{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba 30 jest przybliżeniem z nadmiarem liczby a. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest\nrówny 2,31. Wtedy\nA.\n27,69\na \nB.\n28,31\na \nC.\n30,31\na \nD.\n32,31\na ","answer":"A","answer_text":"4. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\nIII sposób rozwiązania\nZauważamy, że trójkąty ABG i DCG są podobne.\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\n, DG\nCG\ny\n\n\ni AB\nm\n\nTrójkąty ABG i DCG są podobne, zatem DC\nDG\nAB\nAG\n\n. Stąd x\ny\nm\nx\ny\n\n\n9\nTrójkąt AEG jest prostokątny, zatem\n2\nsin\nm\nAE\nAG\nx\ny\n\n\n\n. Stąd\nsin\n2\nsin\nm\nx\ny\n\n\n\n\nPodstawiamy\nsin\n2\nsin\nm\nx\ny\n\n\n\n\ndo równania x\ny\nm\nx\ny\n\n\ni otrzymujemy\n1\nsin\n2\n\n\n\nm\nx\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3\n3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nCD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\nGdy zauważy, że trójkąty ABG i DCG są podobne, stąd x\ny\nm\nx\ny\n\n\noraz zauważy, że\n2\nsin\nm\nAE\nAG\nx\ny\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\nUwagi\n1. Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów.\n2. Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa\ntrójkątów.\n3. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n4. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\n10\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\nE\n\n\n\nH\nIV sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\n, DE\nh\n\ni AB\nm\n\nZauważamy, że trójkąty ADE i AGF są podobne, zatem\nADE\nAGF\n\n\n\n\n\nTrójkąt ADE jest prostokątny, zatem cos\nDE\nh\nAD\nx\n\n\ni sin\nAE\nAD\n\n. Stąd\ncos\nDE\nh\nx\n\n\n\ni\nsin\nAE\nx\n\n\nZapisujemy pole trapezu ABCD na dwa sposoby:\n\n\n1\n2\nABCD\nP\nAB\nCD\nDE\n\n\n\n\ni\n1\n1\n2\n2\nABCD\nP\nAE\nDE\nDC\nDE\nHB\nCH\n\n\n\n\n\n\n\n\nOtrzymujemy równanie:\n1\ncos\ncos\n2\nsin\ncos\n2\n2\nm\nx x\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPo przekształceniach otrzymujemy\n1\n2sin\nm\nx\n\n\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3\n3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nCD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania IV sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy zapisze równanie\n1\ncos\ncos\n2\nsin\ncos\n2\n2\nm\nx x\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\n11\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n2. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\n12\nZadanie 28. (2 pkt)\nPrzemek w czasie ferii zimowych podjął pracę w firmie „Ulotek-express”. Pierwszego dnia\nrozniósł 900 ulotek, każdego następnego dnia o 40 mniej niż poprzedniego. Za dostarczenie\njednej ulotki firma płaci 5 groszy. Jaką kwotę zarobił Przemek w czasie 14 dni pracy?\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego\n40\nr \n, a następnie czternasty wyraz ciągu\n\n\n14\n900 13\n40\n380\na\n\n\n\n\nObliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli liczbę ulotek, jaką rozniósł Przemek)\n14\n8960\nS\n\nObliczamy jaką kwotę zarobił Przemek: 8960 5groszy\n448\n\n\nzł.\nII sposób rozwiązania\nObliczamy kwotę, którą zarobił Przemek pierwszego dnia: 900 5groszy\n45\n\n\nzł.\nWyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego\n40 0,05\n2\nr \n\n, a następnie czternasty wyraz\nciągu\n\n\n14\n45 13\n2\n19\na\n\n\n\n\nObliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli kwotę, jaką zarobił Przemek w czasie","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba 30 jest przybliżeniem z nadmiarem liczby a. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest
równy 2,31. Wtedy
A.
27,69
a 
B.
28,31
a 
C.
30,31
a 
D.
32,31
a 

","answer_text_html":"
  1. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.
\n

III sposób rozwiązania
Zauważamy, że trójkąty ABG i DCG są podobne.
Wprowadzamy oznaczenia AD
BC
CD
x



, DG
CG
y


i AB
m

Trójkąty ABG i DCG są podobne, zatem DC
DG
AB
AG

. Stąd x
y
m
x
y


9
Trójkąt AEG jest prostokątny, zatem
2
sin
m
AE
AG
x
y



. Stąd
sin
2
sin
m
x
y




Podstawiamy
sin
2
sin
m
x
y




do równania x
y
m
x
y


i otrzymujemy
1
sin
2



m
x
Wyznaczamy obwód trapezu ABCD:


2
sin
2
2
sin
4
3
3
3 2sin
1
2sin
1
2sin
1
m
m
m
m
O
AB
CD
m
x
m


















Schemat oceniania III sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
Gdy zauważy, że trójkąty ABG i DCG są podobne, stąd x
y
m
x
y


oraz zauważy, że
2
sin
m
AE
AG
x
y



Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy wyznaczy obwód trapezu


2
sin
2
2sin
1
m
O





Uwagi

\n
  1. Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów.
  2. Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa
\n

trójkątów.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie
\n

obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.

\n
  1. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.
\n

10

A
B
C
D
G
F
E



H
IV sposób rozwiązania
Wprowadzamy oznaczenia AD
BC
CD
x



, DE
h

i AB
m

Zauważamy, że trójkąty ADE i AGF są podobne, zatem
ADE
AGF





Trójkąt ADE jest prostokątny, zatem cos
DE
h
AD
x


i sin
AE
AD

. Stąd
cos
DE
h
x



i
sin
AE
x


Zapisujemy pole trapezu ABCD na dwa sposoby:


1
2
ABCD
P
AB
CD
DE




i
1
1
2
2
ABCD
P
AE
DE
DC
DE
HB
CH








Otrzymujemy równanie:
1
cos
cos
2
sin
cos
2
2
m
x x
x x
x
x











Po przekształceniach otrzymujemy
1
2sin
m
x


Wyznaczamy obwód trapezu ABCD:


2
sin
2
2
sin
4
3
3
3 2sin
1
2sin
1
2sin
1
m
m
m
m
O
AB
CD
m
x
m


















Schemat oceniania IV sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy zapisze równanie
1
cos
cos
2
sin
cos
2
2
m
x x
x x
x
x











Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy wyznaczy obwód trapezu


2
sin
2
2sin
1
m
O





11
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie
\n

obliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.

\n
  1. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.
\n

12
Zadanie 28. (2 pkt)
Przemek w czasie ferii zimowych podjął pracę w firmie „Ulotek-express”. Pierwszego dnia
rozniósł 900 ulotek, każdego następnego dnia o 40 mniej niż poprzedniego. Za dostarczenie
jednej ulotki firma płaci 5 groszy. Jaką kwotę zarobił Przemek w czasie 14 dni pracy?
I sposób rozwiązania
Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego
40
r 
, a następnie czternasty wyraz ciągu


14
900 13
40
380
a




Obliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli liczbę ulotek, jaką rozniósł Przemek)
14
8960
S

Obliczamy jaką kwotę zarobił Przemek: 8960 5groszy
448


zł.
II sposób rozwiązania
Obliczamy kwotę, którą zarobił Przemek pierwszego dnia: 900 5groszy
45


zł.
Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego
40 0,05
2
r 

, a następnie czternasty wyraz
ciągu


14
45 13
2
19
a




Obliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli kwotę, jaką zarobił Przemek w czasie

","solutions":[]}