{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n10\n0\nx\nx\n\n\n\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność kwadratową x^2-3x-10 < 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nprawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n2\n2,\n5\nx\nx\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy,\nalbo\n\nrozłoży trójmian kwadratowy\n2\n3\n10\nx\nx\n\n\nna czynniki liniowe i zapisze nierówność\n\n\n\n2\n5\n0\nx\nx\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy,\nalbo\n\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np.,\n1\n2\n2,\n5\nx\nx\n\n,\nstąd\n\n\n5,2\nx\n,\nalbo\n\ndoprowadzi nierówność do postaci\n3\n7\n2\n2\nx \n\n(na przykład z postaci\n2\n3\n49\n0\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\notrzymuje\n2\n3\n49\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n, a następnie\n3\n7\n2\n2\nx \n\n)\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 2\n5\nx\n\n\nlub \n\n2,5\n\nlub\n\n\n2,5\nx \nalbo\n\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n2\nx ,\n5\nx \nalbo\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n2\nx ,\n5\nx \ni zapisze np.:\n\n\n2,5\nx\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za\ntakie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)\nx\n-2\n5\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n6\nZadania 26. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę studentów w danej grupie. Wtedy łączna liczba lat studentów w danej\ngrupie wynosi 23x , zaś łączna liczba lat studentów i opiekuna to 23\n39\nx \n. Zatem średnia\nwieku studentów wraz z opiekunem jest równa: 23\n39\n1\nx\nx\n\n\nOtrzymujemy równanie 23\n39\n24\n1\nx\nx\n\n\n\nstąd\n\n\n23\n39\n24\n1\nx\nx\n\n\n\n, a więc\n15\nx \nOdpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze nową średnią wieku studentów wraz z opiekunem: 23\n39\n1\nx\nx\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę studentów w grupie: 15 osób.\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy zależności pomiędzy liczbą studentów danej grupy, a łączną liczbą lat wszystkich\nstudentów. Niech x oznacza liczbę studentów w grupie, zaś S łączną liczbę lat studentów.\nZapisujemy układ równań:\n23\n39\n24\n1\nS\nx\nS\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązujemy układ równań\n23\n23\n39\n24\n1\nS\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n23\n39\n24\n1\nx\nx\n\n\n\n15\nx \nOdpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze układ równań opisujący średnie wieku, np.\n23\n39\n24\n1\nS\nx\nS\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ngdzie x jest liczbą studentów w danej grupie, zaś S jest łączną liczbą lat studentów, i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie definicję średniej arytmetycznej\ndo wyznaczenia liczby elementów zbioru danych (III.10.a)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n7\nIII sposób rozwiązania\nRóżnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów rozdzielamy między x studentów\ni jednego opiekuna.\n Obliczamy różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów 39\n23\n16\n\n\n Ponieważ średnia wieku wzrosła o 1 rok, więc te 16 lat rozdzielamy pomiędzy studentów\ni opiekuna, każdemu dodając 1 rok.\n Zatem 16\n1 1\nx\n\n, stąd\n15\nx \n Zapisujemy odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy różnicę lat opiekuna i średniej wieku studentów 39\n23\n16\n\n\ni słownie zapisze\nsposób rozumowania, np.: Ponieważ średnia lat wzrosła do 24 lat, więc każdemu studentowi z\ntych 16 lat dodajemy 1 rok oraz 1 rok dla opiekuna i na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.","solution":"$x \\\\in (-2,5)$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
3
10
0
x
x



Odpowiedź:
Rozwiąż nierówność kwadratową x^2-3x-10 < 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-2)
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:

prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
2
2,
5
x
x


i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy,
albo

rozłoży trójmian kwadratowy
2
3
10
x
x


na czynniki liniowe i zapisze nierówność



2
5
0
x
x



i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy,
albo

popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np.,
1
2
2,
5
x
x

,
stąd


5,2
x
,
albo

doprowadzi nierówność do postaci
3
7
2
2
x 

(na przykład z postaci
2
3
49
0
2
4
x









otrzymuje
2
3
49
2
4
x








, a następnie
3
7
2
2
x 

)
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:

poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 2
5
x


lub 

2,5

lub


2,5
x 
albo

sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
2
x ,
5
x 
albo

poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów:
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki

\n
  1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

2
x ,
5
x 
i zapisze np.:


2,5
x
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za
takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)
x
-2
5
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
6
Zadania 26. (0-2)
I sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę studentów w danej grupie. Wtedy łączna liczba lat studentów w danej
grupie wynosi 23x , zaś łączna liczba lat studentów i opiekuna to 23
39
x 
. Zatem średnia
wieku studentów wraz z opiekunem jest równa: 23
39
1
x
x


Otrzymujemy równanie 23
39
24
1
x
x



stąd


23
39
24
1
x
x



, a więc
15
x 
Odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze nową średnią wieku studentów wraz z opiekunem: 23
39
1
x
x


i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy liczbę studentów w grupie: 15 osób.
II sposób rozwiązania
Zapisujemy zależności pomiędzy liczbą studentów danej grupy, a łączną liczbą lat wszystkich
studentów. Niech x oznacza liczbę studentów w grupie, zaś S łączną liczbę lat studentów.
Zapisujemy układ równań:
23
39
24
1
S
x
S
x









Rozwiązujemy układ równań
23
23
39
24
1
S
x
x
x










23
39
24
1
x
x



15
x 
Odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze układ równań opisujący średnie wieku, np.
23
39
24
1
S
x
S
x









gdzie x jest liczbą studentów w danej grupie, zaś S jest łączną liczbą lat studentów, i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.
Modelowanie matematyczne
Zastosowanie definicję średniej arytmetycznej
do wyznaczenia liczby elementów zbioru danych (III.10.a)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
7
III sposób rozwiązania
Różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów rozdzielamy między x studentów
i jednego opiekuna.
 Obliczamy różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów 39
23
16


 Ponieważ średnia wieku wzrosła o 1 rok, więc te 16 lat rozdzielamy pomiędzy studentów
i opiekuna, każdemu dodając 1 rok.
 Zatem 16
1 1
x

, stąd
15
x 
 Zapisujemy odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy obliczy różnicę lat opiekuna i średniej wieku studentów 39
23
16


i słownie zapisze
sposób rozumowania, np.: Ponieważ średnia lat wzrosła do 24 lat, więc każdemu studentowi z
tych 16 lat dodajemy 1 rok oraz 1 rok dla opiekuna i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\\\in (-2,5)$

"}]}