{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nFunkcja\n\n\n\n( )\n2\n3\n4\nf x\nx\nx\n\n\n\nprzyjmuje wartości dodatnie dla\nA.\n\n\n\n\n, 4\n3,\nx\n\n\nB.\n\n\n\n\n, 3\n4,\nx\n\n\nC.\n\n\n3,4\nx\nD.\n\n\n4,3\nx","answer":"C","answer_text":"9 1\n10\nh\n\n\n\n\n\n\n\nWektor prostopadły do prostej AB ma współrzędne:\n\n\n= 3 ,\nu\nt\nt\n\n\n, gdzie\n\n\\ 0\nt\nR\n\nZatem\n2\n2\n= 9\n10\nh\nu\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\ni\n10\n10\nt \n\n, stąd\n1\nt  lub\n1\nt .\nProsta AD na równanie:\n2\n3\n8\nx\nt\ny\nt\n\n\n\n\n\nOtrzymujemy:\n5\nD\nx  i\n7\nD\ny  lub\n1\nD\nx  i\n9\nD\ny .\nDruga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt D ma współrzędne:\n\n\n5, 7\nD \n\nObliczamy długości podstaw trapezu:\n160\n4 10\nAB \n\ni\n90\n3 10\nCD \n\nObliczamy pole trapezu:\n\n\n1\n4 10\n3 10\n10\n35\n2\nP \n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWyznaczenie równania prostej AB: 3\n2\n0\nx\ny\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości trapezu:\n10\nh \noraz zapisanie współrzędnych wektora prostopadłego\ndo prostej AB w zależności od parametru t: np.\n\n\n= 3 ,\nu\nt\nt\n\n\n, gdzie\n\n\\ 0\nt\nR\n\noraz obliczenie\nwartości t, dla których długość wektora u\n\njest równa długości wysokości trapezu.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n5, 7\nD \n\noraz obliczenie długości jednej z podstaw\ntrapezu:\n160\n4 10\nAB \n\nalbo\n90\n3 10\nCD \n\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\n26\nObliczenie długości drugiej podstawy trapezu:\n90\n3 10\nCD \n\nalbo\n160\n4 10\nAB \n\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie pola trapezu:\n35\nP \nUwaga\nJeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości\npodstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd\nnieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie\nobliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.\n27\nZadanie 33. (5 pkt)\nSzkoła zakupiła na raty serwer za kwotę 5400 zł. Będzie go spłacała w równych miesięcznych\nratach. Gdyby okres spłaty skrócić o pół roku, wówczas kwota raty wzrosłaby o 75 zł. Jaka\nbyła miesięczna wysokość raty i przez jaki okres szkoła spłacała swoje zobowiązania\nfinansowe?\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę miesięcy spłacania zobowiązania i niech y oznacza wysokość\nmiesięcznej raty.\nZapisujemy układ:\n5400\n(\n6) (\n75)\n5400\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n5400\ny\nx\n\nalbo\n5400\nx\ny\n\nPodstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, np.:\n\n5400\n6\n75\n5400\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n\n\n5400\n6\n75\n5400\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np.:\n2\n75\n450\n32400\n0\nx\nx\n\n\n\nlub\n2\n6\n432\n0\nx\nx\n\n\n\nalbo\n2\n6\n450\n405000\n0\ny\ny\n\n\n\n\nlub\n2\n75\n67500\n0\ny\ny\n\n\n\n\nRozwiązujemy równanie kwadratowe:\n2\n1\n2\n75\n450\n32400\n0\n202500\n972000\n9922500\n3150\n450\n3150\n450\n3150\n0\nlub\n24\n150\n150\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n1\n2\n6\n432\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 9. (1 pkt)
Funkcja



( )
2
3
4
f x
x
x



przyjmuje wartości dodatnie dla
A.




, 4
3,
x


B.




, 3
4,
x


C.


3,4
x
D.


4,3
x

","answer_text_html":"

9 1
10
h







Wektor prostopadły do prostej AB ma współrzędne:


= 3 ,
u
t
t


, gdzie

\\ 0
t
R

Zatem
2
2
= 9
10
h
u
t
t
t





i
10
10
t 

, stąd
1
t  lub
1
t .
Prosta AD na równanie:
2
3
8
x
t
y
t





Otrzymujemy:
5
D
x  i
7
D
y  lub
1
D
x  i
9
D
y .
Druga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt D ma współrzędne:


5, 7
D 

Obliczamy długości podstaw trapezu:
160
4 10
AB 

i
90
3 10
CD 

Obliczamy pole trapezu:


1
4 10
3 10
10
35
2
P 




Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Wyznaczenie równania prostej AB: 3
2
0
x
y



Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie wysokości trapezu:
10
h 
oraz zapisanie współrzędnych wektora prostopadłego
do prostej AB w zależności od parametru t: np.


= 3 ,
u
t
t


, gdzie

\\ 0
t
R

oraz obliczenie
wartości t, dla których długość wektora u

jest równa długości wysokości trapezu.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Wyznaczenie współrzędnych punktu


5, 7
D 

oraz obliczenie długości jednej z podstaw
trapezu:
160
4 10
AB 

albo
90
3 10
CD 

Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
26
Obliczenie długości drugiej podstawy trapezu:
90
3 10
CD 

albo
160
4 10
AB 

Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie pola trapezu:
35
P 
Uwaga
Jeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości
podstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd
nieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie
obliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.
27
Zadanie 33. (5 pkt)
Szkoła zakupiła na raty serwer za kwotę 5400 zł. Będzie go spłacała w równych miesięcznych
ratach. Gdyby okres spłaty skrócić o pół roku, wówczas kwota raty wzrosłaby o 75 zł. Jaka
była miesięczna wysokość raty i przez jaki okres szkoła spłacała swoje zobowiązania
finansowe?
I sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę miesięcy spłacania zobowiązania i niech y oznacza wysokość
miesięcznej raty.
Zapisujemy układ:
5400
(

\n
  1. (
\n

75)
5400
x y
x
y









Z pierwszego równania wyznaczamy
5400
y
x

albo
5400
x
y

Podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, np.:

5400
6
75
5400
x
x









albo


5400
6
75
5400
y
y









Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np.:
2
75
450
32400
0
x
x



lub
2
6
432
0
x
x



albo
2
6
450
405000
0
y
y




lub
2
75
67500
0
y
y




Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
2
1
2
75
450
32400
0
202500
972000
9922500
3150
450
3150
450
3150
0
lub
24
150
150
x
x
x
x













lub
2
1
2
6
432
0

","solutions":[]}