{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDla pewnych liczb a i b zachodzą równości:\n2\n2\n200\na\nb\ni\n8\na\nb\n. Dla tych liczb a i b\nwartość wyrażenia a\nb\n- jest równa\nA. 25\nB. 16\nC. 10\nD. 2\nDla pewnych liczb a i b zachodzą równości: a^2-b^2=200 i a+b=8. Dla tych liczb a i b wartość wyrażenia a-b jest równa A. 25, B. 16, C. 10, D. 2","answer":"A","answer_text":"X\nX\nX","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a - b = 25\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nKluczowe spostrzeżenie: wyrażenie \\(a^2 - b^2\\) można **rozłożyć na czynniki** korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\\]\n\nPodstawiamy dane z zadania: wiemy, że \\(a^2 - b^2 = 200\\) oraz \\(a + b = 8\\), więc:\n\n\\[(a+b)(a-b) = 200\\]\n\n\\[8 \\cdot (a-b) = 200\\]\n\n\\[a - b = \\frac{200}{8}\\]\n\n\\[\\boxed{a - b = 25}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\) z osobna)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} a + b = 8 \\\\ a^2 - b^2 = 200 \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(a = 8 - b\\). Podstawiamy do drugiego:\n\n\\[(8-b)^2 - b^2 = 200\\]\n\n\\[64 - 16b + b^2 - b^2 = 200\\]\n\n\\[64 - 16b = 200\\]\n\n\\[-16b = 136\\]\n\n\\[b = -\\frac{136}{16} = -8{,}5\\]\n\nStąd: \\(a = 8 - (-8{,}5) = 16{,}5\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(a^2 - b^2 = (16{,}5)^2 - (-8{,}5)^2 = 272{,}25 - 72{,}25 = 200\\) ✓\n\nWartość szukanego wyrażenia:\n\\[a - b = 16{,}5 - (-8{,}5) = \\mathbf{25}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nTo właśnie ten wzór jest kluczem do błyskawicznego rozwiązania - zamiast wyznaczać \\(a\\) i \\(b\\) z osobna, od razu dostajemy wartość \\(a-b\\) przez zwykłe dzielenie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(16\\) | Uczeń liczy \\(200 - 8 = 192\\) albo myli \\(a-b\\) z \\(a+b\\) i podaje \\(2 \\cdot 8 = 16\\) |\n| C - \\(10\\) | Uczeń myśli, że \\(a-b = \\frac{a^2-b^2}{a+b-a} = \\frac{200}{20} = 10\\) (błędne uproszczenie) |\n| D - \\(2\\) | Uczeń liczy \\(a-b = \\frac{a+b}{\\text{coś}} \\approx \\frac{8}{4} = 2\\) - zgadywanie bez podstaw |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać \\(a\\) i \\(b\\) z osobna! Zadanie pyta o \\(a - b\\), a wzór \\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\\) daje to od razu - to klasyczny trick maturalny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(a - b = 25\\) jest **większy** niż \\(a + b = 8\\), bo \\(b\\) jest ujemne. Nie dawaj się zmylić intuicji - to matematycznie poprawne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzoru - to \\((a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\) czy \\((a+b)^2\\). Sprawdź w karcie wzorów dział 6, s. 7!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}\\)\nMamy \\(a^{2}-b^{2} = 200\\) oraz \\(a+b = 8\\). Stąd:\n\\[(a-b)(a+b) = 200\\]\n\\[(a-b)\\cdot 8 = 200 \\Rightarrow a-b = 25.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\)\nZ układu \\(a+b=8\\), \\(a-b=25\\): dodając obie równości \\(2a=33\\), \\(a=16{,}5\\); odejmując \\(2b=-17\\), \\(b=-8{,}5\\).\nSprawdzenie: \\(a^{2}-b^{2} = 272{,}25 - 72{,}25 = 200\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(16\\)**, **C. \\(10\\)**, **D. \\(2\\)** - dla żadnej z tych wartości \\((a-b)\\cdot 8\\) nie daje \\(200\\).\n\n**Trik:** Rozpoznaj wzór \\(a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)\\) - to natychmiastowe rozwiązanie.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Dla pewnych liczb a i b zachodzą równości:
2
2
200
a
b
i
8
a
b
. Dla tych liczb a i b
wartość wyrażenia a
b

\n\n

A. 25
B. 16
C. 10
D. 2
Dla pewnych liczb a i b zachodzą równości: a^2-b^2=200 i a+b=8. Dla tych liczb a i b wartość wyrażenia a-b jest równa A. 25, B. 16, C. 10, D. 2

","answer_text_html":"

X
X
X

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(a - b = 25\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów

\n

Kluczowe spostrzeżenie: wyrażenie \\(a^2 - b^2\\) można rozłożyć na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\n

\\[a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\\]

\n

Podstawiamy dane z zadania: wiemy, że \\(a^2 - b^2 = 200\\) oraz \\(a + b = 8\\), więc:

\n

\\[(a+b)(a-b) = 200\\]

\n

\\[8 \\cdot (a-b) = 200\\]

\n

\\[a - b = \\frac{200}{8}\\]

\n

\\[\\boxed{a - b = 25}\\]

\n

Sposób 2 - Układ równań (wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\) z osobna)

\n

Mamy układ:
\\[\\begin{cases} a + b = 8 \\\\ a^2 - b^2 = 200 \\end{cases}\\]

\n

Z pierwszego równania: \\(a = 8 - b\\). Podstawiamy do drugiego:

\n

\\[(8-b)^2 - b^2 = 200\\]

\n

\\[64 - 16b + b^2 - b^2 = 200\\]

\n

\\[64 - 16b = 200\\]

\n

\\[-16b = 136\\]

\n

\\[b = -\\frac{136}{16} = -8{,}5\\]

\n

Stąd: \\(a = 8 - (-8{,}5) = 16{,}5\\)

\n

Sprawdzenie: \\(a^2 - b^2 = (16{,}5)^2 - (-8{,}5)^2 = 272{,}25 - 72{,}25 = 200\\) ✓

\n

Wartość szukanego wyrażenia:
\\[a - b = 16{,}5 - (-8{,}5) = \\mathbf{25}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]

\n

To właśnie ten wzór jest kluczem do błyskawicznego rozwiązania - zamiast wyznaczać \\(a\\) i \\(b\\) z osobna, od razu dostajemy wartość \\(a-b\\) przez zwykłe dzielenie.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B - \\(16\\) | Uczeń liczy \\(200 - 8 = 192\\) albo myli \\(a-b\\) z \\(a+b\\) i podaje \\(2 \\cdot 8 = 16\\) |
| C - \\(10\\) | Uczeń myśli, że \\(a-b = \\frac{a^2-b^2}{a+b-a} = \\frac{200}{20} = 10\\) (błędne uproszczenie) |
| D - \\(2\\) | Uczeń liczy \\(a-b = \\frac{a+b}{\\text{coś}} \\approx \\frac{8}{4} = 2\\) - zgadywanie bez podstaw |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie trzeba wyznaczać \\(a\\) i \\(b\\) z osobna! Zadanie pyta o \\(a - b\\), a wzór \\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\\) daje to od razu - to klasyczny trick maturalny.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(a - b = 25\\) jest większy niż \\(a + b = 8\\), bo \\(b\\) jest ujemne. Nie dawaj się zmylić intuicji - to matematycznie poprawne.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl wzoru - to \\((a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\) czy \\((a+b)^2\\). Sprawdź w karcie wzorów dział 6, s. 7!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}\\)
\n

Mamy \\(a^{2}-b^{2} = 200\\) oraz \\(a+b = 8\\). Stąd:
\\[(a-b)(a+b) = 200\\]
\\[(a-b)\\cdot 8 = 200 \\Rightarrow a-b = 25.\\]

\n
Sposób 2 - Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\)
\n

Z układu \\(a+b=8\\), \\(a-b=25\\): dodając obie równości \\(2a=33\\), \\(a=16{,}5\\); odejmując \\(2b=-17\\), \\(b=-8{,}5\\).
Sprawdzenie: \\(a^{2}-b^{2} = 272{,}25 - 72{,}25 = 200\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Rozpoznaj wzór \\(a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)\\) - to natychmiastowe rozwiązanie.

"}]}