{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nPodstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest\nrówny 3. Oblicz pole tego trapezu.\nOdpowiedź:\nPodstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiązanie\nObliczamy wysokość trapezu h, korzystając z faktu, że tangens kąta ostrego jest równy 3:\n3\n4\nh \n, stąd\n12\nh \nZatem pole trapezu jest równe \n\n6 10 12\n96\n2\n\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n obliczy wysokość trapezu\n12\nh \ni na tym poprzestanie lub błędnie obliczy pole,\nalbo\n obliczy wysokość trapezu z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu obliczy pole trapezu.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy pole trapezu\n96\nP \nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie pole trapezu prostokątnego. Zastosowanie\nfunkcji trygonometrycznych (IV.7.c)\n\n\n\nh\n6\n6\n4\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8\nZadania 28. (0-2)\nI sposób rozwiązania\n4\n2\n4\n2\nsin\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\n1\ncos\ncos\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci lewą lub prawą stronę tej równości do postaci:\n\n\n2\n2\nsin\nsin\n1\n\n\n\nlub\n\n\n2\n2\ncos\ncos\n1\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nII sposób rozwiązania\n4\n4\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1 sin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy uzyska po lewej stronie wyrażenie \n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nIII sposób rozwiązania\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\nsin\ncos\nsin\nsin\ncos\nsin\n1 cos\ncos\nsin\nsin\ncos\ncos\n1\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\nsin\ncos\nL\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształcając lewą lub prawą stronę równość uzyska wyrażenie\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nRozumowanie i argumentacja\nUzasadnienie tożsamości trygonometrycznej\nz zastosowaniem prostych związków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kata ostrego (V.6.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nIV sposób rozwiązania\n2\n2\n2\n2\n4\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n1 cos\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n2\n2\n4\n1 2cos\ncos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n2\n4\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nlub\n4\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n2\nsin\n1 sin\nsin\n1 sin\n1 sin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n4\nsin\nsin\n1\nsin\n1 2sin\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n4\n2\nsin\nsin\n1\nsin\nsin\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci równość do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna, np.: \n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n1 cos\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n2\nsin\n1 sin\nsin\n1 sin\n1 sin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\njeżeli przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nV sposób rozwiązania\nDaną równość zapisujemy w postaci\n4\n4\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n. Przekształcamy:\n\n\n\n\n2\n2\n4\n4\n2\n4\n2\n4\nsin\ncos\nsin\ncos\n1\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2cos\ncos\ncos\n1\n2cos\n1\ncos\ncos\nsin\ncos\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy uzyska po lewej stronie wyrażenie \n\n2\n2\n4\n1\ncos\ncos\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10","solution":"$96$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest
równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź:
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiązanie
Obliczamy wysokość trapezu h, korzystając z faktu, że tangens kąta ostrego jest równy 3:
3
4
h 
, stąd
12
h 
Zatem pole trapezu jest równe 

6 10 12
96
2



Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 obliczy wysokość trapezu
12
h 
i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy pole,
albo
 obliczy wysokość trapezu z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego
błędu obliczy pole trapezu.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie obliczy pole trapezu
96
P 
Użycie i tworzenie strategii
Obliczenie pole trapezu prostokątnego. Zastosowanie
funkcji trygonometrycznych (IV.7.c)



h
6
6
4
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
8
Zadania 28. (0-2)
I sposób rozwiązania
4
2
4
2
sin
sin
cos
cos











2
2
2
2
sin
sin
1
cos
cos
1











2
2
2
2
sin
cos
cos
sin







L
P

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy przekształci lewą lub prawą stronę tej równości do postaci:


2
2
sin
sin
1



lub


2
2
cos
cos
1



i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.
II sposób rozwiązania
4
4
2
2
sin
cos
sin
cos










2
2
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
sin
cos












2
2
2
2
1 sin
cos
sin
cos








L
P

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy uzyska po lewej stronie wyrażenie 


2
2
2
2
sin
cos
sin
cos






i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.
III sposób rozwiązania




4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
sin
cos
sin
sin
cos
sin
1 cos
cos
sin
sin
cos
cos
1
1 cos
cos
1 cos
cos
sin
cos
L
P









































Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy przekształcając lewą lub prawą stronę równość uzyska wyrażenie
2
2
2
2
sin
sin
cos
cos






 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.
Rozumowanie i argumentacja
Uzasadnienie tożsamości trygonometrycznej
z zastosowaniem prostych związków między funkcjami
trygonometrycznymi kata ostrego (V.6.c)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
9
IV sposób rozwiązania
2
2
2
2
4
sin
sin
cos
sin
cos














2
2
2
2
4
1 cos
1 cos
cos
1 cos
cos












2
4
2
2
4
1 2cos
cos
cos
1 cos
cos










2
4
2
4
1 cos
cos
1 cos
cos








L
P

lub
4
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
cos














4
2
2
2
2
sin
1 sin
sin
1 sin
1 sin












4
2
2
2
4
sin
sin
1
sin
1 2sin
sin









4
2
4
2
sin
sin
1
sin
sin
1








L
P

Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy przekształci równość do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja
trygonometryczna, np.: 




2
2
2
2
4
1 cos
1 cos
cos
1 cos
cos












lub





4
2
2
2
2
sin
1 sin
sin
1 sin
1 sin












i na tym poprzestanie lub dalej
popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
jeżeli przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.
V sposób rozwiązania
Daną równość zapisujemy w postaci
4
4
2
2
sin
cos
sin
cos







. Przekształcamy:




2
2
4
4
2
4
2
4
sin
cos
sin
cos
1
cos
cos








L






2
4
4
2
2
2
2
2
1
2cos
cos
cos
1
2cos
1
cos
cos
sin
cos
P

















Schemat oceniania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy uzyska po lewej stronie wyrażenie 

2
2
4
1
cos
cos



 i na tym poprzestanie lub dalej
popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
10

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$96$

"}]}