma szerokość równą <strong>średnicy</strong>, nie promieniowi! Boku kwadratu nie wolno wstawiać bezpośrednio jako \\(r\\) - trzeba podzielić przez 2.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekrój osiowy to NIE to samo co przekrój prostopadły do osi (który byłby kołem). Przekrój <strong>osiowy</strong> zawiera oś walca - stąd prostokąt/kwadrat.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy kwadrat - oba wymiary są równe, więc \\(h = 2r\\). To dobry punkt kontrolny przed liczeniem objętości.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Ustalenie promienia i wysokości</h5>\n<p>Przekrój osiowy walca to prostokąt o bokach \\(2r\\) (średnica podstawy) i \\(H\\) (wysokość). Skoro przekrój jest kwadratem o boku \\(6\\):<br>\\[2r = 6, \\quad H = 6 \\Rightarrow r = 3, \\quad H = 6.\\]</p>\n<p>Objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^{2} H = \\pi\\cdot 9\\cdot 6 = 54\\pi.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie relacji</h5>\n<p>Gdy \\(2r = H\\) (warunek kwadratu), \\(H = 2r\\). Zatem \\(V = \\pi r^{2}\\cdot 2r = 2\\pi r^{3}\\). Dla \\(r = 3\\): \\(V = 2\\pi\\cdot 27 = 54\\pi\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(108\\pi\\)</strong> - prawdopodobnie \\(\\pi\\cdot 6^{2}\\cdot 3\\) (użyto średnicy jako promienia w jednym wymiarze).</li><li><strong>C. \\(36\\pi\\)</strong> - \\(\\pi\\cdot 6\\cdot 6\\), pomylono wzór.</li><li><strong>D. \\(27\\pi\\)</strong> - \\(\\pi r^{3}\\) = \\(\\pi\\cdot 27\\), pomylono z półkulą/pomyłka.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przekrój osiowy walca to prostokąt, w którym podstawa prostokąta = średnica walca, a wysokość prostokąta = wysokość walca. Kwadrat ⟹ \\(2r = H\\).</p>"}]}