{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (5 pkt)\nDwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko\nw drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość\no 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nDwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (5 punktów)\nDwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko\nw drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość\no 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.\nRozwiązanie\nOznaczmy długość boiska w pierwszej szkole przez a i szerokość przez b.\nWówczas w drugiej szkole długość boiska jest równa\n4\na +\n, szerokość\n8\nb -.\nOtrzymujemy układ równań\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n4\n8\n65\na\nb\na\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nPrzekształcamy układ do postaci\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n8\n16\n16\n64\n65\na\nb\na\na\nb\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\na następnie\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n8\n16\n80\n65\na\nb\na\nb\na\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nskąd otrzymujemy układ\n2\n2\n2\n65\n8\n16\n80\n0\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨\n⎩\nczyli\n2\n2\n2\n65\n2\n10\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨=\n⎩\nPodstawiamy wyznaczoną wartość a do pierwszego równania i rozwiązujemy równanie\nkwadratowe (\n)\n2\n2\n2\n2\n10\n65\nb\nb\nPo uporządkowaniu otrzymujemy:\n2\n8\n825\n0\nb\nb\n,\n3364\nΔ =\n,\n58\nΔ =\nRozwiązaniami tego równania są liczby\n33\nb =\noraz\n25\nb = -\n. Odrzucamy ujemne\nrozwiązanie i obliczamy\n56\na =\nZatem boisko w pierwszej szkole ma 33m szerokości i 56 metrów długości, a więc boisko\nw drugiej szkole ma 25 m szerokości i 60 m długości.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie jednego z równań\n2\n2\n2\n65\na\nb\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n8\n65\na\nb\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n12\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi a i b, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n4\n8\n65\na\nb\na\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą a lub b w postaci: (\n)\n2\n2\n2\n2\n10\n65\nb\nb\nlub\n2\n8\n825\n0\nb\nb\nlub\n2\n2\n1\n5\n65\n2\na\na\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nlub\n2\n1\n840\n0\n4 a\na\nUwaga:\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania zadania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n• zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole i na tym poprzestanie lub błędnie\nobliczy wymiary boiska w drugiej szkole\nalbo\n• zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole z błędem rachunkowym\ni konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy wymiary boiska w drugiej szkole.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie wymiarów boisk w obu szkołach:\nBoisko w pierwszej szkole ma 33m szerokości i 56 metrów długości, natomiast boisko\nw drugiej szkole ma 25 m szerokości i 60 m długości.\nUwaga:\nJeśli zdający odgadnie poprawne wymiary boisk, to otrzymuje 1 punkt.\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n13","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Boisko pierwsze:** długość \\(56\\) m, szerokość \\(33\\) m.\n**Boisko drugie:** długość \\(60\\) m, szerokość \\(25\\) m.\n\n## Sposób 1 - Układ równań z twierdzeniem Pitagorasa\n\n**Wprowadzamy oznaczenia.** Niech boisko pierwszej szkoły ma długość \\(a\\) [m] i szerokość \\(b\\) [m]. Wtedy boisko drugiej szkoły ma długość \\(a+4\\) [m] i szerokość \\(b-8\\) [m].\n\n**Obie przekątne mają długość 65 m**, więc dla każdego boiska stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[a^2 + b^2 = 65^2 = 4225 \\tag{1}\\]\n\n\\[(a+4)^2 + (b-8)^2 = 65^2 = 4225 \\tag{2}\\]\n\n**Rozwijamy równanie (2):**\n\n\\[a^2 + 8a + 16 + b^2 - 16b + 64 = 4225\\]\n\nKorzystamy z równania (1) - wiemy, że \\(a^2 + b^2 = 4225\\), więc podstawiamy:\n\n\\[4225 + 8a - 16b + 80 = 4225\\]\n\n\\[8a - 16b + 80 = 0\\]\n\n\\[8a - 16b = -80 \\quad \\div 8\\]\n\n\\[a - 2b = -10\\]\n\n\\[\\boxed{a = 2b - 10} \\tag{3}\\]\n\n**Podstawiamy (3) do równania (1):**\n\n\\[(2b-10)^2 + b^2 = 4225\\]\n\n\\[4b^2 - 40b + 100 + b^2 = 4225\\]\n\n\\[5b^2 - 40b + 100 = 4225\\]\n\n\\[5b^2 - 40b - 4125 = 0 \\quad \\div 5\\]\n\n\\[b^2 - 8b - 825 = 0\\]\n\n**Liczymy wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-825) = 64 + 3300 = 3364 = 58^2\\]\n\n**Pierwiastki:**\n\n\\[b = \\frac{8 \\pm 58}{2}\\]\n\n\\[b_1 = \\frac{8 + 58}{2} = \\frac{66}{2} = 33, \\qquad b_2 = \\frac{8 - 58}{2} = \\frac{-50}{2} = -25\\]\n\nOdrzucamy \\(b_2 = -25\\), bo szerokość musi być dodatnia.\n\n**Zatem \\(b = 33\\) m**, a z równania (3):\n\n\\[a = 2 \\cdot 33 - 10 = 66 - 10 = 56 \\text{ m}\\]\n\n**Wymiary boisk:**\n- **Boisko pierwsze:** długość \\(a = 56\\) m, szerokość \\(b = 33\\) m\n- **Boisko drugie:** długość \\(a + 4 = 60\\) m, szerokość \\(b - 8 = 25\\) m\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (inna zmienna)\n\nNiech boisko pierwsze ma wymiary \\(x \\times y\\). Z treści wiemy od razu, że boisko drugie to \\((x+4) \\times (y-8)\\). Zamiast podstawiać \\(a = 2b-10\\), możemy wyjść od \\(x\\) i wyrazić \\(y\\) z równania liniowego.\n\nZ kroku eliminacji (tak samo jak wyżej) dostajemy:\n\n\\[x = 2y - 10\\]\n\nZamiast rozwiązywać równanie kwadratowe w \\(y\\), możemy inaczej - wyrażamy \\(y\\) z \\(x\\):\n\n\\[y = \\frac{x + 10}{2}\\]\n\ni podstawiamy do \\(x^2 + y^2 = 4225\\):\n\n\\[x^2 + \\left(\\frac{x+10}{2}\\right)^2 = 4225\\]\n\n\\[x^2 + \\frac{x^2 + 20x + 100}{4} = 4225 \\quad \\cdot 4\\]\n\n\\[4x^2 + x^2 + 20x + 100 = 16900\\]\n\n\\[5x^2 + 20x - 16800 = 0 \\quad \\div 5\\]\n\n\\[x^2 + 4x - 3360 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 16 + 4 \\cdot 3360 = 16 + 13440 = 13456 = 116^2\\]\n\n\\[x = \\frac{-4 + 116}{2} = \\frac{112}{2} = 56\\]\n\n(odrzucamy ujemny pierwiastek \\(x = -60\\))\n\n\\[y = \\frac{56 + 10}{2} = \\frac{66}{2} = 33\\]\n\nTen sam wynik: **długość 56 m, szerokość 33 m.**\n\n**Weryfikacja:**\n\n\\[56^2 + 33^2 = 3136 + 1089 = 4225 = 65^2 \\checkmark\\]\n\n\\[60^2 + 25^2 = 3600 + 625 = 4225 = 65^2 \\checkmark\\]\n\nObie przekątne wynoszą dokładnie 65 m.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\ngdzie \\(c\\) to przekątna prostokąta (= przekątna boiska = 65 m). Użyte do zbudowania obu równań układu.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte do rozwiązania równania kwadratowego \\(b^2 - 8b - 825 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapisać układu jako \\(a^2 + b^2 = (a+4)^2 + (b-8)^2\\) i na tym skończyć - to tylko jedna równanie, a potrzebujemy drugiego (że przekątna = 65).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po otrzymaniu dwóch rozwiązań kwadratowego (\\(b = 33\\) i \\(b = -25\\)) koniecznie sprawdź, które jest sensowne w kontekście zadania. Szerokość musi być **dodatnia** - odrzucamy \\(b = -25\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na rozwijanie \\((b-8)^2\\) - łatwo pomylić znak i napisać \\(b^2 + 64\\) zamiast \\(b^2 - 16b + 64\\). To klasyczny błąd przy wzorze \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\).\n\n**Odpowiedź:** Pierwsza szkoła: \\(56\\) m \\(\\times\\) \\(33\\) m. Druga szkoła: \\(60\\) m \\(\\times\\) \\(25\\) m.\n\n### Sposób 1 - Układ równań z dwiema niewiadomymi\nNiech \\(a\\) = długość, \\(b\\) = szerokość boiska w pierwszej szkole. Z tw. Pitagorasa:\n\\[\\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 65^{2} \\\\ (a+4)^{2} + (b-8)^{2} = 65^{2} \\end{cases}\\]\n\n**Krok 1 - rozwinięcie drugiego równania:**\n\\[a^{2} + 8a + 16 + b^{2} - 16b + 64 = 4225.\\]\nPodstawiamy \\(a^{2}+b^{2}=4225\\):\n\\[4225 + 8a - 16b + 80 = 4225\\]\n\\[8a - 16b + 80 = 0 \\Rightarrow a - 2b + 10 = 0 \\Rightarrow a = 2b - 10.\\]\n\n**Krok 2 - podstawienie do pierwszego:**\n\\[(2b-10)^{2} + b^{2} = 4225\\]\n\\[4b^{2} - 40b + 100 + b^{2} = 4225\\]\n\\[5b^{2} - 40b - 4125 = 0 \\quad \\big|:5\\]\n\\[b^{2} - 8b - 825 = 0.\\]\n\\(\\Delta = 64 + 3300 = 3364\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 58\\).\n\\[b_{1} = \\dfrac{8-58}{2} = -25 \\text{ (odrzucamy)}, \\quad b_{2} = \\dfrac{8+58}{2} = 33.\\]\n\\[a = 2\\cdot 33 - 10 = 56.\\]\n\n**Krok 3 - wymiary drugiej szkoły:**\n\\[a' = a+4 = 60, \\quad b' = b-8 = 25.\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(56^{2}+33^{2} = 3136+1089 = 4225 = 65^{2}\\) ✓; \\(60^{2}+25^{2} = 3600+625 = 4225\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Równanie z jedną niewiadomą (tylko \\(b\\))\nZ \\(a = 2b - 10\\) podstawiamy do \\((a+4)^{2} + (b-8)^{2} = 4225\\):\n\\[(2b-6)^{2} + (b-8)^{2} = 4225\\]\n\\[4b^{2}-24b+36 + b^{2}-16b+64 = 4225\\]\n\\[5b^{2} - 40b - 4125 = 0\\]\n(jak wyżej).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie jednego z równań \\(a^{2}+b^{2}=65^{2}\\) LUB \\((a+4)^{2}+(b-8)^{2}=65^{2}\\).\n- **2 pkt:** Zapisanie układu równań.\n- **3 pkt:** Sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą (np. \\(b^{2}-8b-825=0\\)).\n- **4 pkt:** Obliczenie wymiarów pierwszego boiska z błędem rachunkowym LUB tylko dla pierwszego boiska.\n- **5 pkt:** Obliczenie wymiarów obu boisk.\n- **Uwaga:** Odgadnięcie wymiarów → \\(1\\) pkt.\n\n**Trik:** Po rozwinięciu \\((a+4)^{2}+(b-8)^{2}\\) od razu wypada \\(a^{2}+b^{2}\\), co daje zależność liniową między \\(a\\) i \\(b\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (5 pkt)
Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko
w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość
o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
13
Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (5 punktów)
Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko
w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość
o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość boiska w pierwszej szkole przez a i szerokość przez b.
Wówczas w drugiej szkole długość boiska jest równa
4
a +
, szerokość
8
b -.
Otrzymujemy układ równań
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
65
4
8
65
a
b
a
b
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Przekształcamy układ do postaci
2
2
2
2
2
2
65
8
16
16
64
65
a
b
a
a
b
b
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a następnie
2
2
2
2
2
2
65
8
16
80
65
a
b
a
b
a
b
⎧
⎪⎨
⎪⎩
skąd otrzymujemy układ
2
2
2
65
8
16
80
0
a
b
a
b
⎧
⎨
⎩
czyli
2
2
2
65
2
10
a
b
a
b
⎧
⎨=
⎩
Podstawiamy wyznaczoną wartość a do pierwszego równania i rozwiązujemy równanie
kwadratowe (
)
2
2
2
2
10
65
b
b
Po uporządkowaniu otrzymujemy:
2
8
825
0
b
b
,
3364
Δ =
,
58
Δ =
Rozwiązaniami tego równania są liczby
33
b =
oraz
25
b = -
. Odrzucamy ujemne
rozwiązanie i obliczamy
56
a =
Zatem boisko w pierwszej szkole ma 33m szerokości i 56 metrów długości, a więc boisko
w drugiej szkole ma 25 m szerokości i 60 m długości.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie jednego z równań
2
2
2
65
a
b
lub (
)
(
)
2
2
2
4
8
65
a
b
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
12
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b, np.:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
65
4
8
65
a
b
a
b
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą a lub b w postaci: (
)
2
2
2
2
10
65
b
b
lub
2
8
825
0
b
b
lub
2
2
1
5
65
2
a
a
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
lub
2
1
840
0
4 a
a
Uwaga:
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania zadania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
• zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole i na tym poprzestanie lub błędnie
obliczy wymiary boiska w drugiej szkole
albo
• zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole z błędem rachunkowym
i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy wymiary boiska w drugiej szkole.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie wymiarów boisk w obu szkołach:
Boisko w pierwszej szkole ma 33m szerokości i 56 metrów długości, natomiast boisko
w drugiej szkole ma 25 m szerokości i 60 m długości.
Uwaga:
Jeśli zdający odgadnie poprawne wymiary boisk, to otrzymuje 1 punkt.
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
13

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Boisko pierwsze: długość \\(56\\) m, szerokość \\(33\\) m.
Boisko drugie: długość \\(60\\) m, szerokość \\(25\\) m.

\n

Sposób 1 - Układ równań z twierdzeniem Pitagorasa

\n

Wprowadzamy oznaczenia. Niech boisko pierwszej szkoły ma długość \\(a\\) [m] i szerokość \\(b\\) [m]. Wtedy boisko drugiej szkoły ma długość \\(a+4\\) [m] i szerokość \\(b-8\\) [m].

\n

Obie przekątne mają długość 65 m, więc dla każdego boiska stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

\n

\\[a^2 + b^2 = 65^2 = 4225 \\tag{1}\\]

\n

\\[(a+4)^2 + (b-8)^2 = 65^2 = 4225 \\tag{2}\\]

\n

Rozwijamy równanie (2):

\n

\\[a^2 + 8a + 16 + b^2 - 16b + 64 = 4225\\]

\n

Korzystamy z równania (1) - wiemy, że \\(a^2 + b^2 = 4225\\), więc podstawiamy:

\n

\\[4225 + 8a - 16b + 80 = 4225\\]

\n

\\[8a - 16b + 80 = 0\\]

\n

\\[8a - 16b = -80 \\quad \\div 8\\]

\n

\\[a - 2b = -10\\]

\n

\\[\\boxed{a = 2b - 10} \\tag{3}\\]

\n

Podstawiamy (3) do równania (1):

\n

\\[(2b-10)^2 + b^2 = 4225\\]

\n

\\[4b^2 - 40b + 100 + b^2 = 4225\\]

\n

\\[5b^2 - 40b + 100 = 4225\\]

\n

\\[5b^2 - 40b - 4125 = 0 \\quad \\div 5\\]

\n

\\[b^2 - 8b - 825 = 0\\]

\n

Liczymy wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-825) = 64 + 3300 = 3364 = 58^2\\]

\n

Pierwiastki:

\n

\\[b = \\frac{8 \\pm 58}{2}\\]

\n

\\[b_1 = \\frac{8 + 58}{2} = \\frac{66}{2} = 33, \\qquad b_2 = \\frac{8 - 58}{2} = \\frac{-50}{2} = -25\\]

\n

Odrzucamy \\(b_2 = -25\\), bo szerokość musi być dodatnia.

\n

Zatem \\(b = 33\\) m, a z równania (3):

\n

\\[a = 2 \\cdot 33 - 10 = 66 - 10 = 56 \\text{ m}\\]

\n

Wymiary boisk:

\n\n

Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (inna zmienna)

\n

Niech boisko pierwsze ma wymiary \\(x \\times y\\). Z treści wiemy od razu, że boisko drugie to \\((x+4) \\times (y-8)\\). Zamiast podstawiać \\(a = 2b-10\\), możemy wyjść od \\(x\\) i wyrazić \\(y\\) z równania liniowego.

\n

Z kroku eliminacji (tak samo jak wyżej) dostajemy:

\n

\\[x = 2y - 10\\]

\n

Zamiast rozwiązywać równanie kwadratowe w \\(y\\), możemy inaczej - wyrażamy \\(y\\) z \\(x\\):

\n

\\[y = \\frac{x + 10}{2}\\]

\n

i podstawiamy do \\(x^2 + y^2 = 4225\\):

\n

\\[x^2 + \\left(\\frac{x+10}{2}\\right)^2 = 4225\\]

\n

\\[x^2 + \\frac{x^2 + 20x + 100}{4} = 4225 \\quad \\cdot 4\\]

\n

\\[4x^2 + x^2 + 20x + 100 = 16900\\]

\n

\\[5x^2 + 20x - 16800 = 0 \\quad \\div 5\\]

\n

\\[x^2 + 4x - 3360 = 0\\]

\n

\\[\\Delta = 16 + 4 \\cdot 3360 = 16 + 13440 = 13456 = 116^2\\]

\n

\\[x = \\frac{-4 + 116}{2} = \\frac{112}{2} = 56\\]

\n

(odrzucamy ujemny pierwiastek \\(x = -60\\))

\n

\\[y = \\frac{56 + 10}{2} = \\frac{66}{2} = 33\\]

\n

Ten sam wynik: długość 56 m, szerokość 33 m.

\n

Weryfikacja:

\n

\\[56^2 + 33^2 = 3136 + 1089 = 4225 = 65^2 \\checkmark\\]

\n

\\[60^2 + 25^2 = 3600 + 625 = 4225 = 65^2 \\checkmark\\]

\n

Obie przekątne wynoszą dokładnie 65 m.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
gdzie \\(c\\) to przekątna prostokąta (= przekątna boiska = 65 m). Użyte do zbudowania obu równań układu.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyte do rozwiązania równania kwadratowego \\(b^2 - 8b - 825 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno zapisać układu jako \\(a^2 + b^2 = (a+4)^2 + (b-8)^2\\) i na tym skończyć - to tylko jedna równanie, a potrzebujemy drugiego (że przekątna = 65).
\n
⚠️ Uwaga: Po otrzymaniu dwóch rozwiązań kwadratowego (\\(b = 33\\) i \\(b = -25\\)) koniecznie sprawdź, które jest sensowne w kontekście zadania. Szerokość musi być dodatnia - odrzucamy \\(b = -25\\).
\n
⚠️ Uwaga: Uważaj na rozwijanie \\((b-8)^2\\) - łatwo pomylić znak i napisać \\(b^2 + 64\\) zamiast \\(b^2 - 16b + 64\\). To klasyczny błąd przy wzorze \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\).
\n

Odpowiedź: Pierwsza szkoła: \\(56\\) m \\(\\times\\) \\(33\\) m. Druga szkoła: \\(60\\) m \\(\\times\\) \\(25\\) m.

\n
Sposób 1 - Układ równań z dwiema niewiadomymi
\n

Niech \\(a\\) = długość, \\(b\\) = szerokość boiska w pierwszej szkole. Z tw. Pitagorasa:
\\[\\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 65^{2} \\\\ (a+4)^{2} + (b-8)^{2} = 65^{2} \\end{cases}\\]

\n

Krok 1 - rozwinięcie drugiego równania:
\\[a^{2} + 8a + 16 + b^{2} - 16b + 64 = 4225.\\]
Podstawiamy \\(a^{2}+b^{2}=4225\\):
\\[4225 + 8a - 16b + 80 = 4225\\]
\\[8a - 16b + 80 = 0 \\Rightarrow a - 2b + 10 = 0 \\Rightarrow a = 2b - 10.\\]

\n

Krok 2 - podstawienie do pierwszego:
\\[(2b-10)^{2} + b^{2} = 4225\\]
\\[4b^{2} - 40b + 100 + b^{2} = 4225\\]
\\[5b^{2} - 40b - 4125 = 0 \\quad \\big|:5\\]
\\[b^{2} - 8b - 825 = 0.\\]
\\(\\Delta = 64 + 3300 = 3364\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 58\\).
\\[b_{1} = \\dfrac{8-58}{2} = -25 \\text{ (odrzucamy)}, \\quad b_{2} = \\dfrac{8+58}{2} = 33.\\]
\\[a = 2\\cdot 33 - 10 = 56.\\]

\n

Krok 3 - wymiary drugiej szkoły:
\\[a' = a+4 = 60, \\quad b' = b-8 = 25.\\]

\n

Sprawdzenie: \\(56^{2}+33^{2} = 3136+1089 = 4225 = 65^{2}\\) ✓; \\(60^{2}+25^{2} = 3600+625 = 4225\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Równanie z jedną niewiadomą (tylko \\(b\\))
\n

Z \\(a = 2b - 10\\) podstawiamy do \\((a+4)^{2} + (b-8)^{2} = 4225\\):
\\[(2b-6)^{2} + (b-8)^{2} = 4225\\]
\\[4b^{2}-24b+36 + b^{2}-16b+64 = 4225\\]
\\[5b^{2} - 40b - 4125 = 0\\]
(jak wyżej).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Po rozwinięciu \\((a+4)^{2}+(b-8)^{2}\\) od razu wypada \\(a^{2}+b^{2}\\), co daje zależność liniową między \\(a\\) i \\(b\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

I: $33\\text{ m}$ na $56\\text{ m}$, II: $25\\text{ m}$ na $60\\text{ m}$

"}]}