{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nDo wykresu funkcji liniowej f należą punkty\n(1,2) i\n( 2,5).\nA\nB\nFunkcja f ma wzór\nA.\n( )\n3\nf x\nx\nB.\n( )\n3\nf x\nx\nC.\n( )\n3\nf x\nx\nD.\n( )\n3\nf x\nx\nDo wykresu funkcji liniowej f należą punkty A=(1,2) i B=(-2,5). Funkcja f ma wzór A. f(x)=x+3, B. f(x)=x-3, C. f(x)=-x-3, D. f(x)=-x+3","answer":"D","answer_text":"⋅\n)\n⋅⋅\n7 2\n3\n⋅\n3\n2\n⋅\n(\n2 5 11 3 2\n⋅\n)\n⋅\n⋅\n(\n⋅\n2\n)\n⋅\n13\n⋅\n(\n2 7\n⋅\n) (\n⋅\n3 5\n⋅\n)\n⋅\n2\n4\n2\n15\n⋅\n3\n6\n⋅\n5\n3\n⋅\n7\n2\n⋅\n11 13\n⋅","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(f(x) = -x + 3\\)\n\n## Sposób 1 - obliczenie wzoru przez układ równań\n\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\). Skoro punkty \\(A = (1, 2)\\) i \\(B = (-2, 5)\\) należą do wykresu, to muszą spełniać równanie:\n\n\\[f(1) = 2 \\implies a \\cdot 1 + b = 2\\]\n\\[f(-2) = 5 \\implies a \\cdot (-2) + b = 5\\]\n\nMamy układ równań:\n\\[\\begin{cases} a + b = 2 \\\\ -2a + b = 5 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego:\n\\[(-2a + b) - (a + b) = 5 - 2\\]\n\\[-3a = 3\\]\n\\[a = -1\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[-1 + b = 2 \\implies b = 3\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -x + 3\\)**\n\n## Sposób 2 - wzór na współczynnik kierunkowy\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty wyraża się wzorem:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{5 - 2}{-2 - 1} = \\frac{3}{-3} = -1\\]\n\nTeraz szukamy \\(b\\), korzystając z punktu \\(A = (1, 2)\\):\n\\[f(x) = -x + b\\]\n\\[2 = -1 \\cdot 1 + b \\implies b = 3\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -x + 3\\)**\n\nWeryfikacja z punktem \\(B = (-2, 5)\\):\n\\[f(-2) = -(-2) + 3 = 2 + 3 = 5 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nW Sposobie 2 wprost zastosowaliśmy wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechhodzącej przez dwa punkty:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nTen wzór wynika z definicji zawartej w tym dziale.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(f(x) = x + 3\\) - poprawne \\(b = 3\\), ale zły znak współczynnika \\(a\\); uczeń policzył \\(\\|a\\|\\) bez uwzględnienia znaku: \\(\\frac{3}{3} = 1\\) zamiast \\(\\frac{3}{-3} = -1\\) |\n| B | \\(f(x) = x - 3\\) - zły znak zarówno \\(a\\), jak i \\(b\\); podwójny błąd w obliczeniach lub pomyłka w odczytaniu punktów |\n| C | \\(f(x) = -x - 3\\) - poprawny \\(a = -1\\), ale błędny wyraz wolny \\(b = -3\\); prawdopodobnie uczeń podstawił \\(-2 = -1 \\cdot 1 + b\\) zamiast \\(2 = -1 \\cdot 1 + b\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego kolejność punktów musi być **spójna** w liczniku i mianowniku. Jeśli piszesz \\(y_B - y_A\\) na górze, to **musisz** pisać \\(x_B - x_A\\) na dole - nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(a\\) podstawiaj współrzędne punktu ostrożnie. Punkt \\(A = (1, 2)\\) oznacza \\(x = 1\\), \\(y = 2\\) - łatwo zamienić je miejscami i wyjdzie błędne \\(b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **sprawdź wynik** z drugim punktem (tu \\(B\\)). Zajmuje to 5 sekund i eliminuje błędy obliczeniowe przed zaznaczeniem odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{5-2}{-2-1} = \\dfrac{3}{-3} = -1.\\]\nZ \\(f(x) = -x + b\\) i \\(f(1)=2\\): \\(2 = -1 + b \\Rightarrow b = 3\\). Zatem \\(f(x) = -x + 3\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja podanych wzorów\n- **A.** \\(f(1)=1+3=4\\ne 2\\).\n- **B.** \\(f(1)=1-3=-2\\ne 2\\).\n- **C.** \\(f(1)=-1-3=-4\\ne 2\\).\n- **D.** \\(f(1)=-1+3=2\\) ✓; \\(f(-2)=2+3=5\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nŻaden z wzorów A, B, C nie przechodzi przez oba punkty jednocześnie - patrz sprawdzenie.\n\n**Trik:** Wzór prostej przez dwa punkty: \\(a=\\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), potem \\(b\\) z podstawienia punktu.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty
(1,2) i
( 2,5).
A
B
Funkcja f ma wzór
A.
( )
3
f x
x
B.
( )
3
f x
x
C.
( )
3
f x
x
D.
( )
3
f x
x
Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A=(1,2) i B=(-2,5). Funkcja f ma wzór A. f(x)=x+3, B. f(x)=x-3, C. f(x)=-x-3, D. f(x)=-x+3

","answer_text_html":"

⋅
)
⋅⋅
7 2
3
⋅
3
2
⋅
(
2 5 11 3 2
⋅
)
⋅
⋅
(
⋅
2
)
⋅
13
⋅
(
2 7
⋅
) (
⋅
3 5
⋅
)
⋅
2
4
2
15
⋅
3
6
⋅
5
3
⋅
7
2
⋅
11 13
⋅

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\(f(x) = -x + 3\\)

\n

Sposób 1 - obliczenie wzoru przez układ równań

\n

Funkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\). Skoro punkty \\(A = (1, 2)\\) i \\(B = (-2, 5)\\) należą do wykresu, to muszą spełniać równanie:

\n

\\[f(1) = 2 \\implies a \\cdot 1 + b = 2\\]
\\[f(-2) = 5 \\implies a \\cdot (-2) + b = 5\\]

\n

Mamy układ równań:
\\[\\begin{cases} a + b = 2 \\\\ -2a + b = 5 \\end{cases}\\]

\n

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
\\[(-2a + b) - (a + b) = 5 - 2\\]
\\[-3a = 3\\]
\\[a = -1\\]

\n

Podstawiamy do pierwszego równania:
\\[-1 + b = 2 \\implies b = 3\\]

\n

Wzór funkcji: \\(f(x) = -x + 3\\)

\n

Sposób 2 - wzór na współczynnik kierunkowy

\n

Współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty wyraża się wzorem:
\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{5 - 2}{-2 - 1} = \\frac{3}{-3} = -1\\]

\n

Teraz szukamy \\(b\\), korzystając z punktu \\(A = (1, 2)\\):
\\[f(x) = -x + b\\]
\\[2 = -1 \\cdot 1 + b \\implies b = 3\\]

\n

Wzór funkcji: \\(f(x) = -x + 3\\)

\n

Weryfikacja z punktem \\(B = (-2, 5)\\):
\\[f(-2) = -(-2) + 3 = 2 + 3 = 5 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]

\n

W Sposobie 2 wprost zastosowaliśmy wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechhodzącej przez dwa punkty:
\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]
Ten wzór wynika z definicji zawartej w tym dziale.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\(f(x) = x + 3\\) - poprawne \\(b = 3\\), ale zły znak współczynnika \\(a\\); uczeń policzył \\(\\|a\\|\\) bez uwzględnienia znaku: \\(\\frac{3}{3} = 1\\) zamiast \\(\\frac{3}{-3} = -1\\) |
| B | \\(f(x) = x - 3\\) - zły znak zarówno \\(a\\), jak i \\(b\\); podwójny błąd w obliczeniach lub pomyłka w odczytaniu punktów |
| C | \\(f(x) = -x - 3\\) - poprawny \\(a = -1\\), ale błędny wyraz wolny \\(b = -3\\); prawdopodobnie uczeń podstawił \\(-2 = -1 \\cdot 1 + b\\) zamiast \\(2 = -1 \\cdot 1 + b\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego kolejność punktów musi być spójna w liczniku i mianowniku. Jeśli piszesz \\(y_B - y_A\\) na górze, to musisz pisać \\(x_B - x_A\\) na dole - nie odwrotnie!
\n
⚠️ Uwaga: Po znalezieniu \\(a\\) podstawiaj współrzędne punktu ostrożnie. Punkt \\(A = (1, 2)\\) oznacza \\(x = 1\\), \\(y = 2\\) - łatwo zamienić je miejscami i wyjdzie błędne \\(b\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź wynik z drugim punktem (tu \\(B\\)). Zajmuje to 5 sekund i eliminuje błędy obliczeniowe przed zaznaczeniem odpowiedzi!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny
\n

Współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{5-2}{-2-1} = \\dfrac{3}{-3} = -1.\\]
Z \\(f(x) = -x + b\\) i \\(f(1)=2\\): \\(2 = -1 + b \\Rightarrow b = 3\\). Zatem \\(f(x) = -x + 3\\).

\n
Sposób 2 - Weryfikacja podanych wzorów
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Żaden z wzorów A, B, C nie przechodzi przez oba punkty jednocześnie - patrz sprawdzenie.

\n

Trik: Wzór prostej przez dwa punkty: \\(a=\\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), potem \\(b\\) z podstawienia punktu.

"}]}