{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nPrzedział \n\n5,3\n\njest zbiorem rozwiązań nierówności\nA.\n4\n1\n\nx\nB.\n5\n3 \n\nx\nC.\n5\n3\n\nx\nD.\n4\n1 \n\nx","answer":"A","answer_text":"2. Jeżeli zdający zapisze równanie kwadratowe z błędem i jeden z pierwiastków będzie\nrówny 0, to za takie rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3\nZadanie 26. (2 pkt)\nWykaż, że jeśli\n0\nx \ni\n0\ny \n, to\n2\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\nI sposób rozwiązania\nPrzekształcamy nierówność\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n2\n2\ndo postaci\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nSprowadzamy lewą stronę otrzymanej nierówności do postaci iloczynowej, wykorzystując np.\nwzory skróconego mnożenia:\nxy\ny\nx\ny\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\nxy\nx\ny\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n)\n)(\n(\n)\n(\n)\n)(\n(\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nxy \ni\n0\nx\ny\n\n\n, natomiast nierówność\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\njest prawdziwa dla dowolnych x i y , zatem\n2\n(\n)(\n)\n0\nx\ny x\ny\nxy\n\n\n\n. Co kończy dowód.\nUwaga\nUczeń może lewą stronę nierówności\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nprzekształcić do postaci\niloczynowej, grupując wyrazy:\nxy\ny\nx\ny\nx\nxy\ny\nx\ny\ny\nx\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n)\n)(\n(\n)\n(\n)\n(\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\n zapisze lewą stronę nierówności\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nw postaci\nxy\ny\nx\nxy\ny\nxy\nx\ny\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n)\n(\n)\n)(\n(\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,\nalbo\n zapisze lewą stronę nierówności\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nw postaci\nxy\ny\nx\ny\ny\nx\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n)\n(\n)\n(\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\n4\nII sposób rozwiązania\nMnożymy obie strony nierówności\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n2\n2\nprzez xy (z założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n) i zapisujemy nierówność w postaci\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nStosujemy wzór skróconego mnożenia i zapisujemy nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nw postaci\nnp.\nxy\ny\nx\ny\nxy\nx\ny\nx\n)\n(\n)\n)(\n(\n2\n2\n\n\n\n\n\nNastępnie sprowadzamy nierówność do postaci:\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\nZ założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nx\ny\n\n\n, natomiast nierówność\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\njest\nprawdziwa dla dowolnych x i y , zatem\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\n. Co kończy dowód.\nUwaga\nUczeń może przekształcić nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\ndo postaci\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\n\n,\nnastępnie\npogrupować\nwyrazy\ni\nzapisać\nlewą\nstronę\nnierówności\nw\npostaci\n0\n)\n(\n)\n(\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\ny\ny\nx\nx\nSchemat oceniania II sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\n zapisze nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nw postaci\nxy\ny\nx\ny\nxy\nx\ny\nx\n)\n(\n)\n)(\n(\n2\n2\n\n\n\n\n\n,\nalbo\n zapisze nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nw postaci\n0\n)\n(\n)\n(\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\ny\ny\nx\nx\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający podstawi konkretne wartości w miejsce x i y , to przyznajemy 0 punktów.\nIII sposób rozwiązania\nDla dowolnych x i y , prawdziwa jest nierówność:\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\nZ założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nx\ny\n\n\n, zatem\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\nStosujemy wzór skróconego mnożenia i redukcję wyrazów i przekształcamy lewą stronę\nnierówności\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\ndo postaci:\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\n\n, a następnie do postaci\n3\n3\n(\n)\nx\ny\nxy x\ny\n\n\n\nDzielimy obie strony nierówności\n3\n3\n(\n)\nx\ny\nxy x\ny\n\n\n\nprzez xy (z założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nxy \n) i wnioskujemy, że\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n2\n2\n5\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy korzystając z założenia\n0\nx \ni\n0\ny \n, doprowadzi nierówność\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\ndo\nnierówności\n0\n2\n2\n3\n3\n\n\n\n\nxy\ny\nx\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nZdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadniając daną nierówność nie zapisze, że\n0\nx\ny\n\n\ni\n0\nx y\n\n\n6\nZadanie 27. (2 pkt)\nDany jest trapez ABCD. Dłuższa podstawa AB ma długość m, pozostałe trzy boki trapezu są\nrównej długości. Przedłużenia ramion trapezu AD i BC przecinają się w punkcie E pod kątem\n\n2\n. Oblicz obwód tego trapezu.\nI sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\ni AB\nm\n\nZauważamy, że trójkąty ADE i AGF są podobne, zatem\nADE\nAGF\n\n\n\n\n\nRóżnica między długościami podstaw trapezu jest równa\nAB\nCD\nm\nx\n\n\n\n. Stąd\n2\nm\nx\nAE\n\n\nTrójkąt ADE jest prostokątny, zatem\n2\nsin\nm\nx\nAE\nAD\nx\n\n\n\n\n. Stąd\n1\nsin\n2\n\n\n\nm\nx\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 2. (1 pkt)
Przedział 

5,3

jest zbiorem rozwiązań nierówności
A.
4
1

x
B.
5
3 

x
C.
5
3

x
D.
4
1 

x

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający zapisze równanie kwadratowe z błędem i jeden z pierwiastków będzie
\n

równy 0, to za takie rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
3
Zadanie 26. (2 pkt)
Wykaż, że jeśli
0
x 
i
0
y 
, to
2
2
x
y
x
y
y
x



I sposób rozwiązania
Przekształcamy nierówność
y
x
x
y
y
x



2
2
do postaci
0
2
2




y
x
x
y
y
x
Sprowadzamy lewą stronę otrzymanej nierówności do postaci iloczynowej, wykorzystując np.
wzory skróconego mnożenia:
xy
y
x
y
x
xy
y
x
xy
y
xy
x
y
x
xy
xy
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
2
2
2
2
2
3
3
2
2
)
)(
(
)
(
)
)(
(
















Z założenia mamy
0
x 
i
0
y 
, stąd
0
xy 
i
0
x
y


, natomiast nierówność
0
)
(
2 
y
x
jest prawdziwa dla dowolnych x i y , zatem
2
(
)(
)
0
x
y x
y
xy



. Co kończy dowód.
Uwaga
Uczeń może lewą stronę nierówności
0
2
2




y
x
x
y
y
x
przekształcić do postaci
iloczynowej, grupując wyrazy:
xy
y
x
y
x
xy
y
x
y
y
x
x
xy
xy
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
2
2
2
2
2
3
3
2
2
)
)(
(
)
(
)
(














Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy
 zapisze lewą stronę nierówności
0
2
2




y
x
x
y
y
x
w postaci
xy
y
x
xy
y
xy
x
y
x
xy
xy
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
)
(
)
)(
(
2
2
2
2
3
3
2
2













i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,
albo
 zapisze lewą stronę nierówności
0
2
2




y
x
x
y
y
x
w postaci
xy
y
x
y
y
x
x
xy
xy
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
)
(
)
(
2
2
2
2
3
3
2
2











i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
4
II sposób rozwiązania
Mnożymy obie strony nierówności
y
x
x
y
y
x



2
2
przez xy (z założenia mamy
0
x 
i
0
y 
) i zapisujemy nierówność w postaci
3
3
2
2
x
y
x y
xy



Stosujemy wzór skróconego mnożenia i zapisujemy nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy



w postaci
np.
xy
y
x
y
xy
x
y
x
)
(
)
)(
(
2
2





Następnie sprowadzamy nierówność do postaci:
0
)
)(
(
2 


y
x
y
x
Z założenia mamy
0
x 
i
0
y 
, stąd
0
x
y


, natomiast nierówność
0
)
(
2 
y
x
jest
prawdziwa dla dowolnych x i y , zatem
0
)
)(
(
2 


y
x
y
x
. Co kończy dowód.
Uwaga
Uczeń może przekształcić nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy



do postaci
3
3
2
2
0
x
y
x y
xy




,
następnie
pogrupować
wyrazy
i
zapisać
lewą
stronę
nierówności
w
postaci
0
)
(
)
(
2
2




y
x
y
y
x
x
Schemat oceniania II sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy
 zapisze nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy



w postaci
xy
y
x
y
xy
x
y
x
)
(
)
)(
(
2
2





,
albo
 zapisze nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy



w postaci
0
)
(
)
(
2
2




y
x
y
y
x
x
,
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający podstawi konkretne wartości w miejsce x i y , to przyznajemy 0 punktów.
III sposób rozwiązania
Dla dowolnych x i y , prawdziwa jest nierówność:
0
)
(
2 
y
x
Z założenia mamy
0
x 
i
0
y 
, stąd
0
x
y


, zatem
0
)
)(
(
2 


y
x
y
x
Stosujemy wzór skróconego mnożenia i redukcję wyrazów i przekształcamy lewą stronę
nierówności
0
)
)(
(
2 


y
x
y
x
do postaci:
3
3
2
2
0
x
y
x y
xy




, a następnie do postaci
3
3
(
)
x
y
xy x
y



Dzielimy obie strony nierówności
3
3
(
)
x
y
xy x
y



przez xy (z założenia mamy
0
x 
i
0
y 
, stąd
0
xy 
) i wnioskujemy, że
y
x
x
y
y
x



2
2
5
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy korzystając z założenia
0
x 
i
0
y 
, doprowadzi nierówność
0
)
(
2 
y
x
do
nierówności
0
2
2
3
3




xy
y
x
y
x
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwaga
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadniając daną nierówność nie zapisze, że
0
x
y


i
0
x y


6
Zadanie 27. (2 pkt)
Dany jest trapez ABCD. Dłuższa podstawa AB ma długość m, pozostałe trzy boki trapezu są
równej długości. Przedłużenia ramion trapezu AD i BC przecinają się w punkcie E pod kątem

2
. Oblicz obwód tego trapezu.
I sposób rozwiązania
Wprowadzamy oznaczenia AD
BC
CD
x



i AB
m

Zauważamy, że trójkąty ADE i AGF są podobne, zatem
ADE
AGF





Różnica między długościami podstaw trapezu jest równa
AB
CD
m
x



. Stąd
2
m
x
AE


Trójkąt ADE jest prostokątny, zatem
2
sin
m
x
AE
AD
x




. Stąd
1
sin
2



m
x
Wyznaczamy obwód trapezu ABCD:


2
sin
2
2
sin
4
3
3

","solutions":[]}