{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nCenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu\nobniżek cena nart zmniejszyła się o\nA. 44%\nB. 50%\nC. 56%\nD. 60%\nCenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o A. 44%, B. 50%","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWersja\narkusza\nA\nWersja\narkusza\nB\nModelowanie matematyczne\nWykonanie obliczeń procentowych\n(III.1.d)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(9 + 4\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie przez sprzężenie (racjonalizacja mianownika)\n\nMianownik zawiera różnicę z pierwiastkiem: \\(\\sqrt{5} - 2\\). Aby go pozbyć, mnożymy licznik i mianownik przez **sprzężenie**, czyli \\(\\sqrt{5} + 2\\).\n\n\\[\n\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} = \\frac{(\\sqrt{5}+2) \\cdot (\\sqrt{5}+2)}{(\\sqrt{5}-2) \\cdot (\\sqrt{5}+2)}\n\\]\n\n**Mianownik** - korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\):\n\n\\[\n(\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2) = (\\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\n\\]\n\n**Licznik** - korzystamy ze wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\n\\[\n(\\sqrt{5}+2)^2 = (\\sqrt{5})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\\sqrt{5}\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\n\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} = \\frac{9 + 4\\sqrt{5}}{1} = \\boxed{9 + 4\\sqrt{5}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie przybliżonej wartości\n\nSprawdzamy numerycznie: \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\).\n\n**Lewa strona:**\n\\[\n\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} \\approx \\frac{2{,}236 + 2}{2{,}236 - 2} = \\frac{4{,}236}{0{,}236} \\approx 17{,}95\n\\]\n\n**Sprawdzamy każdą odpowiedź:**\n\n| Odp. | Wartość przybliżona |\n| A: \\(1\\) | \\(1\\) |\n| B: \\(-1\\) | \\(-1\\) |\n| C: \\(7 + 4\\sqrt{5}\\) | \\(7 + 4 \\cdot 2{,}236 \\approx 7 + 8{,}944 \\approx 15{,}94\\) |\n| **D: \\(9 + 4\\sqrt{5}\\)** | \\(9 + 4 \\cdot 2{,}236 \\approx 9 + 8{,}944 \\approx \\mathbf{17{,}94}\\) ✓ |\n\nTylko odpowiedź D pasuje do wyniku \\(\\approx 17{,}95\\). Potwierdzenie jest zgodne z Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[\na^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\n\\]\nUżyliśmy tego do uproszczenia mianownika: \\((\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2) = 5 - 4 = 1\\).\n\n\\[\n(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\n\\]\nUżyliśmy tego do rozwinięcia licznika: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 9 + 4\\sqrt{5}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\n(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\n\\]\nKluczowe przy obliczaniu \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(1\\) | Uczeń \"skraca\" \\(\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\) przez \\(\\sqrt{5}\\) lub myśli, że ułamek = 1, bo licznik i mianownik są \"podobne\". Skracanie jest tu niedopuszczalne - to suma, nie iloczyn! |\n| B: \\(-1\\) | Uczeń oblicza \\((\\sqrt{5}+2) - (\\sqrt{5}-2) \\cdot \\text{coś}\\) albo odejmuje zamiast dzielić. |\n| C: \\(7 + 4\\sqrt{5}\\) | Uczeń poprawnie stosuje metodę sprzężenia, ale w liczniku liczy \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\\sqrt{5} + 2 = 7 + 4\\sqrt{5}\\) - pomyłka: \\(2^2 = 2\\) zamiast \\(2^2 = 4\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"skracać\" \\(\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\) przez odejmowanie lub wyciąganie \\(\\sqrt{5}\\) - licznik i mianownik to sumy, nie iloczyny. Skracanie działa tylko przy mnożeniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((a+b)^2\\) pamiętaj o środkowym wyrazie \\(2ab\\). Bardzo częsty błąd: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\\) (pominięcie \\(4\\sqrt{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^2 = 4\\), nie \\(2\\). Dlatego w liczniku dostajemy \\(5 + 4\\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\\sqrt{5}\\), a nie \\(7 + 4\\sqrt{5}\\). To właśnie różnica między odpowiedzią C a D!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Usuwanie niewymierności przez sprzężenie\nMnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}+2\\) (sprzężenie mianownika):\n\\[\\dfrac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}+2} = \\dfrac{(\\sqrt{5}+2)^2}{(\\sqrt{5})^2 - 2^2} = \\dfrac{5 + 4\\sqrt{5} + 4}{5-4} = \\dfrac{9+4\\sqrt{5}}{1} = 9+4\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(\\sqrt{5}\\approx 2{,}236\\).\nL \\(= \\dfrac{2{,}236+2}{2{,}236-2} \\approx \\dfrac{4{,}236}{0{,}236} \\approx 17{,}94\\).\nP (odp. D) \\(= 9 + 4\\cdot 2{,}236 \\approx 9 + 8{,}944 \\approx 17{,}94\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - to byłoby, gdyby licznik równał się mianownikowi (nie jest tak).\n- **B. \\(-1\\)** - zły znak.\n- **C. \\(7+4\\sqrt{5}\\)** - błąd w kwadracie: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5+4\\sqrt{5}+4 = 9+4\\sqrt{5}\\), a nie \\(7+4\\sqrt{5}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\), \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu
obniżek cena nart zmniejszyła się o
A. 44%
B. 50%
C. 56%
D. 60%
Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o A. 44%, B. 50%

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wersja
arkusza
A
Wersja
arkusza
B
Modelowanie matematyczne
Wykonanie obliczeń procentowych
(III.1.d)
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(9 + 4\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 1 - Mnożenie przez sprzężenie (racjonalizacja mianownika)

\n

Mianownik zawiera różnicę z pierwiastkiem: \\(\\sqrt{5} - 2\\). Aby go pozbyć, mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie, czyli \\(\\sqrt{5} + 2\\).

\n

\\[
\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} = \\frac{(\\sqrt{5}+2) \\cdot (\\sqrt{5}+2)}{(\\sqrt{5}-2) \\cdot (\\sqrt{5}+2)}
\\]

\n

Mianownik - korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\):

\n

\\[
(\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2) = (\\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
\\]

\n

Licznik - korzystamy ze wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):

\n

\\[
(\\sqrt{5}+2)^2 = (\\sqrt{5})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\\sqrt{5}
\\]

\n

Zatem:

\n

\\[
\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} = \\frac{9 + 4\\sqrt{5}}{1} = \\boxed{9 + 4\\sqrt{5}}
\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie przybliżonej wartości

\n

Sprawdzamy numerycznie: \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\).

\n

Lewa strona:
\\[
\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} \\approx \\frac{2{,}236 + 2}{2{,}236 - 2} = \\frac{4{,}236}{0{,}236} \\approx 17{,}95
\\]

\n

Sprawdzamy każdą odpowiedź:

\n

| Odp. | Wartość przybliżona |
| A: \\(1\\) | \\(1\\) |
| B: \\(-1\\) | \\(-1\\) |
| C: \\(7 + 4\\sqrt{5}\\) | \\(7 + 4 \\cdot 2{,}236 \\approx 7 + 8{,}944 \\approx 15{,}94\\) |
| D: \\(9 + 4\\sqrt{5}\\) | \\(9 + 4 \\cdot 2{,}236 \\approx 9 + 8{,}944 \\approx \\mathbf{17{,}94}\\) ✓ |

\n

Tylko odpowiedź D pasuje do wyniku \\(\\approx 17{,}95\\). Potwierdzenie jest zgodne z Sposobem 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
\\]
Użyliśmy tego do uproszczenia mianownika: \\((\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2) = 5 - 4 = 1\\).

\n

\\[
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\\]
Użyliśmy tego do rozwinięcia licznika: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 9 + 4\\sqrt{5}\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[
(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0
\\]
Kluczowe przy obliczaniu \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(1\\) | Uczeń "skraca" \\(\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\) przez \\(\\sqrt{5}\\) lub myśli, że ułamek = 1, bo licznik i mianownik są "podobne". Skracanie jest tu niedopuszczalne - to suma, nie iloczyn! |
| B: \\(-1\\) | Uczeń oblicza \\((\\sqrt{5}+2) - (\\sqrt{5}-2) \\cdot \\text{coś}\\) albo odejmuje zamiast dzielić. |
| C: \\(7 + 4\\sqrt{5}\\) | Uczeń poprawnie stosuje metodę sprzężenia, ale w liczniku liczy \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\\sqrt{5} + 2 = 7 + 4\\sqrt{5}\\) - pomyłka: \\(2^2 = 2\\) zamiast \\(2^2 = 4\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno "skracać" \\(\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\) przez odejmowanie lub wyciąganie \\(\\sqrt{5}\\) - licznik i mianownik to sumy, nie iloczyny. Skracanie działa tylko przy mnożeniu!
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu \\((a+b)^2\\) pamiętaj o środkowym wyrazie \\(2ab\\). Bardzo częsty błąd: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\\) (pominięcie \\(4\\sqrt{5}\\)).
\n
⚠️ Uwaga: \\(2^2 = 4\\), nie \\(2\\). Dlatego w liczniku dostajemy \\(5 + 4\\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\\sqrt{5}\\), a nie \\(7 + 4\\sqrt{5}\\). To właśnie różnica między odpowiedzią C a D!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Usuwanie niewymierności przez sprzężenie
\n

Mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}+2\\) (sprzężenie mianownika):
\\[\\dfrac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}+2} = \\dfrac{(\\sqrt{5}+2)^2}{(\\sqrt{5})^2 - 2^2} = \\dfrac{5 + 4\\sqrt{5} + 4}{5-4} = \\dfrac{9+4\\sqrt{5}}{1} = 9+4\\sqrt{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna
\n

\\(\\sqrt{5}\\approx 2{,}236\\).
L \\(= \\dfrac{2{,}236+2}{2{,}236-2} \\approx \\dfrac{4{,}236}{0{,}236} \\approx 17{,}94\\).
P (odp. D) \\(= 9 + 4\\cdot 2{,}236 \\approx 9 + 8{,}944 \\approx 17{,}94\\) ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\), \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).

"}]}