{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nKula ma objętość\n288\nV\nπ\n. Promień r tej kuli jest równy\nA. 6\nB. 8\nC. 9\nD. 12\nKula ma objętość V=288pi. Promień r tej kuli jest równy A. 6, B. 8, C. 9, D. 12.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(r = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość kuli\n\nWzór na objętość kuli to:\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\n\nPodstawiamy daną objętość \\(V = 288\\pi\\):\n\\[\\frac{4}{3}\\pi r^3 = 288\\pi\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\) (skracamy):\n\\[\\frac{4}{3} r^3 = 288\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\):\n\\[r^3 = 288 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{864}{4} = 216\\]\n\nWyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\\[r = \\sqrt[3]{216}\\]\n\nRozpoznajemy: \\(6^3 = 216\\), zatem:\n\\[\\boxed{r = 6}\\]\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi (podstawienie)\n\nSprawdzamy, która wartość daje \\(V = 288\\pi\\):\n\n\\[r = 6: \\quad V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 6^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 216 = \\frac{864}{3}\\pi = 288\\pi \\checkmark\\]\n\n\\[r = 8: \\quad V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 8^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 512 = \\frac{2048}{3}\\pi \\neq 288\\pi\\]\n\nJuż na etapie \\(r = 6\\) mamy potwierdzenie - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość kuli:\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio, podstawiając \\(V = 288\\pi\\) i wyznaczając \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(r=8\\)) | \\(8^3 = 512\\), więc \\(V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 512 \\approx 682\\pi\\) - zbyt duże. Uczeń mógł błędnie obliczyć \\(\\sqrt[3]{288} \\approx 6{,}6\\) i zaokrąglić do 8, albo pominąć mnożenie przez \\(\\frac{3}{4}\\) |\n| C (\\(r=9\\)) | \\(9^3 = 729\\) - zdecydowanie za dużo. Błąd wynika z pominięcia czynnika \\(\\frac{4}{3}\\): uczeń liczy \\(r^3 = 288\\), a \\(\\sqrt[3]{288} \\approx 6{,}6\\), po czym zaokrągla „w górę\" do 9 |\n| D (\\(r=12\\)) | Uczeń mógł zastosować wzór na pole powierzchni kuli \\(P = 4\\pi r^2\\) zamiast objętości, lub pomylić wzór i policzyć \\(r = \\sqrt{\\frac{288\\pi}{\\pi}} = \\sqrt{288} \\approx 17\\), a potem błędnie wybrać najbliższą odpowiedź |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o ułamku \\(\\frac{4}{3}\\) w mianowniku - to najczęstszy błąd. Po podstawieniu \\(V\\) natychmiast przemnóż obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\), zanim będziesz wyciągać pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyciągasz **pierwiastek sześcienny** \\(\\sqrt[3]{\\,}\\), nie kwadratowy. Łatwo pomylić, bo wzór na pole kuli to \\(4\\pi r^2\\) - tu masz potęgę 2, nie 3.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(6^3 = 216\\) warto znać na pamięć. Na maturze pomocne są też: \\(2^3=8\\), \\(3^3=27\\), \\(4^3=64\\), \\(5^3=125\\), \\(6^3=216\\), \\(7^3=343\\) - oszczędzasz czas!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi r^{3}\\)\n\\[\\dfrac{4}{3}\\pi r^{3} = 288\\pi \\quad \\Big|\\cdot \\dfrac{3}{4\\pi}\\]\n\\[r^{3} = 216 \\Rightarrow r = \\sqrt[3]{216} = 6.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- A. \\(r=6\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 216 = 288\\pi\\) ✓.\n- B. \\(r=8\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 512 \\approx 682{,}7\\pi\\).\n- C. \\(r=9\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 729 = 972\\pi\\).\n- D. \\(r=12\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 1728 = 2304\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażda z pozostałych wartości daje objętość znacznie większą niż \\(288\\pi\\) - patrz Sposób 2.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[3]{216} = 6\\) (warto zapamiętać), podobnie \\(\\sqrt[3]{1000} = 10\\), \\(\\sqrt[3]{125} = 5\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 22. (1 pkt)
Kula ma objętość
288
V
π
. Promień r tej kuli jest równy
A. 6
B. 8
C. 9
D. 12
Kula ma objętość V=288pi. Promień r tej kuli jest równy A. 6, B. 8, C. 9, D. 12.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(r = 6\\)

\n

Sposób 1 - Ze wzoru na objętość kuli

\n

Wzór na objętość kuli to:
\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]

\n

Podstawiamy daną objętość \\(V = 288\\pi\\):
\\[\\frac{4}{3}\\pi r^3 = 288\\pi\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(\\pi\\) (skracamy):
\\[\\frac{4}{3} r^3 = 288\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\):
\\[r^3 = 288 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{864}{4} = 216\\]

\n

Wyciągamy pierwiastek sześcienny:
\\[r = \\sqrt[3]{216}\\]

\n

Rozpoznajemy: \\(6^3 = 216\\), zatem:
\\[\\boxed{r = 6}\\]

\n

Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi (podstawienie)

\n

Sprawdzamy, która wartość daje \\(V = 288\\pi\\):

\n

\\[r = 6: \\quad V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 6^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 216 = \\frac{864}{3}\\pi = 288\\pi \\checkmark\\]

\n

\\[r = 8: \\quad V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 8^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 512 = \\frac{2048}{3}\\pi \\neq 288\\pi\\]

\n

Już na etapie \\(r = 6\\) mamy potwierdzenie - odpowiedź A jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzór na objętość kuli:
\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]
Użyliśmy go bezpośrednio, podstawiając \\(V = 288\\pi\\) i wyznaczając \\(r\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B (\\(r=8\\)) | \\(8^3 = 512\\), więc \\(V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 512 \\approx 682\\pi\\) - zbyt duże. Uczeń mógł błędnie obliczyć \\(\\sqrt[3]{288} \\approx 6{,}6\\) i zaokrąglić do 8, albo pominąć mnożenie przez \\(\\frac{3}{4}\\) |
| C (\\(r=9\\)) | \\(9^3 = 729\\) - zdecydowanie za dużo. Błąd wynika z pominięcia czynnika \\(\\frac{4}{3}\\): uczeń liczy \\(r^3 = 288\\), a \\(\\sqrt[3]{288} \\approx 6{,}6\\), po czym zaokrągla „w górę" do 9 |
| D (\\(r=12\\)) | Uczeń mógł zastosować wzór na pole powierzchni kuli \\(P = 4\\pi r^2\\) zamiast objętości, lub pomylić wzór i policzyć \\(r = \\sqrt{\\frac{288\\pi}{\\pi}} = \\sqrt{288} \\approx 17\\), a potem błędnie wybrać najbliższą odpowiedź |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o ułamku \\(\\frac{4}{3}\\) w mianowniku - to najczęstszy błąd. Po podstawieniu \\(V\\) natychmiast przemnóż obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\), zanim będziesz wyciągać pierwiastek.
\n
⚠️ Uwaga: Wyciągasz pierwiastek sześcienny \\(\\sqrt[3]{\\,}\\), nie kwadratowy. Łatwo pomylić, bo wzór na pole kuli to \\(4\\pi r^2\\) - tu masz potęgę 2, nie 3.
\n
⚠️ Uwaga: \\(6^3 = 216\\) warto znać na pamięć. Na maturze pomocne są też: \\(2^3=8\\), \\(3^3=27\\), \\(4^3=64\\), \\(5^3=125\\), \\(6^3=216\\), \\(7^3=343\\) - oszczędzasz czas!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi r^{3}\\)
\n

\\[\\dfrac{4}{3}\\pi r^{3} = 288\\pi \\quad \\Big|\\cdot \\dfrac{3}{4\\pi}\\]
\\[r^{3} = 216 \\Rightarrow r = \\sqrt[3]{216} = 6.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Każda z pozostałych wartości daje objętość znacznie większą niż \\(288\\pi\\) - patrz Sposób 2.

\n

Trik: \\(\\sqrt[3]{216} = 6\\) (warto zapamiętać), podobnie \\(\\sqrt[3]{1000} = 10\\), \\(\\sqrt[3]{125} = 5\\).

"}]}