{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF\ni krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest\nrówna 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.\nF\nE\nD\nC\nB\nA\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n18\nBRUDNOPIS\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawiędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nNiech G będzie środkiem krawędzi AB. Rysujemy wysokość FG trójkąta ABF .\nPole trójkąta ABF jest równe:\n8\n4\n52\n2\n2\nABF\nAB\nFG\nFG\nP\nFG\n\n\n\n\n\n\n\n. Stąd\n13\nFG \nW trójkącie równobocznym ABC mamy\n4 3\nCG \n. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa\nw trójkącie FCG do obliczenia CF :\n2\n2\n2\nCF\nCG\nFG\n\n\n, stąd\n11\nCF \nObliczamy objętość graniastosłupa:\n2\n3\n64\n3 11\n176 3\n4\n4\nAB\nV\nCF\n\n\n\n\n\n\nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie objętości graniastosłupa z zastosowaniem\nzwiązków miarowych w wielościanach (IV.9.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n17\nA\nB\nC\nE\nF\nD\nG\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n Narysowanie wysokości CG trójkąta ABC i obliczenie długości odcinka CG - wysokości\ntrójkąta równobocznego ABC, podstawy graniastosłupa prawidłowego:\n4 3\nCG \nalbo\n obliczenie wysokości trójkąta ABF :\n13\nFG \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n Narysowanie wysokości CG trójkąta ABC i obliczenie długości odcinka CG - wysokości\ntrójkąta równobocznego ABC, podstawy graniastosłupa prawidłowego:\n4 3\nCG \noraz\n obliczenie wysokości trójkąta ABF :\n13\nFG \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości CF graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF:\n11\nCF \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości graniastosłupa:\n176 3\nV \nII sposób rozwiązania\nNiech G będzie środkiem krawędzi AB. Rysujemy wysokość FG trójkąta ABF .\nPole trójkąta ABF:\n52\n2\nABF\nAB\nFG\nP\n\n\n\n, stąd\n13\nFG \nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFG i obliczamy kwadrat długości\nodcinka AF:\n2\n2\n2\n13\n4\n185\nAF\n\n\n\nNastępnie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACF, aby obliczyć wysokość\ngraniastosłupa CF:\n2\n2\n2\nCF\nAC\nAF\n\n\n, czyli\n2\n185\n64\n121\nCF\n\n\n\n. Zatem\n11\nCF \nObliczamy objętość graniastosłupa:\n2\n3\n64\n3 11\n176 3\n4\n4\nAB\nV\nCF\n\n\n\n\n\n\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n18\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie wysokości FG trójkąta ABF:\n13\nFG \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie długości przekątnej ściany bocznej lub kwadrat jej długości:\n2\n185\nAF\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości CF graniastosłupa:\n11\nCF \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości graniastosłupa:\n176 3\nV ","solution":"$V=176\\\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (4 pkt)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF
i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest
równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
F
E
D
C
B
A

\n

Poziom podstawowy
17
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
18
BRUDNOPIS
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawiędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
I sposób rozwiązania
Niech G będzie środkiem krawędzi AB. Rysujemy wysokość FG trójkąta ABF .
Pole trójkąta ABF jest równe:
8
4
52
2
2
ABF
AB
FG
FG
P
FG







. Stąd
13
FG 
W trójkącie równobocznym ABC mamy
4 3
CG 
. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
w trójkącie FCG do obliczenia CF :
2
2
2
CF
CG
FG


, stąd
11
CF 
Obliczamy objętość graniastosłupa:
2
3
64
3 11
176 3
4
4
AB
V
CF






Użycie i tworzenie strategii
Obliczenie objętości graniastosłupa z zastosowaniem
związków miarowych w wielościanach (IV.9.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
17
A
B
C
E
F
D
G
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
 Narysowanie wysokości CG trójkąta ABC i obliczenie długości odcinka CG - wysokości
trójkąta równobocznego ABC, podstawy graniastosłupa prawidłowego:
4 3
CG 
albo
 obliczenie wysokości trójkąta ABF :
13
FG 
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
 Narysowanie wysokości CG trójkąta ABC i obliczenie długości odcinka CG - wysokości
trójkąta równobocznego ABC, podstawy graniastosłupa prawidłowego:
4 3
CG 
oraz
 obliczenie wysokości trójkąta ABF :
13
FG 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie wysokości CF graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF:
11
CF 
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie objętości graniastosłupa:
176 3
V 
II sposób rozwiązania
Niech G będzie środkiem krawędzi AB. Rysujemy wysokość FG trójkąta ABF .
Pole trójkąta ABF:
52
2
ABF
AB
FG
P



, stąd
13
FG 
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFG i obliczamy kwadrat długości
odcinka AF:
2
2
2
13
4
185
AF



Następnie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACF, aby obliczyć wysokość
graniastosłupa CF:
2
2
2
CF
AC
AF


, czyli
2
185
64
121
CF



. Zatem
11
CF 
Obliczamy objętość graniastosłupa:
2
3
64
3 11
176 3
4
4
AB
V
CF






Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
18
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Obliczenie wysokości FG trójkąta ABF:
13
FG 
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej lub kwadrat jej długości:
2
185
AF

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie wysokości CF graniastosłupa:
11
CF 
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie objętości graniastosłupa:
176 3
V 

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V=176\\\\sqrt{3}$

"}]}