{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nLiczba\n2\n3\nlog 4\n2log 1\njest równa\nA.\n0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nLiczba log_2 4 + 2 * log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 4","answer":"C","answer_text":"7\n1\n45","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie obu logarytmów\n\n**Obliczamy \\(\\log_2 4\\):**\n\nPytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(2\\), żeby dostać \\(4\\)?\n\n\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]\n\n**Obliczamy \\(2\\log_3 1\\):**\n\nPytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(1\\)?\n\n\\[\\log_3 1 = 0\\]\n\nbo \\(3^0 = 1\\) - każda liczba podniesiona do potęgi \\(0\\) daje \\(1\\). Zatem:\n\n\\[2\\log_3 1 = 2 \\cdot 0 = 0\\]\n\n**Sumujemy:**\n\n\\[\\log_2 4 + 2\\log_3 1 = 2 + 0 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - zastosowanie własności logarytmu \\(\\log_a a^n = n\\)\n\nMożemy skorzystać bezpośrednio z własności: \\(\\log_a a^n = n\\).\n\n\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]\n\nOraz z własności: \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdej podstawy \\(a > 0, a \\neq 1\\), bo \\(a^0 = 1\\) zawsze.\n\n\\[2\\log_3 1 = 2 \\cdot 0 = 0\\]\n\nWynik:\n\n\\[\\log_2 4 + 2\\log_3 1 = 2 + 0 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy tego przy wyznaczaniu \\(\\log_2 4 = 2\\), bo \\(2^2 = 4\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nPozwala wyciągnąć wykładnik przed logarytm - tu \\(\\log_2 2^2 = 2 \\cdot \\log_2 2 = 2 \\cdot 1 = 2\\).\n\nKluczowy fakt (wynikający z definicji, s. 5): \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdego \\(a > 0, a \\neq 1\\), bo \\(a^0 = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 0\\) - myli logarytm z wartością dla argumentu \\(1\\), albo całe wyrażenie zeruje przez pomyłkę |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 1\\) (myli \\(\\log_2 2 = 1\\) z \\(\\log_2 4\\)) i dodaje \\(0\\) |\n| D (\\(4\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 4\\) (zamiast zastanowić się, że \\(2^2 = 4\\), wpisuje argument logarytmu wprost jako wynik) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 1 = 0\\) **zawsze**, niezależnie od podstawy. Wiele osób myśli, że skoro \\(3 \\neq 1\\), to wynik nie może być zerem - to błąd. Zawsze \\(a^0 = 1\\), więc \\(\\log_a 1 = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\log_2 4\\) z \\(\\log_2 2 = 1\\). Pytamy: \"2 do jakiej potęgi = 4?\", a nie \"2 do jakiej potęgi = 2?\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenie \\(2\\log_3 1\\) oznacza \"dwa razy logarytm z jedynki\", a nie \"logarytm przy podstawie \\(2\\cdot3=6\\)\" - kolejność działań jest standardowa: najpierw logarytm, potem mnożenie przez \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie każdego składnika\n- \\(\\log_{2} 4 = \\log_{2} 2^{2} = 2\\).\n- \\(\\log_{3} 1 = 0\\) (bo \\(3^{0} = 1\\)). Zatem \\(2\\cdot \\log_{3} 1 = 2\\cdot 0 = 0\\).\n\nSuma: \\(2 + 0 = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Z definicji\n\\(\\log_{a} 1 = 0\\) dla każdej podstawy \\(a>0, a\\ne 1\\). To eliminuje drugi składnik. Następnie \\(\\log_{2} 4\\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \\(2\\), aby otrzymać \\(4\\) - odpowiedź \\(2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - wynik, gdyby oba składniki były zerami.\n- **B. \\(1\\)** - wynik \\(\\log_{2} 2 + 0\\).\n- **D. \\(4\\)** - wartość argumentu pierwszego logarytmu, nie logarytmu.\n\n**Trik:** \\(\\log_{a} 1 = 0\\) zawsze; \\(\\log_{a} a^{n} = n\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Liczba<br>2<br>3<br>log 4<br>2log 1<br>jest równa<br>A.<br>0<br>B. 1<br>C. 2<br>D. 4<br>Liczba log_2 4 + 2 * log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 4</p>","answer_text_html":"<p>7<br>1<br>45</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie obu logarytmów</h4>\n<p><strong>Obliczamy \\(\\log_2 4\\):</strong></p>\n<p>Pytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(2\\), żeby dostać \\(4\\)?</p>\n<p>\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy \\(2\\log_3 1\\):</strong></p>\n<p>Pytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(1\\)?</p>\n<p>\\[\\log_3 1 = 0\\]</p>\n<p>bo \\(3^0 = 1\\) - każda liczba podniesiona do potęgi \\(0\\) daje \\(1\\). Zatem:</p>\n<p>\\[2\\log_3 1 = 2 \\cdot 0 = 0\\]</p>\n<p><strong>Sumujemy:</strong></p>\n<p>\\[\\log_2 4 + 2\\log_3 1 = 2 + 0 = \\mathbf{2}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - zastosowanie własności logarytmu \\(\\log_a a^n = n\\)</h4>\n<p>Możemy skorzystać bezpośrednio z własności: \\(\\log_a a^n = n\\).</p>\n<p>\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]</p>\n<p>Oraz z własności: \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdej podstawy \\(a &gt; 0, a \\neq 1\\), bo \\(a^0 = 1\\) zawsze.</p>\n<p>\\[2\\log_3 1 = 2 \\cdot 0 = 0\\]</p>\n<p>Wynik:</p>\n<p>\\[\\log_2 4 + 2\\log_3 1 = 2 + 0 = \\mathbf{2}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - definicja logarytmu:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>Użyliśmy tego przy wyznaczaniu \\(\\log_2 4 = 2\\), bo \\(2^2 = 4\\).</p>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - własność potęgi logarytmu:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Pozwala wyciągnąć wykładnik przed logarytm - tu \\(\\log_2 2^2 = 2 \\cdot \\log_2 2 = 2 \\cdot 1 = 2\\).</p>\n<p>Kluczowy fakt (wynikający z definicji, s. 5): \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdego \\(a &gt; 0, a \\neq 1\\), bo \\(a^0 = 1\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(0\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 0\\) - myli logarytm z wartością dla argumentu \\(1\\), albo całe wyrażenie zeruje przez pomyłkę |<br>| B (\\(1\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 1\\) (myli \\(\\log_2 2 = 1\\) z \\(\\log_2 4\\)) i dodaje \\(0\\) |<br>| D (\\(4\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 4\\) (zamiast zastanowić się, że \\(2^2 = 4\\), wpisuje argument logarytmu wprost jako wynik) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log_3 1 = 0\\) <strong>zawsze</strong>, niezależnie od podstawy. Wiele osób myśli, że skoro \\(3 \\neq 1\\), to wynik nie może być zerem - to błąd. Zawsze \\(a^0 = 1\\), więc \\(\\log_a 1 = 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(\\log_2 4\\) z \\(\\log_2 2 = 1\\). Pytamy: &quot;2 do jakiej potęgi = 4?&quot;, a nie &quot;2 do jakiej potęgi = 2?&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyrażenie \\(2\\log_3 1\\) oznacza &quot;dwa razy logarytm z jedynki&quot;, a nie &quot;logarytm przy podstawie \\(2\\cdot3=6\\)&quot; - kolejność działań jest standardowa: najpierw logarytm, potem mnożenie przez \\(2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie każdego składnika</h5>\n<ul><li>\\(\\log_{2} 4 = \\log_{2} 2^{2} = 2\\).</li><li>\\(\\log_{3} 1 = 0\\) (bo \\(3^{0} = 1\\)). Zatem \\(2\\cdot \\log_{3} 1 = 2\\cdot 0 = 0\\).</li></ul>\n<p>Suma: \\(2 + 0 = 2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Z definicji</h5>\n<p>\\(\\log_{a} 1 = 0\\) dla każdej podstawy \\(a&gt;0, a\\ne 1\\). To eliminuje drugi składnik. Następnie \\(\\log_{2} 4\\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \\(2\\), aby otrzymać \\(4\\) - odpowiedź \\(2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0\\)</strong> - wynik, gdyby oba składniki były zerami.</li><li><strong>B. \\(1\\)</strong> - wynik \\(\\log_{2} 2 + 0\\).</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - wartość argumentu pierwszego logarytmu, nie logarytmu.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\log_{a} 1 = 0\\) zawsze; \\(\\log_{a} a^{n} = n\\).</p>"}]}