{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nPunkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek\ndługości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.\nA\nB\nO\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nPunkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 punkty)\nPunkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek\ndługości jest równy 7:5. Jaka jest miara kąta środkowego opartego na krótszym łuku?\nRozwiązanie\nA\nB\nO\nKrótszy łuk to 5\n12 okręgu, zatem kąt środkowy oparty na tym łuku to 5\n12 kąta pełnego, tj.\n5 360\n150\n12 ⋅\n° =\n° .\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• zapisze, że krótszy łuk AB to 5\n12 okręgu\nlub\n• zapisze układ równań, np.:\n7\n5\nα\nβ =\ni\n360\nα\nβ\n°\nlub\n• zapisze, że dwa kolejne punkty zaznaczone na tym okręgu wraz z punktem O wyznaczają\nkąt środkowy o mierze 30°\nlub\n• zapisze, że kąt środkowy oparty na dłuższym z łuków AB ma miarę 210°\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy miarę kąta środkowego opartego na krótszym z łuków AB:\n150\nAOB =\n°\n)\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n9","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (150°)\n\nKąt środkowy oparty na krótszym łuku wynosi **150°**.\n\n## Sposób 1 - proporcja łuków do kątów środkowych\n\n**Kluczowa obserwacja:** Długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego, który ten łuk \"widzi\" ze środka okręgu.\n\nOznaczamy kąt środkowy oparty na krótszym łuku przez \\(\\alpha\\), a na dłuższym - przez \\(\\beta\\).\n\n**Krok 1.** Razem oba łuki tworzą pełny okrąg (360°):\n\\[\\alpha + \\beta = 360°\\]\n\n**Krok 2.** Stosunek długości łuków = stosunek kątów środkowych:\n\\[\\frac{\\beta}{\\alpha} = \\frac{7}{5}\\]\n\nStąd: \\(\\beta = \\frac{7}{5}\\alpha\\)\n\n**Krok 3.** Podstawiamy do równania sumy:\n\\[\\alpha + \\frac{7}{5}\\alpha = 360°\\]\n\\[\\frac{5}{5}\\alpha + \\frac{7}{5}\\alpha = 360°\\]\n\\[\\frac{12}{5}\\alpha = 360°\\]\n\\[\\alpha = 360° \\cdot \\frac{5}{12} = \\frac{1800°}{12} = 150°\\]\n\n**Odpowiedź: kąt środkowy oparty na krótszym łuku wynosi \\(\\mathbf{150°}\\).**\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio z proporcji\n\nOba łuki razem stanowią \\(7 + 5 = 12\\) części pełnego okręgu.\n\nKrótszy łuk to \\(5\\) części z \\(12\\), więc:\n\\[\\alpha = \\frac{5}{12} \\cdot 360° = 5 \\cdot 30° = 150°\\]\n\n**Weryfikacja:** dłuższy łuk daje kąt \\(\\frac{7}{12} \\cdot 360° = 210°\\), a stosunek: \\(\\frac{210°}{150°} = \\frac{7}{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - zależność łuku i kąta środkowego:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\n\nZ tego wzoru bezpośrednio wynika, że **długość łuku jest proporcjonalna do kąta środkowego** (przy ustalonym promieniu \\(r\\)). Zatem stosunek długości łuków = stosunek kątów środkowych - to jest serce całego rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Możliwy błąd |\n| B | Policzono kąt dla **dłuższego** łuku: \\(\\frac{7}{12} \\cdot 360° = 210°\\) - pomylono, który łuk jest krótszy |\n| C | Podzielono 360° przez samą różnicę \\(7 - 5 = 2\\): \\(\\frac{360°}{2} = 180°\\) - błędna logika |\n| D | Przyjęto, że krótszy łuk to \\(\\frac{5}{7}\\) pełnego okręgu zamiast \\(\\frac{5}{12}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(7:5\\) **nie** oznacza, że krótszy łuk to \\(\\frac{5}{7}\\) okręgu! Mianownik proporcji to suma obu części: \\(7 + 5 = 12\\). Krótszy łuk to \\(\\frac{5}{12}\\) pełnego okręgu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który łuk jest krótszy. Przy stosunku \\(7:5\\) krótszy łuk odpowiada liczbie **5** (mniejsza), a dłuższy - **7** (większa).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy to kąt przy **środku** okręgu \\(O\\), nie kąt wpisany (przy dowolnym punkcie na okręgu). Kąt wpisany byłby połową kąta środkowego - tu pytanie dotyczy kąta środkowego, więc nie dzielimy przez 2.\n\n**Odpowiedź:** \\(|\\angle AOB| = 150^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Proporcja łuków do kąta pełnego\nKrótszy łuk to \\(\\dfrac{5}{7+5} = \\dfrac{5}{12}\\) okręgu. Kąt środkowy oparty na tym łuku jest \\(\\tfrac{5}{12}\\) kąta pełnego:\n\\[|\\angle AOB| = \\dfrac{5}{12}\\cdot 360^{\\circ} = \\dfrac{1800^{\\circ}}{12} = 150^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nOznaczmy miary kątów środkowych opartych na łukach: \\(\\alpha\\) (dłuższy) i \\(\\beta\\) (krótszy). Z warunków:\n\\[\\dfrac{\\alpha}{\\beta} = \\dfrac{7}{5}, \\quad \\alpha + \\beta = 360^{\\circ}.\\]\nZ pierwszego \\(\\alpha = \\tfrac{7}{5}\\beta\\). Podstawiamy:\n\\[\\dfrac{7}{5}\\beta + \\beta = 360^{\\circ}\\]\n\\[\\dfrac{12}{5}\\beta = 360^{\\circ} \\Rightarrow \\beta = 150^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 3 - Podział okręgu na \\(12\\) równych części\nSuma części \\(7 + 5 = 12\\). Jedna część = \\(\\tfrac{360^{\\circ}}{12} = 30^{\\circ}\\). Krótszy łuk ma \\(5\\) takich części, czyli kąt \\(5\\cdot 30^{\\circ} = 150^{\\circ}\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie, że krótszy łuk to \\(\\tfrac{5}{12}\\) okręgu LUB układu równań \\(\\tfrac{\\alpha}{\\beta} = \\tfrac{7}{5}\\), \\(\\alpha+\\beta=360^{\\circ}\\) LUB stwierdzenie, że jedna część = \\(30^{\\circ}\\), LUB podanie, że kąt oparty na dłuższym łuku ma miarę \\(210^{\\circ}\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie miary kąta środkowego: \\(|\\angle AOB| = 150^{\\circ}\\).\n\n**Trik:** Stosunek łuków = stosunek kątów środkowych. Suma kątów środkowych dla przeciwnych łuków = \\(360^{\\circ}\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek
długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
A
B
O
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
11
Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (2 punkty)
Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek
długości jest równy 7:5. Jaka jest miara kąta środkowego opartego na krótszym łuku?
Rozwiązanie
A
B
O
Krótszy łuk to 5
12 okręgu, zatem kąt środkowy oparty na tym łuku to 5
12 kąta pełnego, tj.
5 360
150
12 ⋅
° =
° .
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
• zapisze, że krótszy łuk AB to 5
12 okręgu
lub
• zapisze układ równań, np.:
7
5
α
β =
i
360
α
β
°
lub
• zapisze, że dwa kolejne punkty zaznaczone na tym okręgu wraz z punktem O wyznaczają
kąt środkowy o mierze 30°
lub
• zapisze, że kąt środkowy oparty na dłuższym z łuków AB ma miarę 210°
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy miarę kąta środkowego opartego na krótszym z łuków AB:
150
AOB =
°
)
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
9

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (150°)

\n

Kąt środkowy oparty na krótszym łuku wynosi 150°.

\n

Sposób 1 - proporcja łuków do kątów środkowych

\n

Kluczowa obserwacja: Długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego, który ten łuk "widzi" ze środka okręgu.

\n

Oznaczamy kąt środkowy oparty na krótszym łuku przez \\(\\alpha\\), a na dłuższym - przez \\(\\beta\\).

\n

Krok 1. Razem oba łuki tworzą pełny okrąg (360°):
\\[\\alpha + \\beta = 360°\\]

\n

Krok 2. Stosunek długości łuków = stosunek kątów środkowych:
\\[\\frac{\\beta}{\\alpha} = \\frac{7}{5}\\]

\n

Stąd: \\(\\beta = \\frac{7}{5}\\alpha\\)

\n

Krok 3. Podstawiamy do równania sumy:
\\[\\alpha + \\frac{7}{5}\\alpha = 360°\\]
\\[\\frac{5}{5}\\alpha + \\frac{7}{5}\\alpha = 360°\\]
\\[\\frac{12}{5}\\alpha = 360°\\]
\\[\\alpha = 360° \\cdot \\frac{5}{12} = \\frac{1800°}{12} = 150°\\]

\n

Odpowiedź: kąt środkowy oparty na krótszym łuku wynosi \\(\\mathbf{150°}\\).

\n

Sposób 2 - bezpośrednio z proporcji

\n

Oba łuki razem stanowią \\(7 + 5 = 12\\) części pełnego okręgu.

\n

Krótszy łuk to \\(5\\) części z \\(12\\), więc:
\\[\\alpha = \\frac{5}{12} \\cdot 360° = 5 \\cdot 30° = 150°\\]

\n

Weryfikacja: dłuższy łuk daje kąt \\(\\frac{7}{12} \\cdot 360° = 210°\\), a stosunek: \\(\\frac{210°}{150°} = \\frac{7}{5}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - zależność łuku i kąta środkowego:
\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]

\n

Z tego wzoru bezpośrednio wynika, że długość łuku jest proporcjonalna do kąta środkowego (przy ustalonym promieniu \\(r\\)). Zatem stosunek długości łuków = stosunek kątów środkowych - to jest serce całego rozwiązania.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Możliwy błąd |
| B | Policzono kąt dla dłuższego łuku: \\(\\frac{7}{12} \\cdot 360° = 210°\\) - pomylono, który łuk jest krótszy |
| C | Podzielono 360° przez samą różnicę \\(7 - 5 = 2\\): \\(\\frac{360°}{2} = 180°\\) - błędna logika |
| D | Przyjęto, że krótszy łuk to \\(\\frac{5}{7}\\) pełnego okręgu zamiast \\(\\frac{5}{12}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Stosunek \\(7:5\\) nie oznacza, że krótszy łuk to \\(\\frac{5}{7}\\) okręgu! Mianownik proporcji to suma obu części: \\(7 + 5 = 12\\). Krótszy łuk to \\(\\frac{5}{12}\\) pełnego okręgu.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, który łuk jest krótszy. Przy stosunku \\(7:5\\) krótszy łuk odpowiada liczbie 5 (mniejsza), a dłuższy - 7 (większa).
\n
⚠️ Uwaga: Kąt środkowy to kąt przy środku okręgu \\(O\\), nie kąt wpisany (przy dowolnym punkcie na okręgu). Kąt wpisany byłby połową kąta środkowego - tu pytanie dotyczy kąta środkowego, więc nie dzielimy przez 2.
\n

Odpowiedź: \\(|\\angle AOB| = 150^{\\circ}\\).

\n
Sposób 1 - Proporcja łuków do kąta pełnego
\n

Krótszy łuk to \\(\\dfrac{5}{7+5} = \\dfrac{5}{12}\\) okręgu. Kąt środkowy oparty na tym łuku jest \\(\\tfrac{5}{12}\\) kąta pełnego:
\\[|\\angle AOB| = \\dfrac{5}{12}\\cdot 360^{\\circ} = \\dfrac{1800^{\\circ}}{12} = 150^{\\circ}.\\]

\n
Sposób 2 - Układ równań
\n

Oznaczmy miary kątów środkowych opartych na łukach: \\(\\alpha\\) (dłuższy) i \\(\\beta\\) (krótszy). Z warunków:
\\[\\dfrac{\\alpha}{\\beta} = \\dfrac{7}{5}, \\quad \\alpha + \\beta = 360^{\\circ}.\\]
Z pierwszego \\(\\alpha = \\tfrac{7}{5}\\beta\\). Podstawiamy:
\\[\\dfrac{7}{5}\\beta + \\beta = 360^{\\circ}\\]
\\[\\dfrac{12}{5}\\beta = 360^{\\circ} \\Rightarrow \\beta = 150^{\\circ}.\\]

\n
Sposób 3 - Podział okręgu na \\(12\\) równych części
\n

Suma części \\(7 + 5 = 12\\). Jedna część = \\(\\tfrac{360^{\\circ}}{12} = 30^{\\circ}\\). Krótszy łuk ma \\(5\\) takich części, czyli kąt \\(5\\cdot 30^{\\circ} = 150^{\\circ}\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Stosunek łuków = stosunek kątów środkowych. Suma kątów środkowych dla przeciwnych łuków = \\(360^{\\circ}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$150^{\\\\circ}$

"}]}