Zadanie 33. (4 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością
tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości:
6
AW =
,
9
BW =
,
7
CW =
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
A
B
C
D
W
Poziom podstawowy
15
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
16
BRUDNOPIS
MMA-Pą_ąP-114
PESEL
WYPEŁNIA ZDAJĄCY
WYPEŁNIA EGZAMINATOR
Suma za zadania otwarte
0
17
25
26
27
18
19
20
21
22
23
1
9
2
10
11
3
4
12
5
13
6
14
7
15
8
16
24
KOD EGZAMINATORA
Czytelny podpis egzaminatora
KOD ZDAJĄCEGO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Odpowiedzi
Nr
zad.
Miejsce na naklejkę
z nr PESEL
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości: |AW|=6, |BW|=9, |CW|=7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 33. (4 punkty)
Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością
tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości:
6
AW =
,
9
BW =
,
7
CW =
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
I sposób rozwiązania
Oznaczmy długości krawędzi ostrosłupa AD
a
, AB
b
i DW
h
Trójkąty BAW i BCW są prostokątne, więc korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa
otrzymujemy równania
2
49
81
a +
i
2
36
81
b +
Stąd otrzymujemy
4 2
a =
oraz
3 5
b =
Wysokość ostrosłupa obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa np. dla trójkąta ADW.
(
)
2
2
6
4 2
36
32
2
h =
Objętość ostrosłupa jest więc równa
1
1 4 2 3 5 2
8 10
3
3
V
a b h
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Wykorzystanie faktu, że trójkąty BAW i BCW są prostokątne i zapisanie przynajmniej
jednego równania, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa, np.:
2
49
81
a +
albo
2
36
81
b +
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie długości obu krawędzi podstawy ostrosłupa:
4 2
a =
i
3 5
b =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie długości wszystkich odcinków potrzebnych do obliczenia objętości ostrosłupa:
2
h =
,
4 2
a =
,
3 5
b =
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie objętości ostrosłupa:
8 10
V =
A
B
C
D
W
6
9
7
h
a
b
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
15
II sposób rozwiązania
Oznaczmy długości krawędzi ostrosłupa AD
a
, AB
b
i DW
h
Trójkąty ADW, CDW, BDW i BAD są prostokątne, więc korzystając czterokrotnie
z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy układ równań:
2
2
2
2
2
2
2
36
49
81
a
h
b
h
a
b
h
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Dodajemy pierwsze i drugie równania stronami i podstawiamy
2
2
2
85
2
a
b
h
do trzeciego
równania. Otrzymamy
2
4
h =
, więc
2
h =
Podstawiając
2
h =
do pozostałych równań, obliczamy
4 2
a =
oraz
3 5
b =
Objętość ostrosłupa jest więc równa
1
1 4 2 3 5 2
8 10
3
3
V
a b h
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zapisanie układu równań, z którego można obliczyć długości wszystkich odcinków
potrzebnych do obliczenia objętości ostrosłupa, np.:
2
2
2
2
2
2
2
36
49
81
a
h
b
h
a
b
h
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie z powyższego układu jednej z niewiadomych, np.:
2
h =
albo
4 2
a =
albo
3 5
b =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie długości wszystkich odcinków potrzebnych do obliczenia objętości ostrosłupa:
2
h =
,
4 2
a =
,
3 5
b =
A
B
C
D
W
6
9
7
h
a
b
Schemat oceniania - sierpień 2011
Poziom podstawowy
16
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie objętości ostrosłupa:
8 10
V =
Uwaga:
Jeśli zdający błędnie zaznaczy na rysunku długości krawędzi (zamieni 9 z 6 lub 9 z 7) albo
błędnie zinterpretuje treść zadania pisząc np.:
2
2
2
9
7
a +
, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
Klucz: Skoro \\(DW\\) jest wysokością ostrosłupa, to \\(W\\) leży prostopadle nad \\(D\\). Czyli \\(DW \\perp\\) płaszczyzna \\(ABCD\\).
\nUstawiam układ współrzędnych z \\(D\\) w początku:
\n\\[D = (0, 0, 0), \\quad A = (a, 0, 0), \\quad B = (a, b, 0), \\quad C = (0, b, 0), \\quad W = (0, 0, h)\\]
\ngdzie \\(a = |AD|\\), \\(b = |DC|\\), \\(h = |DW|\\) (szukane).
\nObliczam długości krawędzi bocznych ze wzoru na odległość:
\n\\[|AW|^2 = a^2 + h^2 = 36 \\tag{1}\\]
\\[|BW|^2 = a^2 + b^2 + h^2 = 81 \\tag{2}\\]
\\[|CW|^2 = b^2 + h^2 = 49 \\tag{3}\\]
Wyznaczam \\(a^2\\), \\(b^2\\), \\(h^2\\):
\n\\[(2) - (3): \\quad a^2 = 81 - 49 = 32\\]
\\[(2) - (1): \\quad b^2 = 81 - 36 = 45\\]
\\[(1): \\quad h^2 = 36 - 32 = 4 \\implies \\mathbf{h = 2}\\]
Sprawdzam zgodność z (3): \\(b^2 + h^2 = 45 + 4 = 49\\) ✓
\nPole podstawy (prostokąt \\(ABCD\\)):
\n\\[P = a \\cdot b = \\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{45} = \\sqrt{32 \\cdot 45} = \\sqrt{1440} = 12\\sqrt{10}\\]
\nObjętość ostrosłupa:
\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 12\\sqrt{10} \\cdot 2 = \\boxed{8\\sqrt{10}}\\]
\nObserwacja bez współrzędnych: Ponieważ \\(DW \\perp\\) podstawa, to \\(DW \\perp DA\\), \\(DW \\perp DC\\).
\nZ trójkąta prostokątnego \\(ADW\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):
\\[|AW|^2 = |AD|^2 + |DW|^2 \\implies 36 = a^2 + h^2 \\tag{1}\\]
Z trójkąta prostokątnego \\(CDW\\):
\\[|CW|^2 = |CD|^2 + |DW|^2 \\implies 49 = b^2 + h^2 \\tag{3}\\]
Z trójkąta \\(ABW\\): \\(BW\\) opiera się na przekątnej \\(BD\\) podstawy. Z Pitagorasa w podstawie:
\\[|BD|^2 = a^2 + b^2\\]
Z trójkąta prostokątnego \\(BDW\\):
\\[|BW|^2 = |BD|^2 + |DW|^2 = a^2 + b^2 + h^2 \\implies 81 = a^2 + b^2 + h^2 \\tag{2}\\]
Dalej identycznie jak w Sposobie 1:
\\[a^2 = 32, \\quad b^2 = 45, \\quad h^2 = 4\\]
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{45} \\cdot 2 = \\frac{1}{3} \\cdot 12\\sqrt{10} \\cdot 2 = 8\\sqrt{10}\\]
Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzór na objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
gdzie \\(P_p\\) = pole podstawy, \\(h\\) = wysokość. To centralny wzór całego zadania.
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy go trzykrotnie - do wyznaczenia \\(|AW|^2\\), \\(|CW|^2\\) i \\(|BW|^2\\) jako sum kwadratów odpowiednich odcinków prostopadłych do siebie.
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj, że \\(W\\) leży nad środkiem prostokąta! Tutaj \\(W\\) leży nad wierzchołkiem \\(D\\), bo \\(DW\\) jest wysokością - to kluczowe do prawidłowego ułożenia równań.\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(|BW|\\) trzeba pamiętać, że \\(B\\) jest najdalej od \\(D\\) - na przekątnej prostokąta, więc \\(|BW|^2 = a^2 + b^2 + h^2\\), nie samo \\(b^2 + h^2\\).\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{45} = \\sqrt{1440}\\) - upraszczaj ostrożnie: \\(\\sqrt{1440} = \\sqrt{144 \\cdot 10} = 12\\sqrt{10}\\). Nie zostawiaj wyniku jako \\(\\sqrt{1440}\\).\n
Odpowiedź: \\(V = 8\\sqrt{10}\\).
\nOznaczmy: \\(|AD| = a\\), \\(|AB| = b\\), \\(|DW| = h\\). Prostokąt \\(ABCD\\) + wysokość \\(DW\\) → osiem trójkątów prostokątnych.
\nKrok 1 - trójkąt \\(BAW\\) prostokątny (\\(WA\\) jest przeciwprostokątną, \\(AB\\) i \\(BW\\) - przyprostokątnymi):
W istocie: \\(AW\\) łączy \\(A\\) z \\(W\\) nad \\(D\\). Wektor \\(AW\\): pozioma część \\(=AD\\) (długość \\(a\\)), pionowa część \\(= h\\).
\\[|AW|^{2} = a^{2} + h^{2} = 36.\\]
Krok 2 - trójkąt \\(BDW\\) prostokątny (\\(DW = h\\), \\(DB\\) - przekątna podstawy):
\\[|BW|^{2} = |BD|^{2} + h^{2} = a^{2} + b^{2} + h^{2} = 81.\\]
Krok 3 - trójkąt \\(CDW\\) prostokątny:
\\[|CW|^{2} = |CD|^{2} + h^{2} = b^{2} + h^{2} = 49.\\]
Krok 4 - układ trzech równań:
\\[\\begin{cases} a^{2} + h^{2} = 36 \\\\ b^{2} + h^{2} = 49 \\\\ a^{2} + b^{2} + h^{2} = 81 \\end{cases}\\]
Od trzeciego równania odejmujemy pierwsze: \\(b^{2} = 45\\); od trzeciego odejmujemy drugie: \\(a^{2} = 32\\).
\nZ pierwszego: \\(h^{2} = 36 - 32 = 4 \\Rightarrow h = 2\\).
\nStąd \\(a = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\), \\(b = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\).
\nKrok 5 - objętość:
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_{\\text{podst.}}\\cdot h = \\dfrac{1}{3}\\cdot (a\\cdot b)\\cdot h\\]
\\[= \\dfrac{1}{3}\\cdot 4\\sqrt{2}\\cdot 3\\sqrt{5}\\cdot 2 = \\dfrac{1}{3}\\cdot 24\\sqrt{10} = 8\\sqrt{10}.\\]
\\(ADW\\), \\(CDW\\), \\(BDW\\) i \\(BAD\\) są prostokątne. Z Pitagorasa:
\\[\\begin{cases} a^{2} + h^{2} = 36 \\\\ b^{2} + h^{2} = 49 \\\\ a^{2} + b^{2} + h^{2} = 81 \\end{cases}\\]
Dodajemy pierwsze i drugie: \\(a^{2}+b^{2}+2h^{2} = 85\\). Podstawiamy \\(a^{2}+b^{2} = 81-h^{2}\\):
\\[81 - h^{2} + 2h^{2} = 85 \\Rightarrow h^{2} = 4 \\Rightarrow h = 2.\\]
Stąd \\(a = 4\\sqrt{2}\\), \\(b = 3\\sqrt{5}\\). Objętość:
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot a\\cdot b\\cdot h = \\dfrac{1}{3}\\cdot 4\\sqrt{2}\\cdot 3\\sqrt{5}\\cdot 2 = 8\\sqrt{10}.\\]
Trik: W ostrosłupie z krawędzią boczną prostopadłą do podstawy - wszystkie boki kwadratu/prostokąta są podstawami trójkątów prostokątnych z wysokością.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$V=8\\\\sqrt{10}$
"}]}