{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nUdowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2 3 16\n⋅⋅⋅\n⋅\n, jest\npodzielny przez\n15\n2 .\n\nPoziom podstawowy\n9\nUdowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 16, jest podzielny przez 2^{15}.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (2 punkty)\nUdowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2 3 16\n⋅⋅⋅\n⋅\n, jest\npodzielny przez\n15\n2 .\nI sposób rozwiązania\nWystarczy obliczyć liczbę dwójek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16!.\nCo druga liczba całkowita jest podzielna przez 2, więc mamy 8 dwójek.\nCo czwarta liczba całkowita jest podzielna przez 4, więc mamy następne 4 dwójki.\nCo ósma liczba całkowita jest podzielna przez 8, więc mamy następne 2 dwójki.\nW rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16 jest jeszcze 1 dwójka.\nŁącznie w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16! mamy 8\n4\n2 1\n15\ndwójek, czyli\nliczba ta jest podzielna przez\n15\n2 .\nII sposób rozwiązania\nLiczbę 16! możemy zapisać w postaci:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n3\n2\n2\n4\n15\n6\n3\n2\n2 3 2\n5\n2 3\n7 2\n3\n2 5 11 3 2\n13\n2 7\n3 5\n2\n2\n3\n5\n7\n11 13\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze 16! w postaci\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n2\n4\n2 3\n2\n5\n2 3\n7 2\n9\n2 5 11 2\n3 13\n2 7 15\n2\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy (np. źle zliczy liczbę czynników 2).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 16! jest podzielny przez \\(2^{15}\\) (dokładnie)\n\nMusimy udowodnić, że \\(16! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\ldots \\cdot 16\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\), czyli że \\(2^{15} \\mid 16!\\).\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie potęg dwójki\n\n**Idea:** W iloczynie \\(1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\ldots \\cdot 16\\) szukamy, ile razy pojawia się czynnik \\(2\\). Wystarczy przejrzeć liczby parzyste i sprawdzić, przez jaką potęgę dwójki są podzielne.\n\nLiczby parzyste w zbiorze \\(\\{1, 2, \\ldots, 16\\}\\) to: \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\\).\n\nRozkładamy każdą na potęgi dwójki:\n\n| Liczba | Rozkład | Liczba czynników 2 |\n| \\(2\\) | \\(2^1\\) | 1 |\n| \\(4\\) | \\(2^2\\) | 2 |\n| \\(6\\) | \\(2 \\cdot 3\\) | 1 |\n| \\(8\\) | \\(2^3\\) | 3 |\n| \\(10\\) | \\(2 \\cdot 5\\) | 1 |\n| \\(12\\) | \\(2^2 \\cdot 3\\) | 2 |\n| \\(14\\) | \\(2 \\cdot 7\\) | 1 |\n| \\(16\\) | \\(2^4\\) | 4 |\n\nŁącznie czynników \\(2\\):\n\\[1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 = \\mathbf{15}\\]\n\nLiczby nieparzyste (\\(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\\)) nie wnoszą żadnego czynnika \\(2\\).\n\nZatem:\n\\[16! = 2^{15} \\cdot k\\]\ngdzie \\(k = 1 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot 9 \\cdot 11 \\cdot 13 \\cdot 15 \\cdot 1 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 = \\ldots\\) jest liczbą naturalną.\n\n**Wniosek:** \\(2^{15} \\mid 16!\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Warstwy podzielności (wzór Legendre'a)\n\n**Idea:** Zamiast rozkładać każdą liczbę osobno, liczymy warstwami - ile liczb z \\(\\{1, \\ldots, 16\\}\\) jest podzielnych przez \\(2\\), przez \\(4\\), przez \\(8\\), przez \\(16\\).\n\n**Warstwa 1** - podzielne przez \\(2\\):\n\\[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{2} \\right\\rfloor = 8 \\text{ liczb}\\]\nKażda z nich „daje\" co najmniej jeden czynnik \\(2\\). Mamy więc co najmniej \\(8\\) czynników.\n\n**Warstwa 2** - podzielne przez \\(4 = 2^2\\):\n\\[4, 8, 12, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{4} \\right\\rfloor = 4 \\text{ liczby}\\]\nKażda z nich daje *dodatkowy* (drugi) czynnik \\(2\\). Doliczamy kolejne \\(4\\) czynniki.\n\n**Warstwa 3** - podzielne przez \\(8 = 2^3\\):\n\\[8, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{8} \\right\\rfloor = 2 \\text{ liczby}\\]\nKażda daje jeszcze jeden dodatkowy czynnik. Doliczamy \\(2\\).\n\n**Warstwa 4** - podzielne przez \\(16 = 2^4\\):\n\\[16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{16} \\right\\rfloor = 1 \\text{ liczba}\\]\nDoliczamy \\(1\\) ostatni czynnik.\n\n**Warstwa 5** - podzielne przez \\(32 = 2^5\\):\n\\[\\left\\lfloor \\frac{16}{32} \\right\\rfloor = 0\\]\nBrak takich liczb - kończymy zliczanie.\n\nŁączna liczba czynników \\(2\\) w \\(16!\\):\n\\[8 + 4 + 2 + 1 = \\mathbf{15}\\]\n\nStąd \\(16! = 2^{15} \\cdot m\\) dla pewnej liczby naturalnej \\(m\\) nieparzystej, co dowodzi, że \\(2^{15} \\mid 16!\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy wzorów z karty CKE**. Dowód opiera się na elementarnej teorii liczb - rozkładzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze oraz własności dzielności. To materiał ponadpodstawowy, nieujęty w karcie wzorów, ale rozumiany intuicyjnie przez każdego maturzystę.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to liczenie tylko liczb parzystych, bez uwzględnienia ich „wielokrotnej\" podzielności. Np. liczba \\(16 = 2^4\\) wnosi aż **4** czynniki dwójki, nie jeden! Zliczenie tylko 8 liczb parzystych i stwierdzenie „mamy \\(2^8\\)\" jest błędne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Piszemy dowód - nie wystarczy obliczyć i oznajmić wynik. Trzeba pokazać, że \\(16! = 2^{15} \\cdot k\\) dla *konkretnej* liczby naturalnej \\(k\\), czyli wskazać skąd pochodzi każdy z 15 czynników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie prosi o podzielność przez \\(2^{15}\\), ale faktycznie \\(16!\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\) **dokładnie** (nie przez \\(2^{16}\\)). Gdyby pytanie brzmiało „wyznacz największą potęgę dwójki dzielącą \\(16!\\)\", odpowiedzią byłoby właśnie \\(2^{15}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(16!\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\) - dowód poniżej.\n\n### Sposób 1 - Wzór Legendre'a (zliczanie dwójek)\nLiczba dwójek w rozkładzie \\(n!\\) na czynniki pierwsze wynosi:\n\\[v_{2}(n!) = \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left\\lfloor \\dfrac{n}{2^{k}}\\right\\rfloor.\\]\nDla \\(n=16\\):\n- Liczby podzielne przez \\(2\\) w \\(\\{1, ,16\\}\\): \\(16/2 = 8\\).\n- Podzielne przez \\(4\\): \\(16/4 = 4\\).\n- Podzielne przez \\(8\\): \\(16/8 = 2\\).\n- Podzielne przez \\(16\\): \\(16/16 = 1\\).\n\nSuma: \\(v_{2}(16!) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15\\).\n\nStąd \\(16!\\) zawiera dokładnie \\(15\\) czynników \\(2\\), więc \\(2^{15}\\,|\\,16!\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Rozkład każdej liczby na czynniki pierwsze\n\\[16! = 1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 4\\cdot 5\\cdot 6\\cdot 7\\cdot 8\\cdot 9\\cdot 10\\cdot 11\\cdot 12\\cdot 13\\cdot 14\\cdot 15\\cdot 16\\]\n\\[= 1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 2^{2}\\cdot 5\\cdot (2\\cdot 3)\\cdot 7\\cdot 2^{3}\\cdot 3^{2}\\cdot (2\\cdot 5)\\cdot 11\\cdot (2^{2}\\cdot 3)\\cdot 13\\cdot (2\\cdot 7)\\cdot (3\\cdot 5)\\cdot 2^{4}.\\]\n\nZliczamy wykładniki \\(2\\) w każdym czynniku:\n- \\(2 \\to 1\\), \\(4=2^{2} \\to 2\\), \\(6=2\\cdot 3\\to 1\\), \\(8=2^{3}\\to 3\\), \\(10\\to 1\\), \\(12=2^{2}\\cdot 3\\to 2\\), \\(14\\to 1\\), \\(16=2^{4}\\to 4\\).\n\nSuma: \\(1+2+1+3+1+2+1+4 = 15\\). Stąd \\(2^{15}\\,|\\,16!\\).\n\n### Sposób 3 - Grupowanie\nCo druga liczba w \\(\\{1, ,16\\}\\) jest parzysta → \\(8\\) dwójek.\nCo czwarta → dodatkowych \\(4\\) dwójek (po jednej w każdej wielokrotności \\(4\\)).\nCo ósma → dodatkowe \\(2\\) dwójki.\nCo szesnasta → dodatkowa \\(1\\) dwójka.\nRazem: \\(8 + 4 + 2 + 1 = 15\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie \\(16!\\) w postaci rozkładu na czynniki pierwsze lub zauważenie, że co druga liczba ma czynnik \\(2\\).\n- **2 pkt:** Pełny dowód (np. zliczenie \\(15\\) czynników \\(2\\)).\n- **Uwagi:** Błąd rachunkowy (np. \\(14\\) zamiast \\(15\\)) i dalszy zapis → \\(1\\) pkt.\n\n**Trik:** Wzór Legendre'a dla \\(p=2\\): liczymy \\(\\lfloor n/2\\rfloor + \\lfloor n/4\\rfloor + \\lfloor n/8\\rfloor + \\ldots\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 25. (2 pkt)
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2 3 16
⋅⋅⋅
⋅
, jest
podzielny przez
15
2 .

\n

Poziom podstawowy
9
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 16, jest podzielny przez 2^{15}.

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (2 punkty)
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2 3 16
⋅⋅⋅
⋅
, jest
podzielny przez
15
2 .
I sposób rozwiązania
Wystarczy obliczyć liczbę dwójek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16!.
Co druga liczba całkowita jest podzielna przez 2, więc mamy 8 dwójek.
Co czwarta liczba całkowita jest podzielna przez 4, więc mamy następne 4 dwójki.
Co ósma liczba całkowita jest podzielna przez 8, więc mamy następne 2 dwójki.
W rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16 jest jeszcze 1 dwójka.
Łącznie w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16! mamy 8
4
2 1
15
dwójek, czyli
liczba ta jest podzielna przez
15
2 .
II sposób rozwiązania
Liczbę 16! możemy zapisać w postaci:
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2
3
2
2
4
15
6
3
2
2 3 2
5
2 3
7 2
3
2 5 11 3 2
13
2 7
3 5
2
2
3
5
7
11 13
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze 16! w postaci
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
4
2 3
2
5
2 3
7 2
9
2 5 11 2
3 13
2 7 15
2
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy (np. źle zliczy liczbę czynników 2).
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełny dowód.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 16! jest podzielny przez \\(2^{15}\\) (dokładnie)

\n

Musimy udowodnić, że \\(16! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\ldots \\cdot 16\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\), czyli że \\(2^{15} \\mid 16!\\).

\n

Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie potęg dwójki

\n

Idea: W iloczynie \\(1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\ldots \\cdot 16\\) szukamy, ile razy pojawia się czynnik \\(2\\). Wystarczy przejrzeć liczby parzyste i sprawdzić, przez jaką potęgę dwójki są podzielne.

\n

Liczby parzyste w zbiorze \\(\\{1, 2, \\ldots, 16\\}\\) to: \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\\).

\n

Rozkładamy każdą na potęgi dwójki:

\n

| Liczba | Rozkład | Liczba czynników 2 |
| \\(2\\) | \\(2^1\\) | 1 |
| \\(4\\) | \\(2^2\\) | 2 |
| \\(6\\) | \\(2 \\cdot 3\\) | 1 |
| \\(8\\) | \\(2^3\\) | 3 |
| \\(10\\) | \\(2 \\cdot 5\\) | 1 |
| \\(12\\) | \\(2^2 \\cdot 3\\) | 2 |
| \\(14\\) | \\(2 \\cdot 7\\) | 1 |
| \\(16\\) | \\(2^4\\) | 4 |

\n

Łącznie czynników \\(2\\):
\\[1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 = \\mathbf{15}\\]

\n

Liczby nieparzyste (\\(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\\)) nie wnoszą żadnego czynnika \\(2\\).

\n

Zatem:
\\[16! = 2^{15} \\cdot k\\]
gdzie \\(k = 1 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot 9 \\cdot 11 \\cdot 13 \\cdot 15 \\cdot 1 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 = \\ldots\\) jest liczbą naturalną.

\n

Wniosek: \\(2^{15} \\mid 16!\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Warstwy podzielności (wzór Legendre'a)

\n

Idea: Zamiast rozkładać każdą liczbę osobno, liczymy warstwami - ile liczb z \\(\\{1, \\ldots, 16\\}\\) jest podzielnych przez \\(2\\), przez \\(4\\), przez \\(8\\), przez \\(16\\).

\n

Warstwa 1 - podzielne przez \\(2\\):
\\[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{2} \\right\\rfloor = 8 \\text{ liczb}\\]
Każda z nich „daje" co najmniej jeden czynnik \\(2\\). Mamy więc co najmniej \\(8\\) czynników.

\n

Warstwa 2 - podzielne przez \\(4 = 2^2\\):
\\[4, 8, 12, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{4} \\right\\rfloor = 4 \\text{ liczby}\\]
Każda z nich daje dodatkowy (drugi) czynnik \\(2\\). Doliczamy kolejne \\(4\\) czynniki.

\n

Warstwa 3 - podzielne przez \\(8 = 2^3\\):
\\[8, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{8} \\right\\rfloor = 2 \\text{ liczby}\\]
Każda daje jeszcze jeden dodatkowy czynnik. Doliczamy \\(2\\).

\n

Warstwa 4 - podzielne przez \\(16 = 2^4\\):
\\[16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{16} \\right\\rfloor = 1 \\text{ liczba}\\]
Doliczamy \\(1\\) ostatni czynnik.

\n

Warstwa 5 - podzielne przez \\(32 = 2^5\\):
\\[\\left\\lfloor \\frac{16}{32} \\right\\rfloor = 0\\]
Brak takich liczb - kończymy zliczanie.

\n

Łączna liczba czynników \\(2\\) w \\(16!\\):
\\[8 + 4 + 2 + 1 = \\mathbf{15}\\]

\n

Stąd \\(16! = 2^{15} \\cdot m\\) dla pewnej liczby naturalnej \\(m\\) nieparzystej, co dowodzi, że \\(2^{15} \\mid 16!\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy wzorów z karty CKE. Dowód opiera się na elementarnej teorii liczb - rozkładzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze oraz własności dzielności. To materiał ponadpodstawowy, nieujęty w karcie wzorów, ale rozumiany intuicyjnie przez każdego maturzystę.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to liczenie tylko liczb parzystych, bez uwzględnienia ich „wielokrotnej" podzielności. Np. liczba \\(16 = 2^4\\) wnosi aż 4 czynniki dwójki, nie jeden! Zliczenie tylko 8 liczb parzystych i stwierdzenie „mamy \\(2^8\\)" jest błędne.
\n
⚠️ Uwaga: Piszemy dowód - nie wystarczy obliczyć i oznajmić wynik. Trzeba pokazać, że \\(16! = 2^{15} \\cdot k\\) dla konkretnej liczby naturalnej \\(k\\), czyli wskazać skąd pochodzi każdy z 15 czynników.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie prosi o podzielność przez \\(2^{15}\\), ale faktycznie \\(16!\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\) dokładnie (nie przez \\(2^{16}\\)). Gdyby pytanie brzmiało „wyznacz największą potęgę dwójki dzielącą \\(16!\\)", odpowiedzią byłoby właśnie \\(2^{15}\\).
\n

Odpowiedź: \\(16!\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\) - dowód poniżej.

\n
Sposób 1 - Wzór Legendre'a (zliczanie dwójek)
\n

Liczba dwójek w rozkładzie \\(n!\\) na czynniki pierwsze wynosi:
\\[v_{2}(n!) = \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left\\lfloor \\dfrac{n}{2^{k}}\\right\\rfloor.\\]
Dla \\(n=16\\):

\n\n

Suma: \\(v_{2}(16!) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15\\).

\n

Stąd \\(16!\\) zawiera dokładnie \\(15\\) czynników \\(2\\), więc \\(2^{15}\\,|\\,16!\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Rozkład każdej liczby na czynniki pierwsze
\n

\\[16! = 1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 4\\cdot 5\\cdot 6\\cdot 7\\cdot 8\\cdot 9\\cdot 10\\cdot 11\\cdot 12\\cdot 13\\cdot 14\\cdot 15\\cdot 16\\]
\\[= 1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 2^{2}\\cdot 5\\cdot (2\\cdot 3)\\cdot 7\\cdot 2^{3}\\cdot 3^{2}\\cdot (2\\cdot 5)\\cdot 11\\cdot (2^{2}\\cdot 3)\\cdot 13\\cdot (2\\cdot 7)\\cdot (3\\cdot 5)\\cdot 2^{4}.\\]

\n

Zliczamy wykładniki \\(2\\) w każdym czynniku:

\n\n

Suma: \\(1+2+1+3+1+2+1+4 = 15\\). Stąd \\(2^{15}\\,|\\,16!\\).

\n
Sposób 3 - Grupowanie
\n

Co druga liczba w \\(\\{1, ,16\\}\\) jest parzysta → \\(8\\) dwójek.
Co czwarta → dodatkowych \\(4\\) dwójek (po jednej w każdej wielokrotności \\(4\\)).
Co ósma → dodatkowe \\(2\\) dwójki.
Co szesnasta → dodatkowa \\(1\\) dwójka.
Razem: \\(8 + 4 + 2 + 1 = 15\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Wzór Legendre'a dla \\(p=2\\): liczymy \\(\\lfloor n/2\\rfloor + \\lfloor n/4\\rfloor + \\lfloor n/8\\rfloor + \\ldots\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}