Zadanie 23. (1 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma
długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego
graniastosłupa jest równe
A. 300
B. 300 3
C. 300
50 3
D. 300
25 3
6
6
Poziom podstawowy
7
BRUDNOPIS
Poziom podstawowy
8
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 24. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A. 300, B. 300 pierwiastków z 3, C. 300 + 50 pierwiastków z 3, D. 300 + 25 pierwiastków z 3
Krok 1: Określ strukturę graniastosłupa.
\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny to bryła z dwiema podstawami w kształcie trójkątów równobocznych i trzema prostokątnymi ścianami bocznymi. Krawędzie są:
\nŁącznie: 9 krawędzi.
\nKrok 2: Wyznacz długość krawędzi.
\nWszystkie krawędzie są równej długości - nazwijmy ją \\(a\\). Zatem krawędzie boczne mają tę samą długość co krawędzie podstaw, czyli wysokość graniastosłupa wynosi \\(h = a\\).
\n\\[9a = 90 \\implies a = 10\\]
\nKrok 3: Oblicz pole powierzchni całkowitej.
\nPole składa się z:
\n\\[P_{\\text{podstaw}} = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]
\n\\[P_{\\text{boczna}} = 3 \\cdot a \\cdot a = 3a^2\\]
\nCałkowite pole:
\\[P_c = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3a^2\\]
Krok 4: Podstaw \\(a = 10\\).
\\[P_c = \\frac{100\\sqrt{3}}{2} + 3 \\cdot 100 = 50\\sqrt{3} + 300\\]
\\[\\boxed{P_c = 300 + 50\\sqrt{3}}\\]
\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny o boku podstawy \\(a\\) i wysokości \\(h = a\\):
\nPole boczne (obwód podstawy × wysokość):
\\[P_b = O_b \\cdot h = (3a) \\cdot a = 3a^2 = 3 \\cdot 100 = 300\\]
Pole podstawy (trójkąt równoboczny):
\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{100\\sqrt{3}}{4} = 25\\sqrt{3}\\]
Pole całkowite (boczne + dwie podstawy):
\\[P_c = P_b + 2P_p = 300 + 2 \\cdot 25\\sqrt{3} = 300 + 50\\sqrt{3} \\checkmark\\]
Wyniki obu sposobów są zgodne.
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28) - graniastosłup prosty:
\\[P_b = O_b \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]
Użyliśmy wzoru na pole boczne: \\(O_b = 3a\\), \\(h = a\\), stąd \\(P_b = 3a^2\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta równobocznego:
\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyliśmy tego wzoru do obliczenia pola obu trójkątnych podstaw.
| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(300\\) | Policzono tylko 3 ściany boczne (\\(3a^2 = 300\\)), zapomniano o obu podstawach trójkątnych |
| B: \\(300\\sqrt{3}\\) | Mylnie potraktowano wszystkie ściany boczne jak trójkąty równoboczne (zamiast prostokątów), albo użyto błędnego wzoru \\(3a^2\\sqrt{3}\\) |
| D: \\(300 + 25\\sqrt{3}\\) | Policzono pole tylko jednej podstawy trójkątnej (\\(25\\sqrt{3}\\)) zamiast dwóch - klasyczny błąd z pominięciem drugiej podstawy |
⚠️ Uwaga: Graniastosłup ma dwie podstawy - górną i dolną. Bardzo częsty błąd to policzenie pola tylko jednej i otrzymanie \\(300 + 25\\sqrt{3}\\) (odp. D).\n
⚠️ Uwaga: W tym graniastosłupie wszystkie krawędzie są równe, więc wysokość bryły \\(h = a\\), a ściany boczne to kwadraty, nie prostokąty ogólne. Nie myl z graniastosłupem, gdzie \\(h \\neq a\\).\n
⚠️ Uwaga: Krawędzie graniastosłupa trójkątnego jest 9, nie 12 (to prostopadłościan ma 12). Pomylenie tego prowadziłoby do \\(12a = 90 \\implies a = 7{,}5\\) i błędnego wyniku.\n
Poprawna odpowiedź: C
\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny ma \\(9\\) krawędzi: \\(3\\) krawędzie dolnej podstawy, \\(3\\) górnej i \\(3\\) boczne. Skoro wszystkie są równej długości \\(a\\):
\\[9a = 90 \\Rightarrow a = 10.\\]
Pole całkowite = \\(2\\cdot P_{\\text{podstawy}} + P_{\\text{boczne}}\\).
\n\\[P_{c} = 2\\cdot 25\\sqrt{3} + 300 = 50\\sqrt{3} + 300.\\]
\nTrik: Graniastosłup trójkątny: \\(9\\) krawędzi (3+3+3). Pole całkowite = 2 podstawy + boki.
"}]}