{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60°. Pole tego rombu jest równe\nA. 16 3\nB. 16\nC. 8 3\nD. 8\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60 stopni. Pole tego rombu jest równe A. 16 pierwiastków z 3, B. 16, C. 8 pierwiastków z 3, D. 8","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(8\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez bok i kąt\n\nRomb to równoległobok o równych bokach, więc korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a\\) to bok rombu, a \\(\\alpha\\) to jeden z kątów wewnętrznych.\n\nMamy \\(a = 4\\) i kąt ostry \\(\\alpha = 60°\\):\n\\[P = 4^2 \\cdot \\sin 60°\\]\n\\[P = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[\\boxed{P = 8\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - pole jako dwa trójkąty równoboczne\n\nPrzekątna krótsza rombu dzieli go na dwa trójkąty. Skoro romb ma bok \\(a = 4\\) i kąt ostry \\(60°\\), to oba kąty przy tej przekątnej wynoszą \\(60°\\), co oznacza, że **każdy z tych trójkątów jest równoboczny** (trzy kąty po \\(60°\\), bok = 4).\n\nPole trójkąta równobocznego o boku \\(a = 4\\):\n\\[P_\\triangle = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nRomb = dwa takie trójkąty:\n\\[P = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} = \\boxed{8\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **C** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\nTo szczególny przypadek wzoru na pole równoległoboku \\(P = ab\\sin\\alpha\\), gdzie \\(a = b\\) (bo romb ma wszystkie boki równe).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość funkcji:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta równobocznego (Sposób 2):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(16\\sqrt{3}\\) | Obliczono \\(4^2 \\cdot \\sqrt{3} = 16\\sqrt{3}\\) - zapomniano podzielić przez \\(2\\), czyli pominięto że \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(\\sqrt{3}\\) |\n| B - \\(16\\) | Wzięto \\(\\sin 60° = 1\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), albo mylnie użyto wzoru \\(a \\cdot h\\) bez obliczenia prawdziwej wysokości |\n| D - \\(8\\) | Użyto \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\sin 60°\\) - pomylono kąt ostry z jego dopełnieniem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a NIE \\(\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd - pominięcie mianownika prowadzi do odpowiedzi A zamiast C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rombie suma kątów wewnętrznych = \\(360°\\), a dwa kąty ostre i dwa rozwarcia. Kąt rozwarty = \\(180° - 60° = 120°\\). Do wzoru zawsze wstawiamy kąt **ostry** (ale i tak byłoby poprawnie, bo \\(\\sin 120° = \\sin 60°\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl pola rombu \\(P = a^2\\sin\\alpha\\) ze wzorem \\(P = \\frac{1}{2}d_1 d_2\\) (przez przekątne) - oba działają, ale przy braku danych o przekątnych użyj wzoru przez bok i kąt.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\)\nDla rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\alpha\\):\n\\[P = a^{2}\\sin\\alpha = 4^{2}\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 16\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość rombu i wzór \\(P = a\\cdot h\\)\nWysokość rombu: \\(h = a\\sin 60^{\\circ} = 4\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\). Pole:\n\\[P = a\\cdot h = 4\\cdot 2\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 3 - Dwa trójkąty równoboczne\nRomb z kątem \\(60^{\\circ}\\) można podzielić krótszą przekątną na dwa trójkąty równoboczne o boku \\(4\\). Pole jednego trójkąta: \\(\\tfrac{4^{2}\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\). Razem: \\(8\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\sqrt{3}\\)** - to \\(2\\cdot a^{2}\\sin 60^{\\circ}\\), podwójne pole.\n- **B. \\(16\\)** - pole kwadratu o boku \\(4\\), a romb ma mniejsze pole.\n- **D. \\(8\\)** - brakuje \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** Pole rombu: \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\) (z boku i kąta) lub \\(P = \\tfrac{d_{1}d_{2}}{2}\\) (z przekątnych).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60°. Pole tego rombu jest równe
A. 16 3
B. 16
C. 8 3
D. 8
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60 stopni. Pole tego rombu jest równe A. 16 pierwiastków z 3, B. 16, C. 8 pierwiastków z 3, D. 8

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(8\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na pole rombu przez bok i kąt

\n

Romb to równoległobok o równych bokach, więc korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku:
\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]
gdzie \\(a\\) to bok rombu, a \\(\\alpha\\) to jeden z kątów wewnętrznych.

\n

Mamy \\(a = 4\\) i kąt ostry \\(\\alpha = 60°\\):
\\[P = 4^2 \\cdot \\sin 60°\\]
\\[P = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[\\boxed{P = 8\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - pole jako dwa trójkąty równoboczne

\n

Przekątna krótsza rombu dzieli go na dwa trójkąty. Skoro romb ma bok \\(a = 4\\) i kąt ostry \\(60°\\), to oba kąty przy tej przekątnej wynoszą \\(60°\\), co oznacza, że każdy z tych trójkątów jest równoboczny (trzy kąty po \\(60°\\), bok = 4).

\n

Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a = 4\\):
\\[P_\\triangle = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\]

\n

Romb = dwa takie trójkąty:
\\[P = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} = \\boxed{8\\sqrt{3}}\\]

\n

Wynik zgodny - odpowiedź C potwierdzona.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole rombu:
\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]
To szczególny przypadek wzoru na pole równoległoboku \\(P = ab\\sin\\alpha\\), gdzie \\(a = b\\) (bo romb ma wszystkie boki równe).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartość funkcji:
\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - pole trójkąta równobocznego (Sposób 2):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(16\\sqrt{3}\\) | Obliczono \\(4^2 \\cdot \\sqrt{3} = 16\\sqrt{3}\\) - zapomniano podzielić przez \\(2\\), czyli pominięto że \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(\\sqrt{3}\\) |
| B - \\(16\\) | Wzięto \\(\\sin 60° = 1\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), albo mylnie użyto wzoru \\(a \\cdot h\\) bez obliczenia prawdziwej wysokości |
| D - \\(8\\) | Użyto \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\sin 60°\\) - pomylono kąt ostry z jego dopełnieniem |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a NIE \\(\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd - pominięcie mianownika prowadzi do odpowiedzi A zamiast C.
\n
⚠️ Uwaga: W rombie suma kątów wewnętrznych = \\(360°\\), a dwa kąty ostre i dwa rozwarcia. Kąt rozwarty = \\(180° - 60° = 120°\\). Do wzoru zawsze wstawiamy kąt ostry (ale i tak byłoby poprawnie, bo \\(\\sin 120° = \\sin 60°\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl pola rombu \\(P = a^2\\sin\\alpha\\) ze wzorem \\(P = \\frac{1}{2}d_1 d_2\\) (przez przekątne) - oba działają, ale przy braku danych o przekątnych użyj wzoru przez bok i kąt.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\)
\n

Dla rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\alpha\\):
\\[P = a^{2}\\sin\\alpha = 4^{2}\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 16\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Wysokość rombu i wzór \\(P = a\\cdot h\\)
\n

Wysokość rombu: \\(h = a\\sin 60^{\\circ} = 4\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\). Pole:
\\[P = a\\cdot h = 4\\cdot 2\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 3 - Dwa trójkąty równoboczne
\n

Romb z kątem \\(60^{\\circ}\\) można podzielić krótszą przekątną na dwa trójkąty równoboczne o boku \\(4\\). Pole jednego trójkąta: \\(\\tfrac{4^{2}\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\). Razem: \\(8\\sqrt{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Pole rombu: \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\) (z boku i kąta) lub \\(P = \\tfrac{d_{1}d_{2}}{2}\\) (z przekątnych).

"}]}