Zadanie 33. (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest
dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
16
Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.
Zadanie 33. (0-4)
I sposób rozwiązania
Zauważamy, że dla poprawnego rozwiązania zadania istotne są trzy grupy cyfr:
cyfra 7, cyfry parzyste bez zera oraz cyfry nieparzyste różne od 7.
Miejsce dla cyfry 7 możemy wybrać na 5 sposobów.
Miejsce dla cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby.
Cyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu możemy wybrać spośród 4 cyfr
parzystych, czyli na 4 sposoby.
Na pozostałych trzech miejscach możemy wpisać cyfry nieparzyste różne od 7.
Możemy to zrobić na
34
64
sposoby.
Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania jest:
3
5
5 4 4 4
5 4
5 1024
5120
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z dwóch grup cyfr (spośród trzech
rozważanych).
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z trzech grup cyfr:
Miejsce dla cyfry 7 - na 5 sposobów.
Miejsce dla cyfry parzystej - na 4 sposoby.
Cyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu - na 4 sposoby.
Cyfry nieparzyste różne od 7 na pozostałych trzech miejscach - na
34
64
sposoby.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie, ile liczb pięciocyfrowych spełnia warunki zadania:
5
5 4
5120
II sposób rozwiązania
Rozpatrujemy następujące trzy warianty ustawień cyfr:
z pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7.
Każdą z czterech cyfr parzystych możemy umieścić na jednym z czterech miejsc na 4 4
sposobów, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych (bez cyfry 7 ) możemy
rozmieścić na trzech miejscach na
3
4 4 4
4
sposobów. Zatem liczba możliwych
ustawień cyfr w tym wariancie równa się:
3
5
4 4 4
4
1024
cyfra 7, zaś na każdym z pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7.
Na pierwszym miejscu możemy ustawić każdą z czterech cyfr parzystych różnych od
zera, zaś na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić cyfrę 7 , stąd
otrzymujemy 4 4
możliwości ustawień cyfry parzystej oraz cyfry 7 . Natomiast każdą
z czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 możemy rozmieścić na
pozostałych trzech miejscach na
3
4 4 4
4
sposobów. Zatem liczba możliwych
ustawień cyfr w tym wariancie jest równa:
3
5
4 4 4
4
1024
Użycie i tworzenie strategii
Zliczenie obiektów w prostej sytuacji kombinatorycznej
(IV.10.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
16
A
B
C
E
F
D
G
miejsc cyfra parzysta, na jednym z trzech pozostałych miejsc cyfra 7, a na pozostałych
dwóch miejscach cyfra nieparzysta różna od 7.
Każdą z czterech cyfr nieparzystych (różną od 7 ) możemy umieścić na pierwszym miejscu (4
sposoby). Na każdym z czterech pozostałych miejsc możemy umieścić każdą z czterech cyfr
parzystych na 4 4
sposobów. Cyfrę 7 możemy umieścić na każdym z trzech pozostałych
miejsc, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 umieścimy na
dwóch miejscach na
2
3 4 4
3 4
sposobów. Zatem, w tym wariancie, liczba możliwych
ustawień jest równa:
2
5
4 4 4 3 4
3 4
3072
Liczba wszystkich możliwych ustawień jest sumą liczb ustawień w poszczególnych
wariantach i równa się: 1024 1024
3072
5120
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Przyznajemy po 1 punkcie za obliczenie liczby możliwych ustawień cyfr w każdym z trzech
wariantów i 1 punkt za obliczenie sumy tych możliwości.
$5120$
"}]}