{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nRozwiązaniem układu równań\n3\n5\n2\n3\nx\ny\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\njest\nA.\n2\n1\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nB.\n2\n1\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nC.\n1\n2\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nD.\n1\n2\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nRozwiązaniem układu równań { x+3y=5 2x-y=3 jest A. {x=2 y=1 B. {x=2 y=-1, C. {x=1 y=2, D. {x=1 y=-2","answer":"A","answer_text":"1\n⎛\n3\n⎞\n2\n1\n3\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(\\begin{cases} x = 2 \\\\ y = 1 \\end{cases}\\)\n\n## Sposób 1 - podstawianie\n\n**Wyrażamy \\(x\\) z pierwszego równania:**\n\n\\[x + 3y = 5 \\implies x = 5 - 3y\\]\n\n**Podstawiamy do drugiego równania:**\n\n\\[2(5 - 3y) - y = 3\\]\n\\[10 - 6y - y = 3\\]\n\\[10 - 7y = 3\\]\n\\[-7y = -7\\]\n\\[y = 1\\]\n\n**Wracamy do wyrażenia na \\(x\\):**\n\n\\[x = 5 - 3 \\cdot 1 = 5 - 3 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(x = 2\\), \\(y = 1\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - eliminacja (dodawanie równań)\n\nChcemy wyeliminować jedną zmienną, mnożąc równania przez odpowiednie liczby.\n\n**Mnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\) i odejmujemy drugie:**\n\n\\[2 \\cdot (x + 3y = 5) \\implies 2x + 6y = 10\\]\n\nOdejmujemy od tego drugie równanie \\((2x - y = 3)\\):\n\n\\[(2x + 6y) - (2x - y) = 10 - 3\\]\n\\[2x + 6y - 2x + y = 7\\]\n\\[7y = 7\\]\n\\[y = 1\\]\n\n**Podstawiamy \\(y = 1\\) do pierwszego równania:**\n\n\\[x + 3 \\cdot 1 = 5 \\implies x = 2\\]\n\n**Wynik: \\(x = 2\\), \\(y = 1\\)** - odpowiedź **A**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia algebraiczne (podstawianie i eliminacja). Układy równań liniowych rozwiązujemy metodami elementarnymi, które są wymagane na poziomie matury bez korzystania z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Poprawne \\(x = 2\\), ale błędny znak \\(y\\): uczeń dostaje \\(y = 1\\) i wpisuje \\(y = -1\\) (mylenie znaków przy eliminacji) |\n| C | Zamiana wartości: uczeń otrzymuje poprawną parę \\((2, 1)\\), ale wpisuje ją odwrotnie jako \\(x = 1, y = 2\\) |\n| D | Dwa błędy naraz: zamienione wartości i błędny znak - \\(x = 1, y = -2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie podstawiania pamiętaj o nawiasach! \\(2(5 - 3y)\\) - bez nawiasu dostaniesz \\(10 - 3y\\) zamiast \\(10 - 6y\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(y\\) zawsze wróć do **jednego z oryginalnych równań**, żeby znaleźć \\(x\\). Nie podstawiaj do przekształconego równania - łatwo tam o wcześniejszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik! Podstaw \\(x = 2, y = 1\\) do **obu** równań: \\(2 + 3 \\cdot 1 = 5\\) ✓ i \\(2 \\cdot 2 - 1 = 3\\) ✓. Na maturze to 10 sekund, a gwarantuje pełny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Metoda podstawiania\nZ drugiego równania: \\(y = 2x - 3\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[x + 3(2x-3) = 5\\]\n\\[x + 6x - 9 = 5\\]\n\\[7x = 14 \\Rightarrow x = 2.\\]\nWtedy \\(y = 2\\cdot 2 - 3 = 1\\). Zatem \\((x,y) = (2,1)\\).\n\n### Sposób 2 - Metoda przeciwnych współczynników\nMnożymy drugie równanie przez \\(3\\):\n\\[\\begin{cases} x + 3y = 5 \\\\ 6x - 3y = 9 \\end{cases}\\]\nDodajemy: \\(7x = 14\\), więc \\(x=2\\). Z pierwszego: \\(3y = 5-2 = 3 \\Rightarrow y=1\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- **A.** \\(x=2, y=1\\): \\(2+3=5\\) ✓, \\(4-1=3\\) ✓.\n- **B.** \\(x=2, y=-1\\): \\(2-3=-1 \\ne 5\\).\n- **C.** \\(x=1, y=2\\): \\(1+6=7 \\ne 5\\).\n- **D.** \\(x=1, y=-2\\): \\(1-6=-5 \\ne 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPatrz sprawdzenie w Sposobie 3 - tylko \\((2,1)\\) spełnia oba równania.\n\n**Trik:** Przy układach liniowych zawsze sprawdzaj rozwiązanie podstawiając do obu równań.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Rozwiązaniem układu równań
3
5
2
3
x
y
x
y
⎧
⎨
⎩
jest
A.
2
1
x
y
⎧
⎨
⎩
B.
2
1
x
y
⎧
⎨
⎩
C.
1
2
x
y
⎧
⎨
⎩
D.
1
2
x
y
⎧
⎨
⎩
Rozwiązaniem układu równań { x+3y=5 2x-y=3 jest A. {x=2 y=1 B. {x=2 y=-1, C. {x=1 y=2, D. {x=1 y=-2

","answer_text_html":"

1
⎛
3
⎞
2
1
3
1

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(\\begin{cases} x = 2 \\\\ y = 1 \\end{cases}\\)

\n

Sposób 1 - podstawianie

\n

Wyrażamy \\(x\\) z pierwszego równania:

\n

\\[x + 3y = 5 \\implies x = 5 - 3y\\]

\n

Podstawiamy do drugiego równania:

\n

\\[2(5 - 3y) - y = 3\\]
\\[10 - 6y - y = 3\\]
\\[10 - 7y = 3\\]
\\[-7y = -7\\]
\\[y = 1\\]

\n

Wracamy do wyrażenia na \\(x\\):

\n

\\[x = 5 - 3 \\cdot 1 = 5 - 3 = 2\\]

\n

Wynik: \\(x = 2\\), \\(y = 1\\) - odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - eliminacja (dodawanie równań)

\n

Chcemy wyeliminować jedną zmienną, mnożąc równania przez odpowiednie liczby.

\n

Mnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\) i odejmujemy drugie:

\n

\\[2 \\cdot (x + 3y = 5) \\implies 2x + 6y = 10\\]

\n

Odejmujemy od tego drugie równanie \\((2x - y = 3)\\):

\n

\\[(2x + 6y) - (2x - y) = 10 - 3\\]
\\[2x + 6y - 2x + y = 7\\]
\\[7y = 7\\]
\\[y = 1\\]

\n

Podstawiamy \\(y = 1\\) do pierwszego równania:

\n

\\[x + 3 \\cdot 1 = 5 \\implies x = 2\\]

\n

Wynik: \\(x = 2\\), \\(y = 1\\) - odpowiedź A. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia algebraiczne (podstawianie i eliminacja). Układy równań liniowych rozwiązujemy metodami elementarnymi, które są wymagane na poziomie matury bez korzystania z karty.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Poprawne \\(x = 2\\), ale błędny znak \\(y\\): uczeń dostaje \\(y = 1\\) i wpisuje \\(y = -1\\) (mylenie znaków przy eliminacji) |
| C | Zamiana wartości: uczeń otrzymuje poprawną parę \\((2, 1)\\), ale wpisuje ją odwrotnie jako \\(x = 1, y = 2\\) |
| D | Dwa błędy naraz: zamienione wartości i błędny znak - \\(x = 1, y = -2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy metodzie podstawiania pamiętaj o nawiasach! \\(2(5 - 3y)\\) - bez nawiasu dostaniesz \\(10 - 3y\\) zamiast \\(10 - 6y\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(y\\) zawsze wróć do jednego z oryginalnych równań, żeby znaleźć \\(x\\). Nie podstawiaj do przekształconego równania - łatwo tam o wcześniejszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź wynik! Podstaw \\(x = 2, y = 1\\) do obu równań: \\(2 + 3 \\cdot 1 = 5\\) ✓ i \\(2 \\cdot 2 - 1 = 3\\) ✓. Na maturze to 10 sekund, a gwarantuje pełny wynik.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Metoda podstawiania
\n

Z drugiego równania: \\(y = 2x - 3\\). Podstawiamy do pierwszego:
\\[x + 3(2x-3) = 5\\]
\\[x + 6x - 9 = 5\\]
\\[7x = 14 \\Rightarrow x = 2.\\]
Wtedy \\(y = 2\\cdot 2 - 3 = 1\\). Zatem \\((x,y) = (2,1)\\).

\n
Sposób 2 - Metoda przeciwnych współczynników
\n

Mnożymy drugie równanie przez \\(3\\):
\\[\\begin{cases} x + 3y = 5 \\\\ 6x - 3y = 9 \\end{cases}\\]
Dodajemy: \\(7x = 14\\), więc \\(x=2\\). Z pierwszego: \\(3y = 5-2 = 3 \\Rightarrow y=1\\).

\n
Sposób 3 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Patrz sprawdzenie w Sposobie 3 - tylko \\((2,1)\\) spełnia oba równania.

\n

Trik: Przy układach liniowych zawsze sprawdzaj rozwiązanie podstawiając do obu równań.

"}]}