{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nSuma\n1\n2\nn\nn\nS\na\na\na\n\n\n\n\n\npoczątkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \n\nna\njest określona wzorem\n2\n2\nn\nS\nn\nn\n\n\ndla\n1\nn . Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nSuma S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (a_n) jest określona wzorem S_n = n^2-2n dla n >= 1. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nObliczamy wartości sum częściowych:\n1\n1\n1 2\n1\n\n\n\nS\na\n2\n1\n2\n4\n4\n0\n\n\n\n\n\nS\na\na\nZatem\n\n\n2\n0\n1\n1\na \n\n oraz\n\n\n2\n1\n1\n1\n2\nr\na\na\n\n\n\n\nKorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy:\n\n\n1\n1\n1\n(\n1) 2\n2\n3\nna\na\nn\nr\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\nOdpowiedź: n-ty wyraz ciągu \n\nna\nwyraża się wzorem\n2\n3\nna\nn\n\n.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy wartości sum częściowych:\n1\n1\n1 2\n1\n\n\n\nS\na\n2\n1\n2\n4\n4\n0\n\n\n\n\n\nS\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu \n\nna\n:\n2\n3\nna\nn\n\n.\nUwagi\n1. Zdający może od razu zapisać układ\n1\n1\n2\n1\n0\na\na\na\n\n\n\n\n\n\n2. Jeżeli zdający zapisze układ\n1\n2\n1\n0\na\na\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 0 punktów.\nII sposób rozwiązania\nZauważamy, że dla\n1\nn  mamy\n1\nn\nn\nn\na\nS\nS \n\n\n\n\n\n\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n3\nn\nS\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\nObliczamy\n\n\n2\n2\n1\n2\n4\n3\n2\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nn\nn\nn\na\nS\nS\nn\nn\nn\nn\nn\noraz\n1\n1\n1\na\nS\n\n.\nZauważamy ponadto, że wzór\n2\n3\nna\nn\n\n dla\n1\nn  daje otrzymaną wartość\n1\n1\na .\nZatem dla każdego\n1\nn  otrzymujemy\n2\n3\nna\nn\n\n.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że\n1\nn\nn\nn\na\nS\nS \n\n\n, wyznaczy\n\n\n\n\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n3\nn\nS\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu:\n2\n3\nna\nn\n\n.\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę ciągu\narytmetycznego (III.5.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n12\nUwaga\nPrzyznajemy 2 punkty nawet wtedy, gdy zdający nie sprawdzi, czy\n1\n1\na .\nIII sposób rozwiązania\nZauważamy, że\n2\n1\n2\n2\nn\na\na\nn\nn\nn\n\n\n\n\ni wyznaczamy\n1\n2\n4\nna\nn\na\n\n\n\nObliczamy\n1\n1\n1\na\nS\n\n . Stąd otrzymujemy\n2\n4 1\nna\nn\n\n\n, czyli\n2\n3\nna\nn\n\n.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy ze wzoru\n2\n1\n2\n2\nn\na\na\nn\nn\nn\n\n\n\n\nwyznaczy\n1\n2\n4\nna\nn\na\n\n\n\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy n-ty wyraz ciągu:\n2\n3\nna\nn\n\n .\nUwagi\n1. Zdający może od razu zapisać, że\n1\n2\n4\nna\nn\na\n\n\n\n2. Jeśli zdający zapisze, że\n2\n1\n2\n2\nn\na\na\nn\nn\nn\n\n\n\n\n, wyznaczy z błędem rachunkowym\nna np.:\n1\n2\n2\nna\nn\na\n\n\n\ni z tym błędem doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"$a_{n}=2n-3$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Suma
1
2
n
n
S
a
a
a





początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego 

na
jest określona wzorem
2
2
n
S
n
n


dla
1
n . Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
13
Suma S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (a_n) jest określona wzorem S_n = n^2-2n dla n >= 1. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
I sposób rozwiązania
Obliczamy wartości sum częściowych:
1
1
1 2
1



S
a
2
1
2
4
4
0





S
a
a
Zatem


2
0
1
1
a 

 oraz


2
1
1
1
2
r
a
a




Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy:


1
1
1
(

\n
  1. 2
\n

2
3
na
a
n
r
n
n








Odpowiedź: n-ty wyraz ciągu 

na
wyraża się wzorem
2
3
na
n

.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy obliczy wartości sum częściowych:
1
1
1 2
1



S
a
2
1
2
4
4
0





S
a
a
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu 

na
:
2
3
na
n

.
Uwagi

\n
  1. Zdający może od razu zapisać układ
\n

1
1
2
1
0
a
a
a





\n
  1. Jeżeli zdający zapisze układ
\n

1
2
1
0
a
a





, to otrzymuje 0 punktów.
II sposób rozwiązania
Zauważamy, że dla
1
n  mamy
1
n
n
n
a
S
S 






2
2
1
1
2
1
4
3
n
S
n
n
n
n







Obliczamy


2
2
1
2
4
3
2
3










n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
oraz
1
1
1
a
S

.
Zauważamy ponadto, że wzór
2
3
na
n

 dla
1
n  daje otrzymaną wartość
1
1
a .
Zatem dla każdego
1
n  otrzymujemy
2
3
na
n

.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze, że
1
n
n
n
a
S
S 


, wyznaczy




2
2
1
1
2
1
4
3
n
S
n
n
n
n






 i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu:
2
3
na
n

.
Modelowanie matematyczne
Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę ciągu
arytmetycznego (III.5.c)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
12
Uwaga
Przyznajemy 2 punkty nawet wtedy, gdy zdający nie sprawdzi, czy
1
1
a .
III sposób rozwiązania
Zauważamy, że
2
1
2
2
n
a
a
n
n
n




i wyznaczamy
1
2
4
na
n
a



Obliczamy
1
1
1
a
S

 . Stąd otrzymujemy
2
4 1
na
n


, czyli
2
3
na
n

.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy ze wzoru
2
1
2
2
n
a
a
n
n
n




wyznaczy
1
2
4
na
n
a



i na tym poprzestanie
lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy n-ty wyraz ciągu:
2
3
na
n

 .
Uwagi

\n
  1. Zdający może od razu zapisać, że
\n

1
2
4
na
n
a


\n
  1. Jeśli zdający zapisze, że
\n

2
1
2
2
n
a
a
n
n
n




, wyznaczy z błędem rachunkowym
na np.:
1
2
2
na
n
a



i z tym błędem doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_{n}=2n-3$

"}]}