{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n<\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność kwadratową x^2-3x+2 < 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24. (2 punkty)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n<\nI sposób rozwiązania\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n• obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n1\nΔ =\n1\n3 1\n1\n2\nx\n2\n3 1\n2\n2\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n3\nx\nx\noraz\n1\n2\n2\nx\nx\n⋅\ni stąd\n1\n1\nx = ,\n2\n2\nx =\nalbo\n• zapisujemy nierówność w postaci (\n)(\n)\n1\n2\n0\nx\nx\n<\n. Lewą stronę nierówności\nmożemy uzyskać np.:\no grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik,\no korzystając z postaci kanonicznej\n2\n3\n1\n3\n1\n3\n1\n2\n4\n2\n2\n2\n2\nx\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠⎝\n⎠\no podając postać iloczynową\nalbo\n• rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami\nzerowymi\nalbo\n• wskazujemy pierwiastki trójmianu\n1\n1\nx = ,\n2\n2\nx =\nPodajemy rozwiązanie nierówności: 1\n2\nx\n<\n<\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci\niloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: (\n)\n1,2 lub\n(\n)\n1,2\nx∈\nlub 1\n2\nx\n<\n<\nalbo\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx > ,\n2\nx <\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n3\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci\n2\n3\n1\n0\n2\n4\nx\n⎛\n⎞\n<\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n, a następnie\n2\n3\n1\n2\n4\nx\n⎛\n⎞\n<\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n, a stąd\n3\n1\n2\n2\nx -\n<\n, więc 1\n2.\nx\n<\n<\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy doprowadzi nierówność do postaci\n3\n1\n2\n2\nx -\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: (\n)\n1,2 lub\n(\n)\n1,2\nx∈\nlub 1\n2\nx\n<\n<\nalbo\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx > ,\n2\nx <\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\nUwagi\n• Przyznajemy 2 punkty za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczy pierwiastki\ntrójmianu\n1\nx = ,\n2\nx =\ni zapisze np.:\n(\n)\n1,2\nx∈-\n, popełniając tym samym błąd przy\nprzepisywaniu jednego z pierwiastków.\n• Przyznajemy 1 punkt zdającemu, który popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu\nwyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu\nrozwiąże\nnierówność,\nnp.\nzapisze\n1\n3\n17\n2\nx\n,\n2\n3\n17\n2\nx\n,\n3\n17\n3\n17\n,\n2\n2\nx\n⎛\n⎞\n∈⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n• Przyznajemy 1 punkt zdającemu, który popełnił jeden błąd przy przepisywaniu\nnierówności (pisząc np.\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n<\n,\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n>\n), o ile trójmian z lewej strony\nnierówności ma dwa różne pierwiastki i zdający rozwiąże konsekwentnie nierówność\ndo końca.\nx\n1\n2\nx\n1\n2\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - miejsca zerowe i analiza znaku\n\n**Znajdź miejsca zerowe trójmianu**\n\nRozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x + 2 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 - 1}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 + 1}{2} = 2\\]\n\n**Określ znak paraboli**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami ku górze** - trójmian przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi.\n\nSzukamy \\(x^2 - 3x + 2 < 0\\), czyli kiedy parabola jest **poniżej osi OX**:\n\n\\[\\boxed{x \\in (1, 2)}\\]\n\n(przedział otwarty, bo nierówność ostra - końce nie należą do rozwiązania)\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki\n\n**Rozłóż trójmian na czynniki**\n\nSzukamy dwóch liczb, których **suma** wynosi \\(-3\\), a **iloczyn** wynosi \\(2\\). Są to \\(-1\\) i \\(-2\\):\n\n\\[x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\]\n\n**Kiedy iloczyn jest ujemny?**\n\nIloczyn \\((x-1)(x-2) < 0\\) zachodzi wtedy, gdy **jeden czynnik jest dodatni, drugi ujemny**. Sprawdzamy przypadki:\n\n| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x \\in (1, 2)\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nNierówność jest spełniona dla \\(x \\in (1, 2)\\) - wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy ich w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nKluczowa obserwacja z karty: gdy \\(a > 0\\) i \\(\\Delta > 0\\), trójmian jest ujemny **między** pierwiastkami, czyli dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(<\\)), więc końce przedziału **nie należą** do rozwiązania - piszemy \\((1, 2)\\), nie \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\). W zadaniach z \\(\\leq\\) byłoby \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\) (parabola \"uśmiechnięta\"), trójmian jest ujemny **w środku**, między pierwiastkami. Gdy \\(a < 0\\) (\"smutna\"), byłoby odwrotnie - na zewnątrz. Łatwo tu pomylić kierunek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy znaleźć miejsca zerowe i napisać odpowiedź - zawsze sprawdź **znak współczynnika \\(a\\)**, bo to on decyduje, czy rozwiązaniem jest przedział między pierwiastkami, czy suma przedziałów na zewnątrz.\n\n**Odpowiedź:** \\(x\\in (1, 2)\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik i pierwiastki\nTrójmian \\(x^{2} - 3x + 2\\), \\(a=1, b=-3, c=2\\):\n\\[\\Delta = b^{2} - 4ac = 9 - 8 = 1, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 1.\\]\n\\[x_{1} = \\dfrac{3-1}{2} = 1, \\quad x_{2} = \\dfrac{3+1}{2} = 2.\\]\n\nParabola ma ramiona skierowane do góry (\\(a=1>0\\)), więc \\(f(x) < 0\\) MIĘDZY pierwiastkami:\n\\[x\\in (1, 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nSuma pierwiastków: \\(x_{1} + x_{2} = -\\tfrac{b}{a} = 3\\). Iloczyn: \\(x_{1}x_{2} = \\tfrac{c}{a} = 2\\). Stąd pierwiastki to \\(1\\) i \\(2\\).\n\n### Sposób 3 - Postać iloczynowa\n\\[x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2) < 0.\\]\nIloczyn ujemny ⟺ czynniki mają różne znaki. Dla \\(x<1\\): oba ujemne, iloczyn dodatni. Dla \\(12\\): oba dodatnie, iloczyn dodatni.\n\nZatem \\(x\\in (1, 2)\\).\n\n### Sposób 4 - Postać kanoniczna\n\\[x^{2} - 3x + 2 = \\left(x - \\dfrac{3}{2}\\right)^{2} - \\dfrac{1}{4} < 0\\]\n\\[\\left(x - \\dfrac{3}{2}\\right)^{2} < \\dfrac{1}{4}\\]\n\\[\\left|x - \\dfrac{3}{2}\\right| < \\dfrac{1}{2}\\]\n\\[1 < x < 2.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Wyznaczenie pierwiastków trójmianu lub zapisanie w postaci iloczynowej.\n- **2 pkt:** Podanie zbioru rozwiązań w postaci \\(x\\in(1,2)\\) lub \\(10\\) - rozwiązanie zawsze MIĘDZY pierwiastkami.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 24. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
3
2
0
x
x
<
Odpowiedź:
Rozwiąż nierówność kwadratową x^2-3x+2 < 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (2 punkty)
Rozwiąż nierówność
2
3
2
0
x
x
<
I sposób rozwiązania
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
• obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
1
Δ =
1
3 1
1
2
x
2
3 1
2
2
x
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
1
2
3
x
x
oraz
1
2
2
x
x
⋅
i stąd
1
1
x = ,
2
2
x =
albo
• zapisujemy nierówność w postaci (
)(
)
1
2
0
x
x
<
. Lewą stronę nierówności
możemy uzyskać np.:
o grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik,
o korzystając z postaci kanonicznej
2
3
1
3
1
3
1
2
4
2
2
2
2
x
x
x
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠
o podając postać iloczynową
albo
• rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami
zerowymi
albo
• wskazujemy pierwiastki trójmianu
1
1
x = ,
2
2
x =
Podajemy rozwiązanie nierówności: 1
2
x
<
<
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci
iloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: (
)
1,2 lub
(
)
1,2
x∈
lub 1
2
x
<
<
albo
sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
1
x > ,
2
x <
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
3
albo
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów:
II sposób rozwiązania
Zapisujemy nierówność w postaci
2
3
1
0
2
4
x
⎛
⎞
<
⎜
⎟
⎝
⎠
, a następnie
2
3
1
2
4
x
⎛
⎞
<
⎜
⎟
⎝
⎠
, a stąd
3
1
2
2
x -
<
, więc 1
2.
x
<
<
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy doprowadzi nierówność do postaci
3
1
2
2
x -
<
i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: (
)
1,2 lub
(
)
1,2
x∈
lub 1
2
x
<
<
albo
sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
1
x > ,
2
x <
albo
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów:
Uwagi
• Przyznajemy 2 punkty za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczy pierwiastki
trójmianu
1
x = ,
2
x =
i zapisze np.:
(
)
1,2
x∈-
, popełniając tym samym błąd przy
przepisywaniu jednego z pierwiastków.
• Przyznajemy 1 punkt zdającemu, który popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu
wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego
błędu
rozwiąże
nierówność,
np.
zapisze
1
3
17
2
x
,
2
3
17
2
x
,
3
17
3
17
,
2
2
x
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
• Przyznajemy 1 punkt zdającemu, który popełnił jeden błąd przy przepisywaniu
nierówności (pisząc np.
2
3
2
0
x
x
<
,
2
3
2
0
x
x

\n
\n

), o ile trójmian z lewej strony
nierówności ma dwa różne pierwiastki i zdający rozwiąże konsekwentnie nierówność
do końca.
x
1
2
x
1
2
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 2)\\)

\n

Sposób 1 - miejsca zerowe i analiza znaku

\n

Znajdź miejsca zerowe trójmianu

\n

Rozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x + 2 = 0\\).

\n

Obliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 - 1}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 + 1}{2} = 2\\]

\n

Określ znak paraboli

\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami ku górze - trójmian przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi.

\n

Szukamy \\(x^2 - 3x + 2 < 0\\), czyli kiedy parabola jest poniżej osi OX:

\n

\\[\\boxed{x \\in (1, 2)}\\]

\n

(przedział otwarty, bo nierówność ostra - końce nie należą do rozwiązania)

\n

Sposób 2 - rozkład na czynniki

\n

Rozłóż trójmian na czynniki

\n

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-3\\), a iloczyn wynosi \\(2\\). Są to \\(-1\\) i \\(-2\\):

\n

\\[x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\]

\n

Kiedy iloczyn jest ujemny?

\n

Iloczyn \\((x-1)(x-2) < 0\\) zachodzi wtedy, gdy jeden czynnik jest dodatni, drugi ujemny. Sprawdzamy przypadki:

\n

| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |
| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x \\in (1, 2)\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Nierówność jest spełniona dla \\(x \\in (1, 2)\\) - wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy ich w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).

\n

Kluczowa obserwacja z karty: gdy \\(a > 0\\) i \\(\\Delta > 0\\), trójmian jest ujemny między pierwiastkami, czyli dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest ostra (\\(<\\)), więc końce przedziału nie należą do rozwiązania - piszemy \\((1, 2)\\), nie \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\). W zadaniach z \\(\\leq\\) byłoby \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy \\(a > 0\\) (parabola "uśmiechnięta"), trójmian jest ujemny w środku, między pierwiastkami. Gdy \\(a < 0\\) ("smutna"), byłoby odwrotnie - na zewnątrz. Łatwo tu pomylić kierunek!
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy znaleźć miejsca zerowe i napisać odpowiedź - zawsze sprawdź znak współczynnika \\(a\\), bo to on decyduje, czy rozwiązaniem jest przedział między pierwiastkami, czy suma przedziałów na zewnątrz.
\n

Odpowiedź: \\(x\\in (1, 2)\\).

\n
Sposób 1 - Wyróżnik i pierwiastki
\n

Trójmian \\(x^{2} - 3x + 2\\), \\(a=1, b=-3, c=2\\):
\\[\\Delta = b^{2} - 4ac = 9 - 8 = 1, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 1.\\]
\\[x_{1} = \\dfrac{3-1}{2} = 1, \\quad x_{2} = \\dfrac{3+1}{2} = 2.\\]

\n

Parabola ma ramiona skierowane do góry (\\(a=1>0\\)), więc \\(f(x) < 0\\) MIĘDZY pierwiastkami:
\\[x\\in (1, 2).\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Suma pierwiastków: \\(x_{1} + x_{2} = -\\tfrac{b}{a} = 3\\). Iloczyn: \\(x_{1}x_{2} = \\tfrac{c}{a} = 2\\). Stąd pierwiastki to \\(1\\) i \\(2\\).

\n
Sposób 3 - Postać iloczynowa
\n

\\[x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2) < 0.\\]
Iloczyn ujemny ⟺ czynniki mają różne znaki. Dla \\(x<1\\): oba ujemne, iloczyn dodatni. Dla \\(1<x<2\\): jeden dodatni, drugi ujemny - iloczyn ujemny ✓. Dla \\(x>2\\): oba dodatnie, iloczyn dodatni.

\n

Zatem \\(x\\in (1, 2)\\).

\n
Sposób 4 - Postać kanoniczna
\n

\\[x^{2} - 3x + 2 = \\left(x - \\dfrac{3}{2}\\right)^{2} - \\dfrac{1}{4} < 0\\]
\\[\\left(x - \\dfrac{3}{2}\\right)^{2} < \\dfrac{1}{4}\\]
\\[\\left|x - \\dfrac{3}{2}\\right| < \\dfrac{1}{2}\\]
\\[1 < x < 2.\\]

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: \\(ax^{2}+bx+c < 0\\) z \\(a>0\\) - rozwiązanie zawsze MIĘDZY pierwiastkami.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in (1, 2)$

"}]}