{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul\nponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej\nz czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nDane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 punkty)\nDane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul\nponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej\nz czerwonego pudełka jest mniejszy niż numer kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.\nI sposób rozwiązania (model klasyczny)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb (\n)\n,a b , gdzie\n{\n}\n,\n1,2, ,10\na b∈\n. Jest to\nmodel klasyczny.\n10 10\nΩ =\n⋅\nZdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, w których na\npierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na miejscu drugim.\nJeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 1, to na drugim miejscu może być każda z liczb od 2\ndo 10. (Mamy więc 9 możliwości).\nJeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 2, to na drugim miejscu może być każda z liczb od 3\ndo 10. (Mamy więc 8 możliwości).\nJeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 3, to na drugim może być każda z liczb od 4 do 10.\n(Mamy więc 7 możliwości). itd.\nZatem\n9\n8\n7\n1\n45\nA =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n9\n0,45\n20\nP A =\nII sposób rozwiązania (metoda tabeli)\nWszystkie zdarzenia elementarne możemy wypisać w postaci kwadratowej tablicy.\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n(1,7)\n(1,8)\n(1,9) (1,10)\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n(2,7)\n(2,8)\n(2,9) (2,10)\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n(3,7)\n(3,8)\n(3,9) (3,10)\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n(4,7)\n(4,8)\n(4,9) (4,10)\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n(5,7)\n(5,8)\n(5,9) (5,10)\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\n(6,7)\n(6,8)\n(6,9) (6,10)\n(7,1)\n(7,2)\n(7,3)\n(7,4)\n(7,5)\n(7,6)\n(7,7)\n(7,8)\n(7,9) (7,10)\n(8,1)\n(8,2)\n(8,3)\n(8,4)\n(8,5)\n(8,6)\n(8,7)\n(8,8)\n(8,9) (8,10)\n(9,1)\n(9,2)\n(9,3)\n(9,4)\n(9,5)\n(9,6)\n(9,7)\n(9,8)\n(9,9) (9,10)\n(10,1) (10,2) (10,3) (10,4) (10,5) (10,6) (10,7) (10,8) (10,9) (10,10)\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n10\nalbo\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n2\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n3\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n4\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n5\nX\nX\nX\nX\nX\n6\nX\nX\nX\nX\n7\nX\nX\nX\n8\nX\nX\n9\nX\n10\nStąd\n10 10\nΩ =\n⋅\nJest to model klasyczny.\nZdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, w których na\npierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na miejscu drugim. Są to wszystkie pary liczb\nwyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone w drugiej. Jest ich 45. Zatem\n( )\n0,45\nP A =\nUwaga:\nWszystkich par w tej tablicy jest\n2\n10 , na przekątnej łączącej pary (\n)\n1,1 i (\n)\n10,10 jest ich 10,\nwięc pozostałych par jest\n2\n10\n10\n. Nad przekątną jest tyle samo par co pod nią, więc par,\nw których na pierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na drugim jest\n2\n10\n10\n2\nZatem\n( )\n0,45\nP A =\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy\n10 10\nΩ =\n⋅\nalbo\n45\nA =\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n9\n0,45\n20\nP A =\nUwaga:\n• Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A > , to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 0 punktów.\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{9}{20}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par sprzyjających\n\n**Przestrzeń zdarzeń:**\n\nLosujemy jedną kulę z czerwonego pudełka (oznaczmy jej numer \\(r\\)) i jedną z niebieskiego (oznaczmy \\(b\\)). Para \\((r, b)\\), gdzie \\(r, b \\in \\{1, 2, \\ldots, 10\\}\\).\n\nŁączna liczba możliwych par:\n\\[|\\Omega| = 10 \\cdot 10 = 100\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające:** \\(r < b\\)\n\nLiczymy pary \\((r, b)\\) spełniające \\(r < b\\):\n\n| \\(r\\) | możliwe wartości \\(b\\) | liczba par |\n| 1 | 2, 3, …, 10 | 9 |\n| 2 | 3, 4, …, 10 | 8 |\n| 3 | 4, 5, …, 10 | 7 |\n| 4 | 5, 6, …, 10 | 6 |\n| 5 | 6, 7, …, 10 | 5 |\n| 6 | 7, 8, 9, 10 | 4 |\n| 7 | 8, 9, 10 | 3 |\n| 8 | 9, 10 | 2 |\n| 9 | 10 | 1 |\n| 10 | - | 0 |\n\nŁączna liczba par sprzyjających:\n\\[|A| = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = \\frac{9 \\cdot 10}{2} = 45\\]\n\n(Suma kolejnych liczb naturalnych od 1 do 9.)\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{45}{100} = \\boxed{\\frac{9}{20}}\\]\n\n## Sposób 2 - Argument symetrii\n\nKażdą parę \\((r, b)\\) możemy zakwalifikować do jednego z trzech rozłącznych przypadków:\n- \\(r < b\\) - kula czerwona ma mniejszy numer\n- \\(r > b\\) - kula czerwona ma większy numer\n- \\(r = b\\) - remis\n\n**Zliczamy przypadki remisu:**\nPar, gdzie \\(r = b\\): są to \\((1,1), (2,2), \\ldots, (10,10)\\) - dokładnie 10 par.\n\\[P(r = b) = \\frac{10}{100} = \\frac{1}{10}\\]\n\n**Argument symetrii:** Zadanie jest symetryczne względem zamiany pudełek - każda para \\((r, b)\\) z \\(r < b\\) odpowiada dokładnie jednej parze \\((b, r)\\) z \\(r > b\\). Zatem:\n\\[P(r < b) = P(r > b)\\]\n\n**Z warunku zupełności:**\n\\[P(r < b) + P(r > b) + P(r = b) = 1\\]\n\\[2 \\cdot P(r < b) + \\frac{1}{10} = 1\\]\n\\[2 \\cdot P(r < b) = \\frac{9}{10}\\]\n\\[\\boxed{P(r < b) = \\frac{9}{20}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - pewność poprawności.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podzieliliśmy liczbę par sprzyjających (45) przez łączną liczbę par (100).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Niektórzy uczniowie mylą przestrzeń zdarzeń i liczą tylko 55 par (tyle jest par \\((r,b)\\) z \\(r \\leq b\\)), a potem biorą je jako przestrzeń - to błąd! Przestrzeń to wszystkie 100 **równo prawdopodobnych** par, bo losowanie z każdego pudełka jest niezależne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o parach remisowych \\((r = b)\\) i błędnie przyjąć, że \\(P(r < b) = \\frac{1}{2}\\). Odpowiedź \\(\\frac{1}{2}\\) byłaby błędna właśnie dlatego, że te 10 par remisowych \"zabiera\" część przestrzeni zdarzeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma \\(9 + 8 + \\ldots + 1\\) to klasyczny wzór \\(\\frac{n(n-1)}{2}\\) dla \\(n = 10\\), warto go zapamiętać - często pojawia się w zadaniach kombinatorycznych.\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{9}{20} = 0{,}45\\).\n\n### Sposób 1 - Zliczanie par \\((a,b)\\) z \\(a < b\\)\nZdarzenia elementarne to pary \\((a,b)\\), \\(a,b\\in\\{1,\\ldots,10\\}\\), losowane niezależnie:\n\\[|\\Omega| = 10\\cdot 10 = 100.\\]\n\nSzukamy par, w których \\(a < b\\). Dla każdego \\(a\\) z przedziału od \\(1\\) do \\(9\\), liczba wartości \\(b\\) większych:\n- \\(a=1\\): \\(b\\in\\{2, ,10\\}\\) - \\(9\\) par.\n- \\(a=2\\): \\(8\\) par.\n- \\(a=9\\): \\(1\\) para.\n\n\\[|A| = 9 + 8 + 7 + + 1 = \\dfrac{9\\cdot 10}{2} = 45.\\]\n\\[P(A) = \\dfrac{45}{100} = \\dfrac{9}{20} = 0{,}45.\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria + przekątna\nPara \\((a,b)\\) albo spełnia \\(ab\\), albo \\(a=b\\). Przypadków \\(a=b\\) jest \\(10\\) (gdy oba numery równe). Pozostałych \\(100-10 = 90\\).\n\nZ symetrii par (zamiana \\(a \\leftrightarrow b\\)): dokładnie połowa z nich ma \\(a 1\\) → \\(0\\) pkt za całe zadanie.\n\n**Trik:** Liczba par \\((a,b)\\) z \\(aZadanie 30. (2 pkt)
Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul
ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej
z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
12
Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (2 punkty)
Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul
ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej
z czerwonego pudełka jest mniejszy niż numer kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
I sposób rozwiązania (model klasyczny)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb (
)
,a b , gdzie
{
}
,
1,2, ,10
a b∈
. Jest to
model klasyczny.
10 10
Ω =
⋅
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, w których na
pierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na miejscu drugim.
Jeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 1, to na drugim miejscu może być każda z liczb od 2
do 10. (Mamy więc 9 możliwości).
Jeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 2, to na drugim miejscu może być każda z liczb od 3
do 10. (Mamy więc 8 możliwości).
Jeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 3, to na drugim może być każda z liczb od 4 do 10.
(Mamy więc 7 możliwości). itd.
Zatem
9
8
7
1
45
A =
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
( )
9
0,45
20
P A =
II sposób rozwiązania (metoda tabeli)
Wszystkie zdarzenia elementarne możemy wypisać w postaci kwadratowej tablicy.
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(1,7)
(1,8)
(1,9) (1,10)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(2,7)
(2,8)
(2,9) (2,10)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(3,7)
(3,8)
(3,9) (3,10)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(4,7)
(4,8)
(4,9) (4,10)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(5,7)
(5,8)
(5,9) (5,10)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
(6,7)
(6,8)
(6,9) (6,10)
(7,1)
(7,2)
(7,3)
(7,4)
(7,5)
(7,6)
(7,7)
(7,8)
(7,9) (7,10)
(8,1)
(8,2)
(8,3)
(8,4)
(8,5)
(8,6)
(8,7)
(8,8)
(8,9) (8,10)
(9,1)
(9,2)
(9,3)
(9,4)
(9,5)
(9,6)
(9,7)
(9,8)
(9,9) (9,10)
(10,1) (10,2) (10,3) (10,4) (10,5) (10,6) (10,7) (10,8) (10,9) (10,10)
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
10
albo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
X
X
X
X
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
X
4
X
X
X
X
X
X
5
X
X
X
X
X
6
X
X
X
X
7
X
X
X
8
X
X
9
X
10
Stąd
10 10
Ω =
⋅
Jest to model klasyczny.
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, w których na
pierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na miejscu drugim. Są to wszystkie pary liczb
wyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone w drugiej. Jest ich 45. Zatem
( )
0,45
P A =
Uwaga:
Wszystkich par w tej tablicy jest
2
10 , na przekątnej łączącej pary (
)
1,1 i (
)
10,10 jest ich 10,
więc pozostałych par jest
2
10
10
. Nad przekątną jest tyle samo par co pod nią, więc par,
w których na pierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na drugim jest
2
10
10
2
Zatem
( )
0,45
P A =
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy obliczy
10 10
Ω =
⋅
albo
45
A =
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
( )
9
0,45
20
P A =
Uwaga:
• Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
( )
1
P A > , to otrzymuje za całe
rozwiązanie 0 punktów.
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
11

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{9}{20}\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie par sprzyjających

\n

Przestrzeń zdarzeń:

\n

Losujemy jedną kulę z czerwonego pudełka (oznaczmy jej numer \\(r\\)) i jedną z niebieskiego (oznaczmy \\(b\\)). Para \\((r, b)\\), gdzie \\(r, b \\in \\{1, 2, \\ldots, 10\\}\\).

\n

Łączna liczba możliwych par:
\\[|\\Omega| = 10 \\cdot 10 = 100\\]

\n

Zdarzenie sprzyjające: \\(r < b\\)

\n

Liczymy pary \\((r, b)\\) spełniające \\(r < b\\):

\n

| \\(r\\) | możliwe wartości \\(b\\) | liczba par |
| 1 | 2, 3, …, 10 | 9 |
| 2 | 3, 4, …, 10 | 8 |
| 3 | 4, 5, …, 10 | 7 |
| 4 | 5, 6, …, 10 | 6 |
| 5 | 6, 7, …, 10 | 5 |
| 6 | 7, 8, 9, 10 | 4 |
| 7 | 8, 9, 10 | 3 |
| 8 | 9, 10 | 2 |
| 9 | 10 | 1 |
| 10 | - | 0 |

\n

Łączna liczba par sprzyjających:
\\[|A| = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = \\frac{9 \\cdot 10}{2} = 45\\]

\n

(Suma kolejnych liczb naturalnych od 1 do 9.)

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{45}{100} = \\boxed{\\frac{9}{20}}\\]

\n

Sposób 2 - Argument symetrii

\n

Każdą parę \\((r, b)\\) możemy zakwalifikować do jednego z trzech rozłącznych przypadków:

\n
  • \\(r < b\\) - kula czerwona ma mniejszy numer
  • \\(r > b\\) - kula czerwona ma większy numer
  • \\(r = b\\) - remis
\n

Zliczamy przypadki remisu:
Par, gdzie \\(r = b\\): są to \\((1,1), (2,2), \\ldots, (10,10)\\) - dokładnie 10 par.
\\[P(r = b) = \\frac{10}{100} = \\frac{1}{10}\\]

\n

Argument symetrii: Zadanie jest symetryczne względem zamiany pudełek - każda para \\((r, b)\\) z \\(r < b\\) odpowiada dokładnie jednej parze \\((b, r)\\) z \\(r > b\\). Zatem:
\\[P(r < b) = P(r > b)\\]

\n

Z warunku zupełności:
\\[P(r < b) + P(r > b) + P(r = b) = 1\\]
\\[2 \\cdot P(r < b) + \\frac{1}{10} = 1\\]
\\[2 \\cdot P(r < b) = \\frac{9}{10}\\]
\\[\\boxed{P(r < b) = \\frac{9}{20}}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - pewność poprawności.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podzieliliśmy liczbę par sprzyjających (45) przez łączną liczbę par (100).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Niektórzy uczniowie mylą przestrzeń zdarzeń i liczą tylko 55 par (tyle jest par \\((r,b)\\) z \\(r \\leq b\\)), a potem biorą je jako przestrzeń - to błąd! Przestrzeń to wszystkie 100 równo prawdopodobnych par, bo losowanie z każdego pudełka jest niezależne.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć o parach remisowych \\((r = b)\\) i błędnie przyjąć, że \\(P(r < b) = \\frac{1}{2}\\). Odpowiedź \\(\\frac{1}{2}\\) byłaby błędna właśnie dlatego, że te 10 par remisowych "zabiera" część przestrzeni zdarzeń.
\n
⚠️ Uwaga: Suma \\(9 + 8 + \\ldots + 1\\) to klasyczny wzór \\(\\frac{n(n-1)}{2}\\) dla \\(n = 10\\), warto go zapamiętać - często pojawia się w zadaniach kombinatorycznych.
\n

Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{9}{20} = 0{,}45\\).

\n
Sposób 1 - Zliczanie par \\((a,b)\\) z \\(a < b\\)
\n

Zdarzenia elementarne to pary \\((a,b)\\), \\(a,b\\in\\{1,\\ldots,10\\}\\), losowane niezależnie:
\\[|\\Omega| = 10\\cdot 10 = 100.\\]

\n

Szukamy par, w których \\(a < b\\). Dla każdego \\(a\\) z przedziału od \\(1\\) do \\(9\\), liczba wartości \\(b\\) większych:

\n
  • \\(a=1\\): \\(b\\in\\{2, ,10\\}\\) - \\(9\\) par.
  • \\(a=2\\): \\(8\\) par.
  • \\(a=9\\): \\(1\\) para.
\n

\\[|A| = 9 + 8 + 7 + + 1 = \\dfrac{9\\cdot 10}{2} = 45.\\]
\\[P(A) = \\dfrac{45}{100} = \\dfrac{9}{20} = 0{,}45.\\]

\n
Sposób 2 - Symetria + przekątna
\n

Para \\((a,b)\\) albo spełnia \\(a<b\\), albo \\(a>b\\), albo \\(a=b\\). Przypadków \\(a=b\\) jest \\(10\\) (gdy oba numery równe). Pozostałych \\(100-10 = 90\\).

\n

Z symetrii par (zamiana \\(a \\leftrightarrow b\\)): dokładnie połowa z nich ma \\(a<b\\):
\\[|A| = \\dfrac{90}{2} = 45.\\]
\\[P(A) = \\dfrac{45}{100} = \\dfrac{9}{20}.\\]

\n
Sposób 3 - Tabela 10×10
\n

Tworzymy tablicę \\(10\\times 10\\), gdzie wiersz = numer kuli czerwonej, kolumna = numer kuli niebieskiej. Pola "\\(a<b\\)" to wszystkie pola NAD główną przekątną. Liczba pól nad przekątną: \\(\\binom{10}{2} = 45\\).
\\[P(A) = \\dfrac{45}{100} = 0{,}45.\\]

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n
  • 1 pkt: Obliczenie \\(|\\Omega| = 100\\) LUB \\(|A| = 45\\).
  • 2 pkt: Obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{9}{20}\\) (lub \\(0{,}45\\), \\(\\tfrac{45}{100}\\)).
  • Uwagi: Jeśli \\(P(A) > 1\\) → \\(0\\) pkt za całe zadanie.
\n

Trik: Liczba par \\((a,b)\\) z \\(a<b\\) w zbiorze \\(n\\)-elementowym: \\(\\binom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}\\). Dla \\(n=10\\): \\(45\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A)=0,45$

"}]}