{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nLiczby 2\n1\nx + , 6, 16\n2\nx +\nsą w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\nciągu arytmetycznego. Oblicz x.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n10\nLiczby 2x+1, 6, 16x+2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 punkty)\nLiczby 2\n1\nx + , 6, 16\n2\nx +\nsą w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\nciągu arytmetycznego. Oblicz x.\nI sposób rozwiązania\nZ własności ciągu arytmetycznego wynika, że drugi wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną\nwyrazu pierwszego i wyrazu trzeciego. A zatem (\n) (\n)\n2\n1\n16\n2\n6\n2\nx\nx\n, stąd\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie wynikające z własności lub z definicji ciągu arytmetycznego np.:\n(\n) (\n)\n2\n1\n16\n2\n6\n2\nx\nx\nlub\n(\n)\n(\n)\n6\n2\n1\n16\n2\n6\nx\nx\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\n2\nx =\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy układ równań\n2\n1\n6\n2\n1\n2\n16\n2\nx\nr\nx\nr\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nStąd\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze układ równań, np.:\n2\n1\n6\n2\n1\n2\n16\n2\nx\nr\nx\nr\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nlub 2\n1\n6\n6\n16\n2\nx\nr\nr\nx\n⎧\n⎨+\n⎩\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n7","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\frac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest **średnią arytmetyczną** swoich sąsiadów:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2} \\quad \\Leftrightarrow \\quad 2a_2 = a_1 + a_3\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[2 \\cdot 6 = (2x + 1) + (16x + 2)\\]\n\\[12 = 18x + 3\\]\n\\[9 = 18x\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - przyrównanie różnic ciągu\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała: \\(r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\).\n\nObliczamy obie różnice:\n\\[r = a_2 - a_1 = 6 - (2x+1) = 5 - 2x\\]\n\\[r = a_3 - a_2 = (16x+2) - 6 = 16x - 4\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[5 - 2x = 16x - 4\\]\n\\[9 = 18x\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Weryfikacja:** Przy \\(x = \\frac{1}{2}\\) mamy wyrazy:\n\\[a_1 = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} + 1 = 2, \\quad a_2 = 6, \\quad a_3 = 16 \\cdot \\tfrac{1}{2} + 2 = 10\\]\nRóżnica: \\(6 - 2 = 4\\) i \\(10 - 6 = 4\\) - ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do zbudowania równania. W Sposobie 2 korzystamy z definicji różnicy \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (stała dla całego ciągu).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to postawienie równania \\(a_1 + a_3 = a_2\\) zamiast \\(a_1 + a_3 = 2a_2\\) - środkowy wyraz to **połowa** sumy sąsiadów, nie sama suma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\((2x+1)+(16x+2)\\) uczniowie często mylnie sumują człony: pamiętaj, że \\(2x + 16x = 18x\\) i \\(1 + 2 = 3\\), razem \\(18x + 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto sprawdzić wynik - podstaw \\(x\\) i oblicz wszystkie trzy wyrazy, żeby upewnić się, że różnice są równe.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:\n\\[2\\cdot 6 = (2x+1) + (16x+2).\\]\nUpraszczamy prawą stronę:\n\\[12 = 18x + 3 \\Rightarrow 18x = 9 \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z definicji (różnica stała)\nDla ciągu arytmetycznego: \\(a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}\\). Zatem:\n\\[6 - (2x+1) = (16x+2) - 6\\]\n\\[5 - 2x = 16x - 4\\]\n\\[9 = 18x \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie\nDla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):\n- \\(a_{1} = 2\\cdot \\tfrac{1}{2} + 1 = 2\\),\n- \\(a_{2} = 6\\),\n- \\(a_{3} = 16\\cdot \\tfrac{1}{2} + 2 = 10\\).\n\nRóżnice: \\(6-2 = 4\\), \\(10-6 = 4\\) - równe, ciąg arytmetyczny z \\(r=4\\) ✓.\n\n### Sposób 4 - Układ równań z różnicą \\(r\\)\nOznaczmy różnicę \\(r\\). Wtedy:\n\\[\\begin{cases} (2x+1) + r = 6 \\\\ 6 + r = 16x+2 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego \\(r = 5 - 2x\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[6 + 5 - 2x = 16x + 2 \\Rightarrow 9 = 18x \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie równania wynikającego z własności lub definicji ciągu arytmetycznego, np. \\(2\\cdot 6 = (2x+1) + (16x+2)\\) lub \\(6 - (2x+1) = (16x+2) - 6\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Trik:** Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego = średnia arytmetyczna sąsiadów: \\(a_{n} = \\dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Liczby 2
1
x + , 6, 16
2
x +
są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem
ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
10
Liczby 2x+1, 6, 16x+2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (2 punkty)
Liczby 2
1
x + , 6, 16
2
x +
są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem
ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
I sposób rozwiązania
Z własności ciągu arytmetycznego wynika, że drugi wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną
wyrazu pierwszego i wyrazu trzeciego. A zatem (
) (
)
2
1
16
2
6
2
x
x
, stąd
1
2
x =
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze równanie wynikające z własności lub z definicji ciągu arytmetycznego np.:
(
) (
)
2
1
16
2
6
2
x
x
lub
(
)
(
)
6
2
1
16
2
6
x
x
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy
1
2
x =
II sposób rozwiązania
Zapisujemy układ równań
2
1
6
2
1
2
16
2
x
r
x
r
x
⎧
⎨
⎩
Stąd
1
2
x =
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze układ równań, np.:
2
1
6
2
1
2
16
2
x
r
x
r
x
⎧
⎨
⎩
lub 2
1
6
6
16
2
x
r
r
x
⎧
⎨+
⎩
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy
1
2
x =
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
7

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = \\frac{1}{2}\\)

\n

Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego

\n

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów:
\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2} \\quad \\Leftrightarrow \\quad 2a_2 = a_1 + a_3\\]

\n

Podstawiamy nasze wyrazy:
\\[2 \\cdot 6 = (2x + 1) + (16x + 2)\\]
\\[12 = 18x + 3\\]
\\[9 = 18x\\]
\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - przyrównanie różnic ciągu

\n

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała: \\(r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\).

\n

Obliczamy obie różnice:
\\[r = a_2 - a_1 = 6 - (2x+1) = 5 - 2x\\]
\\[r = a_3 - a_2 = (16x+2) - 6 = 16x - 4\\]

\n

Przyrównujemy:
\\[5 - 2x = 16x - 4\\]
\\[9 = 18x\\]
\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]

\n

Weryfikacja: Przy \\(x = \\frac{1}{2}\\) mamy wyrazy:
\\[a_1 = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} + 1 = 2, \\quad a_2 = 6, \\quad a_3 = 16 \\cdot \\tfrac{1}{2} + 2 = 10\\]
Różnica: \\(6 - 2 = 4\\) i \\(10 - 6 = 4\\) - ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do zbudowania równania. W Sposobie 2 korzystamy z definicji różnicy \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (stała dla całego ciągu).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to postawienie równania \\(a_1 + a_3 = a_2\\) zamiast \\(a_1 + a_3 = 2a_2\\) - środkowy wyraz to połowa sumy sąsiadów, nie sama suma.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\((2x+1)+(16x+2)\\) uczniowie często mylnie sumują człony: pamiętaj, że \\(2x + 16x = 18x\\) i \\(1 + 2 = 3\\), razem \\(18x + 3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze warto sprawdzić wynik - podstaw \\(x\\) i oblicz wszystkie trzy wyrazy, żeby upewnić się, że różnice są równe.
\n

Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).

\n
Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu
\n

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:
\\[2\\cdot 6 = (2x+1) + (16x+2).\\]
Upraszczamy prawą stronę:
\\[12 = 18x + 3 \\Rightarrow 18x = 9 \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Z definicji (różnica stała)
\n

Dla ciągu arytmetycznego: \\(a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}\\). Zatem:
\\[6 - (2x+1) = (16x+2) - 6\\]
\\[5 - 2x = 16x - 4\\]
\\[9 = 18x \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n
Sposób 3 - Sprawdzenie
\n

Dla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):

\n\n

Różnice: \\(6-2 = 4\\), \\(10-6 = 4\\) - równe, ciąg arytmetyczny z \\(r=4\\) ✓.

\n
Sposób 4 - Układ równań z różnicą \\(r\\)
\n

Oznaczmy różnicę \\(r\\). Wtedy:
\\[\\begin{cases} (2x+1) + r = 6 \\\\ 6 + r = 16x+2 \\end{cases}\\]
Z pierwszego \\(r = 5 - 2x\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[6 + 5 - 2x = 16x + 2 \\Rightarrow 9 = 18x \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego = średnia arytmetyczna sąsiadów: \\(a_{n} = \\dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x=\\\\dfrac{1}{2}$

"}]}