{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nIle jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:\n(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,\n(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,\n(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,\n(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n14\nIle jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki: (1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste, (2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, (3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, (4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (4 punkty)\nIle jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:\n(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,\n(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,\n(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,\n(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.\nRozwiązanie\nTrzy ostatnie cyfry są parzyste i uporządkowane malejąco. Mamy więc 10 możliwości\nustawienia tych cyfr tak, by spełnione były warunki (1), (2) i (3):\n4\n2\n0\n6\n2\n0\n8\n2\n0\n6\n4\n0\n8\n4\n0\n8\n6\n0\n6\n4\n2\n8\n4\n2\n8\n6\n2\n8\n6\n4\nPierwszą cyfrą liczby może być dowolna spośród cyfr: 1, 2,…, 8, a drugą dowolna spośród\ncyfr: 0,1,2,…,8.\nMamy więc 8 9 10\n720\n⋅⋅\nmożliwości utworzenia liczb spełniających podane warunki.\nUwaga: Trzy wybrane cyfry parzyste można ustawić w porządku malejącym dokładnie na\njeden sposób. Tak więc liczba tych możliwych jest równa 5\n10\n3\n⎛⎞=\n⎜⎟\n⎝⎠\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nPierwszy z nich polega na obliczeniu\n- liczby możliwości ustawienia trzech cyfr parzystych spełniających warunki (1), (2) i (3);\ntych możliwości jest 10.\n- liczby możliwości wyboru pierwszej cyfry liczby pięciocyfrowej; tych możliwości jest 8.\n- liczby możliwości wyboru drugiej cyfry liczby pięciocyfrowej; tych możliwości jest 9.\nZa obliczenie każdej z tych liczb, zdający otrzymuje 1 punkt.\nDrugi etap polega na wykorzystaniu reguły mnożenia i stwierdzeniu, że liczb\npięciocyfrowych, spełniających jednocześnie warunki (1), (2), (3) i (4) jest 720. Za tę część\nzdający otrzymuje 1 punkt.\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n14","solution":"## Poprawna odpowiedź: **720**\n\n## Sposób 1 - Niezależny wybór cyfr\n\nZapiszmy liczbę pięciocyfrową jako \\(D_1 D_2 D_3 D_4 D_5\\), gdzie:\n- \\(D_1\\) = cyfra dziesięciotysięcy\n- \\(D_2\\) = cyfra tysięcy\n- \\(D_3\\) = cyfra **setek**\n- \\(D_4\\) = cyfra **dziesiątek**\n- \\(D_5\\) = cyfra **jedności**\n\n### Krok 1 - Cyfry \\(D_3, D_4, D_5\\) (regulowane przez warunki 1-3)\n\nCyfry setek, dziesiątek i jedności muszą być **parzyste** i spełniać \\(D_3 > D_4 > D_5\\).\n\nDostępne cyfry parzyste: \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) - cyfra 9 jest nieparzysta, więc warunek (4) nie ogranicza tego zbioru.\n\nMusimy wybrać **3 różne** cyfry z tego zbioru i ustawić je w ściśle malejącym porządku. Każdy wybór 3 elementów daje dokładnie **jedno** ustawienie spełniające \\(D_3 > D_4 > D_5\\).\n\nLiczba takich wyborów:\n\\[\\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3! \\cdot 2!} = 10\\]\n\nKonkretne kombinacje \\((D_3, D_4, D_5)\\):\n\n| Trójka cyfr | Ustawienie |\n| \\(\\{8,6,4\\}\\) | \\(8 > 6 > 4\\) |\n| \\(\\{8,6,2\\}\\) | \\(8 > 6 > 2\\) |\n| \\(\\{8,6,0\\}\\) | \\(8 > 6 > 0\\) |\n| \\(\\{8,4,2\\}\\) | \\(8 > 4 > 2\\) |\n| \\(\\{8,4,0\\}\\) | \\(8 > 4 > 0\\) |\n| \\(\\{8,2,0\\}\\) | \\(8 > 2 > 0\\) |\n| \\(\\{6,4,2\\}\\) | \\(6 > 4 > 2\\) |\n| \\(\\{6,4,0\\}\\) | \\(6 > 4 > 0\\) |\n| \\(\\{6,2,0\\}\\) | \\(6 > 2 > 0\\) |\n| \\(\\{4,2,0\\}\\) | \\(4 > 2 > 0\\) |\n\nRazem: **10 możliwości**.\n\n### Krok 2 - Cyfra \\(D_1\\) (dziesięciotysięcy)\n\n\\(D_1 \\neq 0\\) (bo liczba musi być pięciocyfrowa) i \\(D_1 \\neq 9\\) (warunek 4).\n\nDostępne: \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) → **8 możliwości**.\n\n### Krok 3 - Cyfra \\(D_2\\) (tysięcy)\n\nBrak dodatkowych warunków poza \\(D_2 \\neq 9\\).\n\nDostępne: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) → **9 możliwości**.\n\n### Krok 4 - Wynik\n\nWszystkie wybory są niezależne:\n\\[\\text{Liczba liczb} = 8 \\times 9 \\times 10 = \\boxed{720}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie przez wartość \\(D_4\\)\n\nZamiast kombinatoryki, rozkładamy po wartości cyfry dziesiątek \\(D_4\\).\n\n**Dla każdego \\(D_4\\)** liczymy, ile jest par \\((D_3, D_5)\\) takich, że \\(D_3 > D_4 > D_5\\) (wszystkie parzyste):\n\n| \\(D_4\\) | Cyfry \\(> D_4\\) parzyste (dla \\(D_3\\)) | Cyfry \\(< D_4\\) parzyste (dla \\(D_5\\)) | Pary \\((D_3, D_5)\\) |\n| 0 | \\{2,4,6,8\\} → 4 | \\{\\} → 0 | \\(4 \\times 0 = 0\\) |\n| 2 | \\{4,6,8\\} → 3 | \\{0\\} → 1 | \\(3 \\times 1 = 3\\) |\n| 4 | \\{6,8\\} → 2 | \\{0,2\\} → 2 | \\(2 \\times 2 = 4\\) |\n| 6 | \\{8\\} → 1 | \\{0,2,4\\} → 3 | \\(1 \\times 3 = 3\\) |\n| 8 | \\{\\} → 0 | \\{0,2,4,6\\} → 4 | \\(0 \\times 4 = 0\\) |\n\nSuma możliwości dla \\((D_3, D_4, D_5)\\):\n\\[0 + 3 + 4 + 3 + 0 = 10\\]\n\nTo zgadza się z wynikiem Sposobu 1! Dalej:\n\\[8 \\times 9 \\times 10 = \\boxed{720}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - kombinacje:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy \\(\\binom{5}{3} = 10\\) do zliczenia sposobów wyboru 3 cyfr parzystych z 5 dostępnych.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(D_1\\) (pierwsza cyfra) **nie może być zerem** - to by dało liczbę czterocyfrową. Dlatego mamy 8, a nie 9 możliwości dla \\(D_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „cyfra 9 nie występuje\" **nie ogranicza** cyfr parzystych \\(D_3, D_4, D_5\\) (bo 9 jest nieparzysta!), ale **ogranicza** \\(D_1\\) i \\(D_2\\) - każda z nich nie może wynosić 9.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy trick - skoro \\(D_3 > D_4 > D_5\\) i wszystkie parzyste, to cyfry muszą być **wzajemnie różne**. Wystarczy wybrać **kombinację** (bez powtórzeń), a nie permutację - bo kolejność jest wymuszona (malejąco).\n\n**Odpowiedź:** \\(720\\) liczb.\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}d_{5}}\\), gdzie \\(d_{1}\\) - dziesiątki tysięcy, , \\(d_{5}\\) - jedności. Z warunków:\n- \\(d_{3}, d_{4}, d_{5}\\) parzyste (z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\)).\n- \\(d_{3} > d_{4} > d_{5}\\).\n- Nie występuje cyfra \\(9\\).\n- \\(d_{1}\\in\\{1,2,\\ldots,8\\}\\) (nie \\(0\\) ani \\(9\\)).\n- \\(d_{2}\\in\\{0,1,\\ldots,8\\}\\) (nie \\(9\\)).\n\n**Krok 1 - wybór \\((d_{3}, d_{4}, d_{5})\\):**\nWybieramy \\(3\\) parzyste cyfry ze zbioru \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) (5 elementów), uporządkowane malejąco. Liczba wyborów:\n\\[\\binom{5}{3} = 10.\\]\n\n**Krok 2 - wybór \\(d_{1}\\):** \\(8\\) możliwości (\\(1, 2, , 8\\)).\n**Krok 3 - wybór \\(d_{2}\\):** \\(9\\) możliwości (\\(0, 1, , 8\\)).\n\nZ reguły mnożenia:\n\\[10\\cdot 8\\cdot 9 = 720.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisanie trójek \\((d_{3}, d_{4}, d_{5})\\)\nWszystkie malejące trójki z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\):\n\\[(4,2,0), (6,2,0), (8,2,0), (6,4,0), (8,4,0),\\]\n\\[(8,6,0), (6,4,2), (8,4,2), (8,6,2), (8,6,4).\\]\nJest ich \\(10\\).\n\nPozostałe cyfry: \\(d_{1}\\) z \\(8\\) możliwości, \\(d_{2}\\) z \\(9\\). Razem \\(10\\cdot 8\\cdot 9 = 720\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n**Pierwszy etap:**\n- \\(1\\) pkt za obliczenie liczby możliwości wyboru \\(d_{3}, d_{4}, d_{5}\\): \\(10\\).\n- \\(1\\) pkt za obliczenie liczby możliwości wyboru \\(d_{1}\\): \\(8\\).\n- \\(1\\) pkt za obliczenie liczby możliwości wyboru \\(d_{2}\\): \\(9\\).\n\n**Drugi etap:**\n- \\(1\\) pkt za zastosowanie reguły mnożenia i otrzymanie wyniku \\(720\\).\n\n**Trik:** Gdy kolejne cyfry są uporządkowane malejąco (ściśle), wybieramy zbiór cyfr (bez powtórzeń), bo każdy zbiór \\(\\{a, b, c\\}\\) daje dokładnie jedno uporządkowanie malejące. Wybieramy bez powtórzeń → \\(\\binom{5}{3}\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:
(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,
(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,
(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,
(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
14
Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki: (1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste, (2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, (3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, (4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (4 punkty)
Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:
(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,
(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,
(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,
(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.
Rozwiązanie
Trzy ostatnie cyfry są parzyste i uporządkowane malejąco. Mamy więc 10 możliwości
ustawienia tych cyfr tak, by spełnione były warunki (1), (2) i (3):
4
2
0
6
2
0
8
2
0
6
4
0
8
4
0
8
6
0
6
4
2
8
4
2
8
6
2
8
6
4
Pierwszą cyfrą liczby może być dowolna spośród cyfr: 1, 2,…, 8, a drugą dowolna spośród
cyfr: 0,1,2,…,8.
Mamy więc 8 9 10
720
⋅⋅
możliwości utworzenia liczb spełniających podane warunki.
Uwaga: Trzy wybrane cyfry parzyste można ustawić w porządku malejącym dokładnie na
jeden sposób. Tak więc liczba tych możliwych jest równa 5
10
3
⎛⎞=
⎜⎟
⎝⎠
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.
Pierwszy z nich polega na obliczeniu

\n\n

tych możliwości jest 10.

\n\n

Za obliczenie każdej z tych liczb, zdający otrzymuje 1 punkt.
Drugi etap polega na wykorzystaniu reguły mnożenia i stwierdzeniu, że liczb
pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie warunki (1), (2), (3) i (4) jest 720. Za tę część
zdający otrzymuje 1 punkt.
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
14

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 720

\n

Sposób 1 - Niezależny wybór cyfr

\n

Zapiszmy liczbę pięciocyfrową jako \\(D_1 D_2 D_3 D_4 D_5\\), gdzie:

\n\n
Krok 1 - Cyfry \\(D_3, D_4, D_5\\) (regulowane przez warunki 1-3)
\n

Cyfry setek, dziesiątek i jedności muszą być parzyste i spełniać \\(D_3 > D_4 > D_5\\).

\n

Dostępne cyfry parzyste: \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) - cyfra 9 jest nieparzysta, więc warunek (4) nie ogranicza tego zbioru.

\n

Musimy wybrać 3 różne cyfry z tego zbioru i ustawić je w ściśle malejącym porządku. Każdy wybór 3 elementów daje dokładnie jedno ustawienie spełniające \\(D_3 > D_4 > D_5\\).

\n

Liczba takich wyborów:
\\[\\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3! \\cdot 2!} = 10\\]

\n

Konkretne kombinacje \\((D_3, D_4, D_5)\\):

\n

| Trójka cyfr | Ustawienie |
| \\(\\{8,6,4\\}\\) | \\(8 > 6 > 4\\) |
| \\(\\{8,6,2\\}\\) | \\(8 > 6 > 2\\) |
| \\(\\{8,6,0\\}\\) | \\(8 > 6 > 0\\) |
| \\(\\{8,4,2\\}\\) | \\(8 > 4 > 2\\) |
| \\(\\{8,4,0\\}\\) | \\(8 > 4 > 0\\) |
| \\(\\{8,2,0\\}\\) | \\(8 > 2 > 0\\) |
| \\(\\{6,4,2\\}\\) | \\(6 > 4 > 2\\) |
| \\(\\{6,4,0\\}\\) | \\(6 > 4 > 0\\) |
| \\(\\{6,2,0\\}\\) | \\(6 > 2 > 0\\) |
| \\(\\{4,2,0\\}\\) | \\(4 > 2 > 0\\) |

\n

Razem: 10 możliwości.

\n
Krok 2 - Cyfra \\(D_1\\) (dziesięciotysięcy)
\n

\\(D_1 \\neq 0\\) (bo liczba musi być pięciocyfrowa) i \\(D_1 \\neq 9\\) (warunek 4).

\n

Dostępne: \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) → 8 możliwości.

\n
Krok 3 - Cyfra \\(D_2\\) (tysięcy)
\n

Brak dodatkowych warunków poza \\(D_2 \\neq 9\\).

\n

Dostępne: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) → 9 możliwości.

\n
Krok 4 - Wynik
\n

Wszystkie wybory są niezależne:
\\[\\text{Liczba liczb} = 8 \\times 9 \\times 10 = \\boxed{720}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie przez wartość \\(D_4\\)

\n

Zamiast kombinatoryki, rozkładamy po wartości cyfry dziesiątek \\(D_4\\).

\n

Dla każdego \\(D_4\\) liczymy, ile jest par \\((D_3, D_5)\\) takich, że \\(D_3 > D_4 > D_5\\) (wszystkie parzyste):

\n

| \\(D_4\\) | Cyfry \\(> D_4\\) parzyste (dla \\(D_3\\)) | Cyfry \\(< D_4\\) parzyste (dla \\(D_5\\)) | Pary \\((D_3, D_5)\\) |
| 0 | \\{2,4,6,8\\} → 4 | \\{\\} → 0 | \\(4 \\times 0 = 0\\) |
| 2 | \\{4,6,8\\} → 3 | \\{0\\} → 1 | \\(3 \\times 1 = 3\\) |
| 4 | \\{6,8\\} → 2 | \\{0,2\\} → 2 | \\(2 \\times 2 = 4\\) |
| 6 | \\{8\\} → 1 | \\{0,2,4\\} → 3 | \\(1 \\times 3 = 3\\) |
| 8 | \\{\\} → 0 | \\{0,2,4,6\\} → 4 | \\(0 \\times 4 = 0\\) |

\n

Suma możliwości dla \\((D_3, D_4, D_5)\\):
\\[0 + 3 + 4 + 3 + 0 = 10\\]

\n

To zgadza się z wynikiem Sposobu 1! Dalej:
\\[8 \\times 9 \\times 10 = \\boxed{720}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - kombinacje:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy \\(\\binom{5}{3} = 10\\) do zliczenia sposobów wyboru 3 cyfr parzystych z 5 dostępnych.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Cyfra \\(D_1\\) (pierwsza cyfra) nie może być zerem - to by dało liczbę czterocyfrową. Dlatego mamy 8, a nie 9 możliwości dla \\(D_1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Warunek „cyfra 9 nie występuje" nie ogranicza cyfr parzystych \\(D_3, D_4, D_5\\) (bo 9 jest nieparzysta!), ale ogranicza \\(D_1\\) i \\(D_2\\) - każda z nich nie może wynosić 9.
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowy trick - skoro \\(D_3 > D_4 > D_5\\) i wszystkie parzyste, to cyfry muszą być wzajemnie różne. Wystarczy wybrać kombinację (bez powtórzeń), a nie permutację - bo kolejność jest wymuszona (malejąco).
\n

Odpowiedź: \\(720\\) liczb.

\n
Sposób 1 - Reguła mnożenia
\n

Liczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}d_{5}}\\), gdzie \\(d_{1}\\) - dziesiątki tysięcy, , \\(d_{5}\\) - jedności. Z warunków:

\n\n

Krok 1 - wybór \\((d_{3}, d_{4}, d_{5})\\):
Wybieramy \\(3\\) parzyste cyfry ze zbioru \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) (5 elementów), uporządkowane malejąco. Liczba wyborów:
\\[\\binom{5}{3} = 10.\\]

\n

Krok 2 - wybór \\(d_{1}\\): \\(8\\) możliwości (\\(1, 2, , 8\\)).
Krok 3 - wybór \\(d_{2}\\): \\(9\\) możliwości (\\(0, 1, , 8\\)).

\n

Z reguły mnożenia:
\\[10\\cdot 8\\cdot 9 = 720.\\]

\n
Sposób 2 - Wypisanie trójek \\((d_{3}, d_{4}, d_{5})\\)
\n

Wszystkie malejące trójki z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\):
\\[(4,2,0), (6,2,0), (8,2,0), (6,4,0), (8,4,0),\\]
\\[(8,6,0), (6,4,2), (8,4,2), (8,6,2), (8,6,4).\\]
Jest ich \\(10\\).

\n

Pozostałe cyfry: \\(d_{1}\\) z \\(8\\) możliwości, \\(d_{2}\\) z \\(9\\). Razem \\(10\\cdot 8\\cdot 9 = 720\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n

Pierwszy etap:

\n\n

Drugi etap:

\n\n

Trik: Gdy kolejne cyfry są uporządkowane malejąco (ściśle), wybieramy zbiór cyfr (bez powtórzeń), bo każdy zbiór \\(\\{a, b, c\\}\\) daje dokładnie jedno uporządkowanie malejące. Wybieramy bez powtórzeń → \\(\\binom{5}{3}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$720$

"}]}