{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nDana jest funkcja określona wzorem\n\n\n\n2\n1\ndla\n, 2\n( )\n2\n1 dla\n2,\nx\nx\nf x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Miejscem zerowym\ntej funkcji jest liczba\nA. 1\nB. 1\n2\nC.\n1\n2\n\nD. 1\n\nW zadaniach 11. i 12. wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji f i g.\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n( )\nf x\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n( )\ng x","answer":"B","answer_text":"10 zł\n10 zł\n10 zł\n10 zł\n10 zł\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 punkty\n uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\n48\n\ni zaznaczy w tabeli\nzdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu A i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje\nbłędnie,\nalbo\n uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\n48\n\ni zaznaczy w tabeli\nzdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu\nA i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje\nbłędnie.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty\n uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu\n20\nA \ni na tym zakończy lub\ndalej rozwiązuje błędnie,\nalbo\n uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu\n28\nA \ni na tym zakończy lub\ndalej rozwiązuje błędnie.\nRozwiązanie pełne 4 punkty\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i zapisanie wyniku w postaci ułamka\nnieskracalnego \n5\n12\nP A \n21\n50\n20\n10\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n2\n8\n2\n8\n50\n20\n10\n50\n20\n10\n50\n20\n10\n1\n8\n5\n8\n1\n8\n5\n8\n2\n8\n1\n8\n5\n8\nIII sposób rozwiązania (metoda drzewa)\nRysujemy\ndrzewo\nuwzględniając\ntylko\nistotne\ngałęzie\ni\nzapisujemy\nna\nnich\nprawdopodobieństwo.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n1 2\n1 1\n1 5\n2 2\n2 1\n3 2\n2 1 5\n4\n2\n6\n20\n5\n( )\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n48\n12\nP A\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 punkty\nUczeń narysuje drzewo uwzględniającego tylko istotne gałęzie i zapisze na nich\nprawdopodobieństwo.\nUwaga\nJeżeli zdający narysuje drzewo uwzględniające tylko istotne gałęzie i nie zapisze na nich\nprawdopodobieństwa, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty\nUczeń zapisze\n1 2\n1 1\n1 5\n2 2\n2 1\n3 2\n( )\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\nP A \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni nie poda wyniku w postaci\nułamka nieskracalnego.\nRozwiązanie pełne 4 punkty\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:\n\n5\n12\nP A \nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A , to za takie rozwiązanie\nprzyznajemy 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia metodą drzewa i otrzymany\nwynik podzieli przez 48, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający opuści w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie obliczy\nprawdopodobieństwo, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.:\n6\n5\n48\n20\n)\n(\n\n\nA\nP\n, to za takie rozwiązanie przyznajemy 3 punkty.\n22\nZadanie 32. (5 pkt)\nPunkty o współrzędnych\n\n\n2, 8\nA \n\n,\n\n\n2,4\nB \n,\n\n\n2,2\nC \nsą wierzchołkami trapezu.\nRamię trapezu AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzędne punktu D oraz\npole powierzchni tego trapezu.\nI sposób rozwiązania\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB:\n4\n8\n12\n3\n2\n2\n4\na\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n3\n2\n8\ny\nx\n\n\n. Zatem\n3\n2\ny\nx\n\n\nWyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:\n\n\n3\n2\n2\ny\nx\n\n\n\n, stąd\n3\n8\ny\nx\n\n.\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt A:\nWspółczynnik kierunkowy prostej AB jest równy 3, stąd współczynnik kierunkowy prostej\nAD jest równy\n1\n3\n\n. Zatem prosta AD ma równanie\n1\n26\n3\n3\ny\nx\n\n\nObliczamy współrzędne punktu D rozwiązując układ równań\n3\n8\n1\n26\n3\n3\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nPunkt D ma współrzędne\n\n\n5, 7\nD \n\nObliczamy długości podstaw i wysokość trapezu:\n160\n4 10\nAB \n\n,\n90\n3 10\nCD \n\ni\n10\nAD \nObliczamy pole trapezu:\n\n\n1\n4 10\n3 10\n10\n35\n2\nP \n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n Wyznaczenie równania prostej AB:\n3\n2\ny\nx\n\n\nalbo\n Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:\n3\na \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania prostej równoległej do prostej AB:\n3\n8\ny\nx\n\n i równania prostej\nprostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt A:\n1\n26\n3\n3\ny\nx\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n5, 7\nD \n\noraz obliczenie jednej z wielkości:\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\n,\nalbo\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\n,\nalbo\n wysokości trapezu\n10\nAD \n23\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\nObliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu:\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstaw trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni\n90\n3 10\nCD \n\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie pola trapezu:\n35\nP \nUwaga\nJeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości\npodstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd\nnieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie\nobliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.\nII sposób rozwiązania\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB:\n4\n8\n12\n3\n2\n2\n4\na\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n3\n2\n8\ny\nx\n\n\n. Zatem\n3\n2\ny\nx\n\n\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:\n\n\n1\n2\n2\n3\ny\nx\n\n\n\n, stąd\n1\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\nProsta prostopadła do AB i przechodząca przez punkt C przecina prostą AB w punkcie E.\nObliczamy współrzędne punktu E rozwiązując układ równań\n3\n2\n1\n4\n3\n3\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nPunkt E ma współrzędne punktu wynoszą\n\n\n1,1\nE \nObliczamy wysokość trapezu CE:\n9 1\n10\nCE \n\n\nObliczamy długości podstaw trapezu:\n160\n4 10\nAB \n\ni CD\nAE\n\nlub CD\nAB\nEB\n\n\n(bo trapez jest prostokątny).\nZatem\n9\n81\n90\n3 10\nCD\nAE\n\n\n\n\n\nlub\n4 10\n10\n3 10\nCD \n\n\nObliczamy pole trapezu:\n\n\n1\n4 10\n3 10\n10\n35\n2\nP \n\n\n\n\nObliczamy\nwspółrzędne\npunktu\nD\n(porównując\nwektory\nEC\nAD\n\n\n\n).\nStąd\n\n\n\n3,1\n2,\n8\nD\nD\nx\ny\n\n\n\n\n. Zatem\n2\n3\nD\nx \n i y\n8\n1\nD \n, czyli\n\n\n5, 7\nD \n\n24\nUwaga\nWspółrzędne punktu D możemy obliczyć jak poniżej:\nWyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej CE i przechodzącej przez punkt A:\n\n\n1\n2\n8\n3\ny\nx\n\n\n. Stąd współrzędne punktu\n1\n26\n,\n3\n3\nD\nD\nD\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nAD\nCE\n\nwięc \n\n2\n2\n1\n2\n2\n10\n3\n3\nD\nD\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd \n\n\n\n2\n2\n1\n2\n2\n10\n9\nD\nD\nx\nx\n\n\n\n\nOtrzymujemy równanie\n\n2\n2\n9\nD\nx \n\n, które rozwiązaniem są\n5\nD\nx  i\n1\nD\nx .\nObliczamy drugą współrzędną punktu D:\n7\nD\ny  i\n9\nD\ny .\nDruga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt D ma współrzędne:\n\n\n5, 7\nD \n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n Wyznaczenie równania prostej AB:\n3\n2\ny\nx\n\n\nalbo\n Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:\n3\na \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:\n1\n26\n3\n3\ny\nx\n\n\ni wyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n1,1\nE \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n5, 7\nD \n\noraz obliczenie jednej z wielkości:\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\n,\nalbo\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\n,\nalbo\n wysokości trapezu\n10\nAD \nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\nObliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu:\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstaw trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni\n90\n3 10\nCD \n\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie pola trapezu:\n35\nP \n25\nUwaga\nJeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości\npodstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd\nnieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie\nobliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.\nIII sposób rozwiązania\nWyznaczamy równanie prostej AB:\n4\n8\n12\n3\n2\n2\n4\na\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n3\n2\n8\ny\nx\n\n\n. Zatem 3\n2\n0\nx\ny\n\n\n\nObliczamy wysokość trapezu (wyznaczamy odległość punktu C od prostej AB):\n6\n2\n2\n10\n10","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Dana jest funkcja określona wzorem



2
1
dla
, 2
( )
2
1 dla
2,
x
x
f x
x
x









. Miejscem zerowym
tej funkcji jest liczba
A. 1
B. 1
2
C.
1
2

D. 1

W zadaniach 11. i 12. wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji f i g.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
( )
f x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
( )
g x

","answer_text_html":"

10 zł
10 zł
10 zł
10 zł
10 zł
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 punkty
 uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych
48

i zaznaczy w tabeli
zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu A i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje
błędnie,
albo
 uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych
48

i zaznaczy w tabeli
zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu
A i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje
błędnie.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty
 uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
20
A 
i na tym zakończy lub
dalej rozwiązuje błędnie,
albo
 uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
28
A 
i na tym zakończy lub
dalej rozwiązuje błędnie.
Rozwiązanie pełne 4 punkty
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i zapisanie wyniku w postaci ułamka
nieskracalnego 
5
12
P A 
21
50
20
10
1
6
2
6
3
6
2
8
2
8
50
20
10
50
20
10
50
20
10
1
8
5
8
1
8
5
8
2
8
1
8
5
8
III sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Rysujemy
drzewo
uwzględniając
tylko
istotne
gałęzie
i
zapisujemy
na
nich
prawdopodobieństwo.
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
1 2
1 1
1 5
2 2
2 1
3 2
2 1 5
4
2
6
20
5
( )
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
48
12
P A



















Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 punkty
Uczeń narysuje drzewo uwzględniającego tylko istotne gałęzie i zapisze na nich
prawdopodobieństwo.
Uwaga
Jeżeli zdający narysuje drzewo uwzględniające tylko istotne gałęzie i nie zapisze na nich
prawdopodobieństwa, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty
Uczeń zapisze
1 2
1 1
1 5
2 2
2 1
3 2
( )
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
P A 











i nie poda wyniku w postaci
ułamka nieskracalnego.
Rozwiązanie pełne 4 punkty
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:

5
12
P A 
Uwagi

\n
  1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
\n

( )
1
P A , to za takie rozwiązanie
przyznajemy 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia metodą drzewa i otrzymany
\n

wynik podzieli przez 48, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający opuści w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie obliczy
\n

prawdopodobieństwo, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.:
\n

6
5
48
20
)
(


A
P
, to za takie rozwiązanie przyznajemy 3 punkty.
22
Zadanie 32. (5 pkt)
Punkty o współrzędnych


2, 8
A 

,


2,4
B 
,


2,2
C 
są wierzchołkami trapezu.
Ramię trapezu AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzędne punktu D oraz
pole powierzchni tego trapezu.
I sposób rozwiązania
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB:
4
8
12
3
2
2
4
a





, stąd


3
2
8
y
x


. Zatem
3
2
y
x


Wyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:


3
2
2
y
x



, stąd
3
8
y
x

.
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt A:
Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy 3, stąd współczynnik kierunkowy prostej
AD jest równy
1
3

. Zatem prosta AD ma równanie
1
26
3
3
y
x


Obliczamy współrzędne punktu D rozwiązując układ równań
3
8
1
26
3
3
y
x
y
x






Punkt D ma współrzędne


5, 7
D 

Obliczamy długości podstaw i wysokość trapezu:
160
4 10
AB 

,
90
3 10
CD 

i
10
AD 
Obliczamy pole trapezu:


1
4 10
3 10
10
35
2
P 




Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
 Wyznaczenie równania prostej AB:
3
2
y
x


albo
 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:
3
a 
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie równania prostej równoległej do prostej AB:
3
8
y
x

 i równania prostej
prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt A:
1
26
3
3
y
x


Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Wyznaczenie współrzędnych punktu


5, 7
D 

oraz obliczenie jednej z wielkości:
 długości podstawy trapezu
160
4 10
AB 

,
albo
 długości podstawy trapezu
90
3 10
CD 

,
albo
 wysokości trapezu
10
AD 
23
Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Obliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu:
 długości podstawy trapezu
90
3 10
CD 

i wysokości trapezu
10
AD 
albo
 długości podstawy trapezu
160
4 10
AB 

i wysokości trapezu
10
AD 
albo
 długości podstaw trapezu
160
4 10
AB 

i
90
3 10
CD 

Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie pola trapezu:
35
P 
Uwaga
Jeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości
podstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd
nieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie
obliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.
II sposób rozwiązania
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB:
4
8
12
3
2
2
4
a





, stąd


3
2
8
y
x


. Zatem
3
2
y
x


Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:


1
2
2
3
y
x



, stąd
1
4
3
3
y
x


Prosta prostopadła do AB i przechodząca przez punkt C przecina prostą AB w punkcie E.
Obliczamy współrzędne punktu E rozwiązując układ równań
3
2
1
4
3
3
y
x
y
x






Punkt E ma współrzędne punktu wynoszą


1,1
E 
Obliczamy wysokość trapezu CE:
9 1
10
CE 


Obliczamy długości podstaw trapezu:
160
4 10
AB 

i CD
AE

lub CD
AB
EB


(bo trapez jest prostokątny).
Zatem
9
81
90
3 10
CD
AE





lub
4 10
10
3 10
CD 


Obliczamy pole trapezu:


1
4 10
3 10
10
35
2
P 




Obliczamy
współrzędne
punktu
D
(porównując
wektory
EC
AD



).
Stąd



3,1
2,
8
D
D
x
y




. Zatem
2
3
D
x 
 i y
8
1
D 
, czyli


5, 7
D 

24
Uwaga
Współrzędne punktu D możemy obliczyć jak poniżej:
Wyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej CE i przechodzącej przez punkt A:


1
2
8
3
y
x


. Stąd współrzędne punktu
1
26
,
3
3
D
D
D
x
x









AD
CE

więc 

2
2
1
2
2
10
3
3
D
D
x
x










, stąd 



2
2
1
2
2
10
9
D
D
x
x




Otrzymujemy równanie

2
2
9
D
x 

, które rozwiązaniem są
5
D
x  i
1
D
x .
Obliczamy drugą współrzędną punktu D:
7
D
y  i
9
D
y .
Druga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt D ma współrzędne:


5, 7
D 

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
 Wyznaczenie równania prostej AB:
3
2
y
x


albo
 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:
3
a 
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:
1
26
3
3
y
x


i wyznaczenie współrzędnych punktu


1,1
E 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Wyznaczenie współrzędnych punktu


5, 7
D 

oraz obliczenie jednej z wielkości:
 długości podstawy trapezu
160
4 10
AB 

,
albo
 długości podstawy trapezu
90
3 10
CD 

,
albo
 wysokości trapezu
10
AD 
Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Obliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu:
 długości podstawy trapezu
90
3 10
CD 

i wysokości trapezu
10
AD 
albo
 długości podstawy trapezu
160
4 10
AB 

i wysokości trapezu
10
AD 
albo
 długości podstaw trapezu
160
4 10
AB 

i
90
3 10
CD 

Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie pola trapezu:
35
P 
25
Uwaga
Jeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości
podstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd
nieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie
obliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.
III sposób rozwiązania
Wyznaczamy równanie prostej AB:
4
8
12
3
2
2
4
a





, stąd


3
2
8
y
x


. Zatem 3
2
0
x
y



Obliczamy wysokość trapezu (wyznaczamy odległość punktu C od prostej AB):
6
2
2
10
10

","solutions":[]}