{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym \n\nna\ndane są:\n1\n3\n4\na \ni\n2\n1\na . Wtedy wyraz\n5a jest równy\nA. 256\n81\nB. 64\n27\nC. 16\n9\nD. 9\n16","answer":"B","answer_text":"14 dni pracy)\n14\n448\nS\n\nzł.\nIII sposób rozwiązania\nWyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego\n40\nr \nlub\n2\nr , a następnie bezpośrednio\nsumę czternastu wyrazów tego ciągu\n14\n8960\nS\n\nlub\n14\n448\nS\n\nZapisujemy odpowiedź: Przemek zarobił 448 zł.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym i wyznaczy różnicę tego\nciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,\nalbo\n popełni błąd rachunkowy w wyznaczeniu różnicy i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu obliczy jaką kwotę zarobił Przemek.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy obliczy kwotę jaką w czasie 14 dni pracy: 448 zł.\nUwagi\n1. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np. 900\n860\n820\n380\n\n\n\n\ni poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.\n2. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np. 45\n43\n41 39\n19\n\n\n\n\n\ni poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.\n3. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu (np. tak jak w uwadze 1 lub 2) i popełni błąd\nrachunkowy, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.\n4. Jeśli zdający zapisze poprawną odpowiedź (bez uzasadnienia) to otrzymuje 0 punktów.\n13\nZadanie 29. (2 pkt)\nDany jest kwadrat ABCD. Na przekątnej BD obrano dwa różne punkty K i L, takie że\nBK\nDL\n\n(zobacz rysunek). Uzasadnij, że czworokąt AKCL jest rombem.\nI sposób rozwiązania\nPrzekątna BD to dwusieczna kąta prostego, stąd\n45\nADL\nCDL\nCBK\nABK\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ założenia mamy DL\nBK\n\noraz AB\nBC\nCD\nDA\n\n\n\nTrójkąty ADL, CDL, CBK, ABK są przystające (cecha bkb), stąd AL\nCL\nCK\nAK\n\n\n\nZatem czworokąt AKCL jest rombem.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zapisze, że trójkąty ADL, CDL, CBK, ABK są przystające,\nalbo\n zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach\nADL, CDL, CBK, ABK\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL\njest rombem.\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nO\n14\nII sposób rozwiązania\nTrójkąty AOL, AOK, COK, COL są prostokątne, bo przekątne kwadratu są prostopadłe.\nPonieważ\nDL\nKB\n\n, OD\nOB\n\ni\nLO\nOD\nDL\n\n\noraz OK\nOB\nKB\n\n\n, zatem\nLO\nOK\n\n. Wiemy, że AO\nOC\n\nTrójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające (cecha bkb), stąd AL\nCL\nCK\nAK\n\n\n\nZatem czworokąt AKCL jest rombem.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zapisze, że trójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające,\nalbo\n zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach\nADL, CDL, CBK, ABK\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL\njest rombem.\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nO\n15\nIII sposób rozwiązania\nPrzekątne czworokąta AKCL pokrywają się z przekątnymi kwadratu, zatem są prostopadłe.\nPunkt przecięcia przekątnych kwadratu O, dzieli przekątne AC i BD na połowy. Stąd\nOD\nOB\n\noraz AO\nOC\n\nZ założenia mamy DL\nKB\n\nDodatkowo LO\nOD\nDL\n\n\noraz OK\nOB\nKB\n\n\n, zatem LO\nOK\n\nW czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe i punkt ich przecięcia O dzieli je na połowy.\nZatem czworokąt AKCL jest rombem.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zapisze, że AO\nOC\n\n,\nalbo\n zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zaznaczy na rysunku, że\nAO\nOC\n\n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy uzasadni, że LO\nOK\n\noraz zapisze, że w czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe\ni ich punkt przecięcia O dzieli je na połowy. Zatem czworokąt AKCL jest rombem.\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nO\n16\nA\nD\nE\nC\nB\n\nA\nD\nC\nB\n\n\nZadanie 30. (2 pkt)\nDany jest romb ABCD o boku długości 16 i polu powierzchni równym 128 3 . Oblicz\ndługość dłuższej przekątnej tego rombu.\nI sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia\n16\nAB\nBC\nCD\nDA\na\n\n\n\n\n\n, DE\nh\n\nObliczamy wysokość rombu:\n128 3\n128 3\n8 3\n16\nh\na\n\n\n\nTrójkąt AED jest prostokątny, więc\n2\n2\n2\nAE\nh\na\n\n\n. Stąd\n=8\nAE\n. Zatem\nAE\nEB\n\nAB\nAD\n\ni AE\nEB\n\nstąd trójkąty AED i EBD są przystające, zatem trójkąt ABD jest\nrównoboczny.\nDłuższa przekątna rombu jest równa\n2\n16 3\nAC\nh\n\n\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy pole rombu za pomocą wzoru\n2 sin\nABCD\nP\na\n\n\n, stąd\n2\n128 3\n16\nsin\n\n\n. Zatem\n3\nsin\n2\n\ni wtedy\n=60\n\n.\nAB\nAD\n\ni\n=60\n\n, zatem trójkąt ABD jest równoboczny.\nDłuższa przekątna jest równa\n2\n16 3\nAC\nh\n\n\nUwaga\nUczeń może zauważyć, że\n1\n2\nABCD\nP\nBD\nAC\n\n\n\n. Zatem\n1 16\n128 3\n2\nAC\n\n\n\n, stąd","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
W ciągu geometrycznym 

na
dane są:
1
3
4
a 
i
2
1
a . Wtedy wyraz
5a jest równy
A. 256
81
B. 64
27
C. 16
9
D. 9
16

","answer_text_html":"

14 dni pracy)
14
448
S

zł.
III sposób rozwiązania
Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego
40
r 
lub
2
r , a następnie bezpośrednio
sumę czternastu wyrazów tego ciągu
14
8960
S

lub
14
448
S

Zapisujemy odpowiedź: Przemek zarobił 448 zł.
Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zauważy, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym i wyznaczy różnicę tego
ciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,
albo
 popełni błąd rachunkowy w wyznaczeniu różnicy i konsekwentnie do popełnionego
błędu obliczy jaką kwotę zarobił Przemek.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy obliczy kwotę jaką w czasie 14 dni pracy: 448 zł.
Uwagi

\n
  1. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np. 900
\n

860
820
380




i poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np. 45
\n

43
41 39
19





i poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu (np. tak jak w uwadze 1 lub 2) i popełni błąd
\n

rachunkowy, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.

\n
  1. Jeśli zdający zapisze poprawną odpowiedź (bez uzasadnienia) to otrzymuje 0 punktów.
\n

13
Zadanie 29. (2 pkt)
Dany jest kwadrat ABCD. Na przekątnej BD obrano dwa różne punkty K i L, takie że
BK
DL

(zobacz rysunek). Uzasadnij, że czworokąt AKCL jest rombem.
I sposób rozwiązania
Przekątna BD to dwusieczna kąta prostego, stąd
45
ADL
CDL
CBK
ABK









Z założenia mamy DL
BK

oraz AB
BC
CD
DA



Trójkąty ADL, CDL, CBK, ABK są przystające (cecha bkb), stąd AL
CL
CK
AK



Zatem czworokąt AKCL jest rombem.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zapisze, że trójkąty ADL, CDL, CBK, ABK są przystające,
albo
 zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach
ADL, CDL, CBK, ABK
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL
jest rombem.
D
C
B
A

 K
L
D
C
B
A

 K
L
O
14
II sposób rozwiązania
Trójkąty AOL, AOK, COK, COL są prostokątne, bo przekątne kwadratu są prostopadłe.
Ponieważ
DL
KB

, OD
OB

i
LO
OD
DL


oraz OK
OB
KB


, zatem
LO
OK

. Wiemy, że AO
OC

Trójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające (cecha bkb), stąd AL
CL
CK
AK



Zatem czworokąt AKCL jest rombem.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zapisze, że trójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające,
albo
 zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach
ADL, CDL, CBK, ABK
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL
jest rombem.
D
C
B
A

 K
L
O
15
III sposób rozwiązania
Przekątne czworokąta AKCL pokrywają się z przekątnymi kwadratu, zatem są prostopadłe.
Punkt przecięcia przekątnych kwadratu O, dzieli przekątne AC i BD na połowy. Stąd
OD
OB

oraz AO
OC

Z założenia mamy DL
KB

Dodatkowo LO
OD
DL


oraz OK
OB
KB


, zatem LO
OK

W czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe i punkt ich przecięcia O dzieli je na połowy.
Zatem czworokąt AKCL jest rombem.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zapisze, że AO
OC

,
albo
 zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zaznaczy na rysunku, że
AO
OC

,
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy uzasadni, że LO
OK

oraz zapisze, że w czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe
i ich punkt przecięcia O dzieli je na połowy. Zatem czworokąt AKCL jest rombem.
D
C
B
A

 K
L
O
16
A
D
E
C
B

A
D
C
B


Zadanie 30. (2 pkt)
Dany jest romb ABCD o boku długości 16 i polu powierzchni równym 128 3 . Oblicz
długość dłuższej przekątnej tego rombu.
I sposób rozwiązania
Wprowadzamy oznaczenia
16
AB
BC
CD
DA
a





, DE
h

Obliczamy wysokość rombu:
128 3
128 3
8 3
16
h
a



Trójkąt AED jest prostokątny, więc
2
2
2
AE
h
a


. Stąd
=8
AE
. Zatem
AE
EB

AB
AD

i AE
EB

stąd trójkąty AED i EBD są przystające, zatem trójkąt ABD jest
równoboczny.
Dłuższa przekątna rombu jest równa
2
16 3
AC
h


II sposób rozwiązania
Zapisujemy pole rombu za pomocą wzoru
2 sin
ABCD
P
a


, stąd
2
128 3
16
sin


. Zatem
3
sin
2

i wtedy
=60

.
AB
AD

i
=60

, zatem trójkąt ABD jest równoboczny.
Dłuższa przekątna jest równa
2
16 3
AC
h


Uwaga
Uczeń może zauważyć, że
1
2
ABCD
P
BD
AC



. Zatem
1 16
128 3
2
AC



, stąd

","solutions":[]}