Zadanie 32. (4 pkt)
Punkty
2,11
A
,
8,23
B
,
6,14
C
są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta
poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
15
Punkty A=(2,11), B=(8,23), C=(6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.
Zadanie 32. (0-4)
I sposób rozwiązania
Wyznaczamy równanie prostej AB:
2
7
y
x
Wyznaczamy równanie prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C:
1
17
2
y
x
Zapisujemy układ równań:
2
7
1
17
2
y
x
y
x
Rozwiązujemy układ równań i zapisujemy współrzędne punktu D:
4,15
D
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Wyznaczenie równania prostej AB:
2
7
y
x
albo
obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:
2
a
Użycie i tworzenie strategii
Wyznaczenie punktu przecięcia się prostych prostopadłych
(IV.8.b, 8.c, 8.d)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
14
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie równania prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C
1
17
2
y
x
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie układu równań:
2
7
1
17
2
y
x
y
x
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Rozwiązanie układu równań i zapisanie współrzędnych punktu D:
4,15
D
Uwagi
rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty (współczynnik kierunkowy prostej AB
powinien być jednak liczbą dodatnią).
rysunku to otrzymuje 4 punkty.
\notrzymuje 0 punktów.
II sposób rozwiązania
Obliczamy pole trójkąta ABC:
15
ABC
P
. Obliczamy długość podstawy AB trójkąta ABC:
6 5
AB
. Ze związku
1
2
ABC
P
CD
AB
obliczamy wysokość CD trójkąta ABC:
5
CD
. Wyznaczamy równanie prostej AB:
2
7
y
x
. Zapisujemy współrzędne punktu
D w zależności od zmiennej x:
, 2
7
D
x
x
. Wyrażamy związek
5
CD
za pomocą
równania
2
2
6
2
7 14
5
x
x
, gdzie x oznacza pierwszą współrzędną punktu D.
Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy
4
x
. Zapisujemy zatem współrzędne punktu D:
4,15
D
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Obliczenie pola trójkąta ABC:
15
ABC
P
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie wysokości CD trójkąta ABC:
5
CD
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie współrzędnych punktu D w zależności od jednej zmiennej:
, 2
7
D
x
x
i zapisanie równania
2
2
6
2
7 14
5
x
x
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Rozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych punktu D:
4,15
D
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pola trójkąta ABC i konsekwentnie
do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
15
$D=(4,15)$
"}]}