{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nDana jest liczba\n4\n2log 8\nx \n. Wtedy\nA.\n2\nx \nB.\n3\nx \nC.\n64\nx \nD.\n256\nx ","answer":"B","answer_text":"3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nAD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\nzauważy, że trójkąty ADE i AGF są podobne oraz zapisze równość\n2\nsin\nm\nx\nx\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\nE\n\n\n\n\n7\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\n\nE\n\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n2. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\nII sposób rozwiązania\nZauważamy, że trójkąty ABG i DCG są podobne.\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\n, DG\nCG\ny\n\n\ni AB\nm\n\nTrójkąty ABG i DCG są podobne, zatem DC\nDG\nAB\nAG\n\n. Stąd x\ny\nm\nx\ny\n\n\nTrójkąt DFG jest prostokątny, zatem\n2\nsin\nx\nDF\nDG\ny\n\n\n. Stąd\n1\n2\nsin\n2sin\nx\nx\ny\n\n\n\n\nPodstawiamy\n2sin\nx\ny\n\n\ndo równania x\ny\nm\nx\ny\n\n\ni otrzymujemy\n1\nsin\n2\n\n\n\nm\nx\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3\n3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nCD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n8\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\n\nE\n\nSchemat oceniania II sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\nzauważy, że trójkąty ABG i DCG są podobne, stąd\nx\ny\nm\nx\ny\n\n\noraz zauważy, że\n2\nsin\nx\nDF\nDG\ny\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\nUwagi\n1. Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów.\n2. Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa\ntrójkątów.\n3. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Dana jest liczba
4
2log 8
x 
. Wtedy
A.
2
x 
B.
3
x 
C.
64
x 
D.
256
x 

","answer_text_html":"

3 2sin
1
2sin
1
2sin
1
m
m
m
m
O
AB
AD
m
x
m


















Schemat oceniania I sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy
zauważy, że trójkąty ADE i AGF są podobne oraz zapisze równość
2
sin
m
x
x



Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy wyznaczy obwód trapezu


2
sin
2
2sin
1
m
O





A
B
C
D
G
F
E




7

A
B
C
D
G
F

E

Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie
\n

obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.

\n
  1. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.
\n

II sposób rozwiązania
Zauważamy, że trójkąty ABG i DCG są podobne.
Wprowadzamy oznaczenia AD
BC
CD
x



, DG
CG
y


i AB
m

Trójkąty ABG i DCG są podobne, zatem DC
DG
AB
AG

. Stąd x
y
m
x
y


Trójkąt DFG jest prostokątny, zatem
2
sin
x
DF
DG
y


. Stąd
1
2
sin
2sin
x
x
y




Podstawiamy
2sin
x
y


do równania x
y
m
x
y


i otrzymujemy
1
sin
2



m
x
Wyznaczamy obwód trapezu ABCD:


2
sin
2
2
sin
4
3
3
3 2sin
1
2sin
1
2sin
1
m
m
m
m
O
AB
CD
m
x
m


















8

A
B
C
D
G
F

E

Schemat oceniania II sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy
zauważy, że trójkąty ABG i DCG są podobne, stąd
x
y
m
x
y


oraz zauważy, że
2
sin
x
DF
DG
y


Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy wyznaczy obwód trapezu


2
sin
2
2sin
1
m
O





Uwagi

\n
  1. Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów.
  2. Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa
\n

trójkątów.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie
\n

obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.

","solutions":[]}