{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i\n1\nsin\n4\nα =\nOblicz\n2\n3\n2tg α\nOdpowiedź:\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = 1/4. Oblicz 3 + 2 * tg^2 alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 punkty)\nKąt α jest ostry i\n1\nsin\n4\nα =\nOblicz\n2\n3\n2tg α\nI sposób rozwiązania\nNajpierw obliczamy\n2\n2\n2\n1\n1\n15\ncos\n1 sin\n1\n1\n4\n16\n16\nα\nα\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nStąd\n15\ncos\n4\nα =\n, bo α jest kątem ostrym.\nZatem\nsin\n1\ntg\ncos\n15\nα\nα\nα\ni stąd\n2\n1\n47\n3\n2tg\n3\n2 15\n15\nα\n+ ⋅\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy\n15\ncos\n4\nα =\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n3\n2tg α\ni zapisze wynik w postaci:\n1\n3\n2 15\n+ ⋅\n,\n2\n315 lub 47\n15 .\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n5\nII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy przyprostokątną x i przeciwprostokątną\n4x oraz zaznaczamy kąt ostry α tak, aby\n1\nsin\n4\nα =\nUwaga: Zdający może oznaczyć długości odpowiednich boków liczbami 1 oraz 4.\nZ twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość drugiej przyprostokątnej:\n15\nx\nObliczamy wartości funkcji\n1\ntg\n15\nα =\n. Stąd\n2\n47\n3\n2tg\n15\nα\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy długość drugiej przyprostokątnej:\n15\nx\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n3\n2tg α\ni zapisze wynik w postaci:\n1\n3\n2 15\n+ ⋅\n,\n2\n315 lub 47\n15 .\nUwaga:\nAkceptujemy sytuację, w której zdający odczytuje przybliżoną wartość tgα (na podstawie\nwartości\n1\nsin\n4\nα =\nzdający może przyjąć tg\ntg14\n0,2493\nα ≈\n° ≈\nalbo tg\ntg15\n0,2679\nα ≈\n° ≈\n,\nmoże również przyjąć przybliżenie z mniejszą dokładnością, ale nie mniejszą niż do jednego\nmiejsca po przecinku) i na tej podstawie obliczyć wartość wyrażenia\n2\n3\n2tg α\nstosując\npoprawnie regułę zaokrąglania.\nα\nx\n4x\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{47}{15}\\)\n\n## Sposób 1 - przez jedynkę trygonometryczną\n\n**Krok 1: Wyznaczamy cos α**\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{1}{16} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{16} = \\frac{15}{16}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\), zatem:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{15}}{4}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy tg α**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{1}{4}}{\\dfrac{\\sqrt{15}}{4}} = \\frac{1}{\\sqrt{15}}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy tg²α**\n\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{1}{15}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy wynik**\n\n\\[3 + 2\\operatorname{tg}^2\\alpha = 3 + 2 \\cdot \\frac{1}{15} = 3 + \\frac{2}{15} = \\frac{45}{15} + \\frac{2}{15} = \\boxed{\\frac{47}{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - bez wyznaczania cos α (bezpośrednio przez sin)\n\nKorzystamy ze związku:\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{\\sin^2\\alpha}{1 - \\sin^2\\alpha}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{4}\\), czyli \\(\\sin^2\\alpha = \\dfrac{1}{16}\\):\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\dfrac{1}{16}}{1 - \\dfrac{1}{16}} = \\frac{\\dfrac{1}{16}}{\\dfrac{15}{16}} = \\frac{1}{15}\\]\n\nA zatem:\n\\[3 + 2\\operatorname{tg}^2\\alpha = 3 + \\frac{2}{15} = \\frac{45 + 2}{15} = \\frac{47}{15}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{47}{15}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\n- Jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z danego \\(\\sin\\alpha\\).\n\n- Definicja tangensu:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta do obliczenia \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha\\) w obu sposobach.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij, że \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{15}{16}} = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\sqrt{15}}{16}\\). Pierwiastek obejmuje cały ułamek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"kąt ostry\" jest kluczowy - gwarantuje, że \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc możemy wziąć pierwiastek dodatni. Bez tego warunku \\(\\cos\\alpha\\) mogłoby być ujemne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha\\) z \\(\\operatorname{tg}(2\\alpha)\\) - to zupełnie różne wyrażenia!\n\n**Odpowiedź:** \\(3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{47}{15}\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n**Krok 1 - obliczenie \\(\\cos\\alpha\\):**\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{16} = \\dfrac{15}{16}.\\]\nKąt ostry ⟹ \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}.\\]\n\n**Krok 2 - obliczenie \\(\\text{tg}\\,\\alpha\\):**\n\\[\\text{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1/4}{\\sqrt{15}/4} = \\dfrac{1}{\\sqrt{15}}.\\]\n\n**Krok 3 - obliczenie \\(\\text{tg}^{2}\\alpha\\):**\n\\[\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{15}.\\]\n\n**Krok 4 - obliczenie wyrażenia:**\n\\[3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = 3 + \\dfrac{2}{15} = \\dfrac{45 + 2}{15} = \\dfrac{47}{15}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nRysujemy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \\(\\alpha\\): przeciwprostokątna \\(4\\), przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) równa \\(1\\) (bo \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{4}\\)).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{16 - 1} = \\sqrt{15}\\).\n\n\\[\\text{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{15}}, \\quad \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{15}.\\]\n\\[3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = 3 + \\dfrac{2}{15} = \\dfrac{47}{15}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tożsamość \\(1 + \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha}\\)\n\\[\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha} - 1 = \\dfrac{1}{15/16} - 1 = \\dfrac{16}{15} - 1 = \\dfrac{1}{15}.\\]\nRazem: \\(3 + 2\\cdot \\tfrac{1}{15} = \\tfrac{47}{15}\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}\\) lub wyznaczenie drugiej przyprostokątnej \\(\\sqrt{15}\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie wartości wyrażenia w postaci \\(3 + 2\\cdot \\tfrac{1}{15}\\), \\(\\dfrac{47}{15}\\) lub \\(\\dfrac{2}{15} + 3\\).\n- **Uwagi:** Akceptujemy przybliżenie \\(\\text{tg}\\,\\alpha \\approx 0{,}26\\) (z kąta \\(\\approx 14{,}5^{\\circ}\\)) i konsekwentne obliczenie wartości.\n\n**Trik:** \\(1 + \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha}\\) - szybka ścieżka, gdy znamy \\(\\cos\\alpha\\) lub \\(\\sin\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Kąt α jest ostry i
1
sin
4
α =
Oblicz
2
3
2tg α
Odpowiedź:
Kąt alfa jest ostry i sin alfa = 1/4. Oblicz 3 + 2 * tg^2 alfa.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (2 punkty)
Kąt α jest ostry i
1
sin
4
α =
Oblicz
2
3
2tg α
I sposób rozwiązania
Najpierw obliczamy
2
2
2
1
1
15
cos
1 sin
1
1
4
16
16
α
α
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Stąd
15
cos
4
α =
, bo α jest kątem ostrym.
Zatem
sin
1
tg
cos
15
α
α
α
i stąd
2
1
47
3
2tg
3
2 15
15
α

\n\n

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy obliczy
15
cos
4
α =
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy wartość wyrażenia
2
3
2tg α
i zapisze wynik w postaci:
1
3
2 15

\n\n

,
2
315 lub 47
15 .
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
5
II sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy przyprostokątną x i przeciwprostokątną
4x oraz zaznaczamy kąt ostry α tak, aby
1
sin
4
α =
Uwaga: Zdający może oznaczyć długości odpowiednich boków liczbami 1 oraz 4.
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość drugiej przyprostokątnej:
15
x
Obliczamy wartości funkcji
1
tg
15
α =
. Stąd
2
47
3
2tg
15
α
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy poprawnie wyznaczy długość drugiej przyprostokątnej:
15
x
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy wartość wyrażenia
2
3
2tg α
i zapisze wynik w postaci:
1
3
2 15

\n\n

,
2
315 lub 47
15 .
Uwaga:
Akceptujemy sytuację, w której zdający odczytuje przybliżoną wartość tgα (na podstawie
wartości
1
sin
4
α =
zdający może przyjąć tg
tg14
0,2493
α ≈
° ≈
albo tg
tg15
0,2679
α ≈
° ≈
,
może również przyjąć przybliżenie z mniejszą dokładnością, ale nie mniejszą niż do jednego
miejsca po przecinku) i na tej podstawie obliczyć wartość wyrażenia
2
3
2tg α
stosując
poprawnie regułę zaokrąglania.
α
x
4x
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{47}{15}\\)

\n

Sposób 1 - przez jedynkę trygonometryczną

\n

Krok 1: Wyznaczamy cos α

\n

Z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\frac{1}{16} + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{16} = \\frac{15}{16}\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\), zatem:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{15}}{4}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy tg α

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{1}{4}}{\\dfrac{\\sqrt{15}}{4}} = \\frac{1}{\\sqrt{15}}\\]

\n

Krok 3: Obliczamy tg²α

\n

\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{1}{15}\\]

\n

Krok 4: Obliczamy wynik

\n

\\[3 + 2\\operatorname{tg}^2\\alpha = 3 + 2 \\cdot \\frac{1}{15} = 3 + \\frac{2}{15} = \\frac{45}{15} + \\frac{2}{15} = \\boxed{\\frac{47}{15}}\\]

\n

Sposób 2 - bez wyznaczania cos α (bezpośrednio przez sin)

\n

Korzystamy ze związku:
\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{\\sin^2\\alpha}{1 - \\sin^2\\alpha}\\]

\n

Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{4}\\), czyli \\(\\sin^2\\alpha = \\dfrac{1}{16}\\):
\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\dfrac{1}{16}}{1 - \\dfrac{1}{16}} = \\frac{\\dfrac{1}{16}}{\\dfrac{15}{16}} = \\frac{1}{15}\\]

\n

A zatem:
\\[3 + 2\\operatorname{tg}^2\\alpha = 3 + \\frac{2}{15} = \\frac{45 + 2}{15} = \\frac{47}{15}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(\\dfrac{47}{15}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)

\n\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z danego \\(\\sin\\alpha\\).

\n\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyta do obliczenia \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha\\) w obu sposobach.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij, że \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{15}{16}} = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}\\), nie \\(\\dfrac{\\sqrt{15}}{16}\\). Pierwiastek obejmuje cały ułamek!
\n
⚠️ Uwaga: Warunek "kąt ostry" jest kluczowy - gwarantuje, że \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc możemy wziąć pierwiastek dodatni. Bez tego warunku \\(\\cos\\alpha\\) mogłoby być ujemne.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha\\) z \\(\\operatorname{tg}(2\\alpha)\\) - to zupełnie różne wyrażenia!
\n

Odpowiedź: \\(3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{47}{15}\\).

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
\n

Krok 1 - obliczenie \\(\\cos\\alpha\\):
\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{16} = \\dfrac{15}{16}.\\]
Kąt ostry ⟹ \\(\\cos\\alpha > 0\\):
\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}.\\]

\n

Krok 2 - obliczenie \\(\\text{tg}\\,\\alpha\\):
\\[\\text{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1/4}{\\sqrt{15}/4} = \\dfrac{1}{\\sqrt{15}}.\\]

\n

Krok 3 - obliczenie \\(\\text{tg}^{2}\\alpha\\):
\\[\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{15}.\\]

\n

Krok 4 - obliczenie wyrażenia:
\\[3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = 3 + \\dfrac{2}{15} = \\dfrac{45 + 2}{15} = \\dfrac{47}{15}.\\]

\n
Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\n

Rysujemy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \\(\\alpha\\): przeciwprostokątna \\(4\\), przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) równa \\(1\\) (bo \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{4}\\)).

\n

Z twierdzenia Pitagorasa druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{16 - 1} = \\sqrt{15}\\).

\n

\\[\\text{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{15}}, \\quad \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{15}.\\]
\\[3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = 3 + \\dfrac{2}{15} = \\dfrac{47}{15}.\\]

\n
Sposób 3 - Tożsamość \\(1 + \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha}\\)
\n

\\[\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha} - 1 = \\dfrac{1}{15/16} - 1 = \\dfrac{16}{15} - 1 = \\dfrac{1}{15}.\\]
Razem: \\(3 + 2\\cdot \\tfrac{1}{15} = \\tfrac{47}{15}\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: \\(1 + \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha}\\) - szybka ścieżka, gdy znamy \\(\\cos\\alpha\\) lub \\(\\sin\\alpha\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{47}{15}$

"}]}