{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nUzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje\nresztę 2.\nUzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nWeźmy trzy kolejne liczby całkowite\n1\nn , n ,\n1\nn . Wówczas\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n2\n1\n3\n2\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc reszta z dzielenia sumy\nich kwadratów przez 3 jest równa 2.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n2\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\nII sposób rozwiązania\nWeźmy trzy kolejne liczby całkowite n ,\n1\nn ,\n2\nn \nWówczas\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n6\n5\n3\n2\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc reszta z dzielenia\nsumy ich kwadratów przez 3 jest równa 2.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, doprowadzi wyrażenie do\npostaci\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n6\n5\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n6\n3\n2\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n2\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nMogą się zdarzyć rozwiązania wykorzystujące kongruencje:\nwśród trzech kolejnych liczb jest jedna podzielna przez 3 (oznaczymy ją przez a), jedna\ndająca przy dzieleniu przez 3 resztę 1 (oznaczymy ją przez b) i jedna dająca przy dzieleniu\nprzez 3 resztę 2 (oznaczymy ją przez c).\nMamy zatem\n\n\n\n\n\n\n0 mod3 ,\n1 mod3 ,\n2 mod3\na\nb\nc\n\n\n\nWówczas\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n1\n2\n5\n2 mod3\na\nb\nc\n\n\n\n\n\n\n\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.a)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 2.
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
I sposób rozwiązania
Weźmy trzy kolejne liczby całkowite
1
n , n ,
1
n . Wówczas




2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n











, więc reszta z dzielenia sumy
ich kwadratów przez 3 jest równa 2.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci




2
2
2
2
1
1
3
2
n
n
n
n






II sposób rozwiązania
Weźmy trzy kolejne liczby całkowite n ,
1
n ,
2
n 
Wówczas






2
2
2
2
2
1
2
3
6
5
3
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n











, więc reszta z dzielenia
sumy ich kwadratów przez 3 jest równa 2.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, doprowadzi wyrażenie do
postaci




2
2
2
2
1
2
3
6
5
n
n
n
n
n






 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci




2
2
2
2
1
2
3
6
3
2
n
n
n
n
n







lub






2
2
2
2
1
2
3
2
1
2
n
n
n
n
n








Uwaga
Mogą się zdarzyć rozwiązania wykorzystujące kongruencje:
wśród trzech kolejnych liczb jest jedna podzielna przez 3 (oznaczymy ją przez a), jedna
dająca przy dzieleniu przez 3 resztę 1 (oznaczymy ją przez b) i jedna dająca przy dzieleniu
przez 3 resztę 2 (oznaczymy ją przez c).
Mamy zatem






0 mod3 ,
1 mod3 ,
2 mod3
a
b
c



Wówczas


2
2
2
2
2
2
0
1
2
5
2 mod3
a
b
c







Rozumowanie i argumentacja
Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.a)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
11

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"}]}