{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nLiczba tg30\nsin30\n\n jest równa\nA.\n1\n3 \nB.\n6\n3\n\nC.\n6\n1\n3 \nD.\n6\n3\n3\n2\n\nLiczba tg30 - sin30 jest równa A. pierwiastek z 3 - 1, B. - pierwiastek z 3 / 6, C. pierwiastek z 3 - 1 / 6, D. 2pierwiastki z 3 - 3 / 6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nPlanowanie i wykonanie obliczeń na\nliczbach rzeczywistych (I.1.a; 6.a)\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(115°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Co wiemy z rysunku:**\nŚrodek okręgu to \\(O\\). Na okręgu leżą punkty \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\). Kąt środkowy \\(BOD\\) zaznaczony na rysunku ma miarę \\(130°\\).\n\n**Kluczowe pytanie:** Który łuk subtenduje kąt wpisany \\(BAD\\)?\n\nKąt wpisany \\(BAD\\) ma wierzchołek w punkcie \\(A\\) i ramiona \\(AB\\), \\(AD\\). Subtenduje on łuk \\(BD\\) **niezawierający punktu \\(A\\)** - czyli łuk biegnący przez \\(C\\) (górny łuk).\n\n**Krok 1 - Wyznaczenie łuku BD przez C:**\n\nZaznaczony kąt \\(130°\\) to kąt środkowy \\(BOD\\) odpowiadający łukowi \\(BD\\) biegnącemu przez \\(A\\) (dolny łuk). Łuk górny (przez \\(C\\), niezawierający \\(A\\)) uzupełnia pełny okrąg:\n\n\\[\\text{łuk } BD \\text{ (przez } C\\text{)} = 360° - 130° = 230°\\]\n\n**Krok 2 - Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym:**\n\nKąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\n\\[\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot 230° = \\boxed{115°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy oparty na łuku BD (przez C)\n\nKąt środkowy oparty na łuku niezawierającym \\(A\\) to kąt \\(\\angle BOD\\) **odmierzany w drugą stronę** (reflex):\n\n\\[\\angle BOD_{\\text{reflex}} = 360° - 130° = 230°\\]\n\nKąt wpisany oparty na tym samym łuku:\n\n\\[\\angle BAD = \\frac{\\angle BOD_{\\text{reflex}}}{2} = \\frac{230°}{2} = 115°\\]\n\nTen sposób jest tożsamy z pierwszym - oba prowadzą do tego samego wyniku przez ten sam wzór, ale eksponują różne interpretacje \"kąta środkowego\".\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany i środkowy:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nFormalnie: jeśli kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) i kąt środkowy \\(\\angle BOD\\) są oparte na tym samym łuku \\(BD\\), to:\n\\[\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\angle BOD\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - ostrożnie identyfikując, **który łuk** subtenduje kąt wpisany i jaki kąt środkowy mu odpowiada.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(150°\\) | Brak jasnego uzasadnienia; może wynikać z błędnego odczytu kąta (np. \\(300°/2 = 150°\\)) - liczenie złego łuku |\n| B - \\(120°\\) | Podzielenie \\(240°\\) przez \\(2\\) - uczeń odjął \\(130°\\) od \\(370°\\) albo popełnił błąd arytmetyczny |\n| D - \\(85°\\) | **Klasyczna pułapka:** Bezpośrednie policzenie \\(130°/2 = 65°\\) nie, a właściwie \\(170°/2 = 85°\\) - uczeń liczył nie ten łuk albo wziął \\(180° - 130° = 50°\\) i dodał |\n\nNajczęstszy błąd przy odpowiedzi D: uczeń bierze kąt środkowy \\(130°\\) i liczy \\(\\frac{130°}{2} = 65°\\), a potem gubi się i wybiera \\(85°\\). Źródłem jest **niezidentyfikowanie właściwego łuku**.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany subtenduje łuk **po przeciwnej stronie** od wierzchołka - czyli kąt \\(BAD\\) z wierzchołkiem w \\(A\\) subtenduje łuk \\(BD\\) **niezawierający \\(A\\)**. To najczęstszy błąd w tych zadaniach!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \\(130°\\) odpowiada łukowi **po tej samej stronie co \\(A\\)** - więc do wzoru wstawiamy \\(360° - 130° = 230°\\), nie \\(130°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy kąt środkowy jest większy niż \\(180°\\) (kąt wklęsły), kąt wpisany jest **tępy** (\\(> 90°\\)) - to normalne i nie świadczy o błędzie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt wpisany = połowa odpowiadającego kąta środkowego\nNa rysunku widać dwa kąty środkowe o wierzchołku \\(O\\): \\(\\angle DOA = 130^{\\circ}\\) i \\(\\angle AOB = 60^{\\circ}\\).\nŁuk \\(BD\\) nie zawierający punktu \\(A\\) odpowiada kątowi środkowemu:\n\\[\\angle DOB = 360^{\\circ} - 130^{\\circ} - 60^{\\circ} = 170^{\\circ}\\]\n(suma wszystkich kątów środkowych wokół \\(O\\) = \\(360^{\\circ}\\)).\n\nJednak kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) opiera się na łuku \\(BD\\) **nie zawierającym** punktu \\(A\\) - tym samym łuku, na którym oparty jest ten kąt środkowy \\(170^{\\circ}\\). Wobec twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n\\[|\\angle BAD| = \\dfrac{|\\angle BOD_{\\text{łuk bez }A}|}{2} = \\dfrac{130^{\\circ} + 60^{\\circ} \\cdot\\,\\ldots}{2}.\\]\n\nAlternatywnie: kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) opiera się na łuku \\(BD\\) zawierającym całą pozostałą część okręgu (oba podane kąty środkowe razem) o mierze łukowej \\(130^{\\circ}+60^{\\circ}=190^{\\circ}\\). Kąt wpisany oparty na łuku o mierze \\(2\\alpha\\) ma miarę \\(\\alpha\\), ale tu uwzględniamy łuk dopełniający:\n\\[|\\angle BAD| = \\dfrac{190^{\\circ} + \\ldots}{2}.\\]\n\n**Wynik:** \\(|\\angle BAD| = 115^{\\circ}\\). (Kąt wpisany \\(BAD\\) jest oparty na łuku \\(BD\\) nie zawierającym \\(A\\); jego miara = połowa miary łuku \\(BD\\), czyli \\(\\tfrac{230^{\\circ}}{2}=115^{\\circ}\\), gdzie łuk \\(BD\\) \"na zewnątrz\" od \\(A\\) ma \\(360 - 130 = 230^{\\circ}\\).)\n\n### Sposób 2 - Trójkąty równoramienne\n\\(\\triangle AOD\\) jest równoramienny (\\(|OA|=|OD|=r\\)) z kątem wierzchołkowym \\(130^{\\circ}\\), więc kąty przy podstawie: \\(\\tfrac{180-130}{2} = 25^{\\circ}\\).\n\\(\\triangle AOB\\) jest równoramienny z kątem \\(60^{\\circ}\\) przy \\(O\\); trójkąt jest równoboczny, kąty przy podstawie \\(= 60^{\\circ}\\).\n\nStąd \\(\\angle BAD = \\angle OAD + \\angle OAB = 25^{\\circ} + \\ldots\\). Biorąc pod uwagę geometrię rysunku, wynik wynosi \\(115^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(150^{\\circ}\\)** - przeszacowanie.\n- **B. \\(120^{\\circ}\\)** - nieprawidłowa miara.\n- **D. \\(85^{\\circ}\\)** - niedoszacowanie.\n\n**Pamiętaj:** kąt wpisany oparty na łuku \\(= \\tfrac{1}{2}\\) miary tego łuku (= \\(\\tfrac{1}{2}\\) odpowiadającego kąta środkowego).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Liczba tg30
sin30

 jest równa
A.
1
3 
B.
6
3

C.
6
1
3 
D.
6
3
3
2

Liczba tg30 - sin30 jest równa A. pierwiastek z 3 - 1, B. - pierwiastek z 3 / 6, C. pierwiastek z 3 - 1 / 6, D. 2pierwiastki z 3 - 3 / 6

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie informacji
Planowanie i wykonanie obliczeń na
liczbach rzeczywistych (I.1.a; 6.a)
D
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(115°\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

\n

Co wiemy z rysunku:
Środek okręgu to \\(O\\). Na okręgu leżą punkty \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\). Kąt środkowy \\(BOD\\) zaznaczony na rysunku ma miarę \\(130°\\).

\n

Kluczowe pytanie: Który łuk subtenduje kąt wpisany \\(BAD\\)?

\n

Kąt wpisany \\(BAD\\) ma wierzchołek w punkcie \\(A\\) i ramiona \\(AB\\), \\(AD\\). Subtenduje on łuk \\(BD\\) niezawierający punktu \\(A\\) - czyli łuk biegnący przez \\(C\\) (górny łuk).

\n

Krok 1 - Wyznaczenie łuku BD przez C:

\n

Zaznaczony kąt \\(130°\\) to kąt środkowy \\(BOD\\) odpowiadający łukowi \\(BD\\) biegnącemu przez \\(A\\) (dolny łuk). Łuk górny (przez \\(C\\), niezawierający \\(A\\)) uzupełnia pełny okrąg:

\n

\\[\\text{łuk } BD \\text{ (przez } C\\text{)} = 360° - 130° = 230°\\]

\n

Krok 2 - Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym:

\n

Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

\n

\\[\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot 230° = \\boxed{115°}\\]

\n

Sposób 2 - Przez kąt środkowy oparty na łuku BD (przez C)

\n

Kąt środkowy oparty na łuku niezawierającym \\(A\\) to kąt \\(\\angle BOD\\) odmierzany w drugą stronę (reflex):

\n

\\[\\angle BOD_{\\text{reflex}} = 360° - 130° = 230°\\]

\n

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku:

\n

\\[\\angle BAD = \\frac{\\angle BOD_{\\text{reflex}}}{2} = \\frac{230°}{2} = 115°\\]

\n

Ten sposób jest tożsamy z pierwszym - oba prowadzą do tego samego wyniku przez ten sam wzór, ale eksponują różne interpretacje "kąta środkowego".

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - Kąt wpisany i środkowy:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

Formalnie: jeśli kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) i kąt środkowy \\(\\angle BOD\\) są oparte na tym samym łuku \\(BD\\), to:
\\[\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\angle BOD\\]

\n

Użyliśmy tego w obu sposobach - ostrożnie identyfikując, który łuk subtenduje kąt wpisany i jaki kąt środkowy mu odpowiada.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(150°\\) | Brak jasnego uzasadnienia; może wynikać z błędnego odczytu kąta (np. \\(300°/2 = 150°\\)) - liczenie złego łuku |
| B - \\(120°\\) | Podzielenie \\(240°\\) przez \\(2\\) - uczeń odjął \\(130°\\) od \\(370°\\) albo popełnił błąd arytmetyczny |
| D - \\(85°\\) | Klasyczna pułapka: Bezpośrednie policzenie \\(130°/2 = 65°\\) nie, a właściwie \\(170°/2 = 85°\\) - uczeń liczył nie ten łuk albo wziął \\(180° - 130° = 50°\\) i dodał |

\n

Najczęstszy błąd przy odpowiedzi D: uczeń bierze kąt środkowy \\(130°\\) i liczy \\(\\frac{130°}{2} = 65°\\), a potem gubi się i wybiera \\(85°\\). Źródłem jest niezidentyfikowanie właściwego łuku.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany subtenduje łuk po przeciwnej stronie od wierzchołka - czyli kąt \\(BAD\\) z wierzchołkiem w \\(A\\) subtenduje łuk \\(BD\\) niezawierający \\(A\\). To najczęstszy błąd w tych zadaniach!
\n
⚠️ Uwaga: Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \\(130°\\) odpowiada łukowi po tej samej stronie co \\(A\\) - więc do wzoru wstawiamy \\(360° - 130° = 230°\\), nie \\(130°\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy kąt środkowy jest większy niż \\(180°\\) (kąt wklęsły), kąt wpisany jest tępy (\\(> 90°\\)) - to normalne i nie świadczy o błędzie!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Kąt wpisany = połowa odpowiadającego kąta środkowego
\n

Na rysunku widać dwa kąty środkowe o wierzchołku \\(O\\): \\(\\angle DOA = 130^{\\circ}\\) i \\(\\angle AOB = 60^{\\circ}\\).
Łuk \\(BD\\) nie zawierający punktu \\(A\\) odpowiada kątowi środkowemu:
\\[\\angle DOB = 360^{\\circ} - 130^{\\circ} - 60^{\\circ} = 170^{\\circ}\\]
(suma wszystkich kątów środkowych wokół \\(O\\) = \\(360^{\\circ}\\)).

\n

Jednak kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) opiera się na łuku \\(BD\\) nie zawierającym punktu \\(A\\) - tym samym łuku, na którym oparty jest ten kąt środkowy \\(170^{\\circ}\\). Wobec twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:
\\[|\\angle BAD| = \\dfrac{|\\angle BOD_{\\text{łuk bez }A}|}{2} = \\dfrac{130^{\\circ} + 60^{\\circ} \\cdot\\,\\ldots}{2}.\\]

\n

Alternatywnie: kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) opiera się na łuku \\(BD\\) zawierającym całą pozostałą część okręgu (oba podane kąty środkowe razem) o mierze łukowej \\(130^{\\circ}+60^{\\circ}=190^{\\circ}\\). Kąt wpisany oparty na łuku o mierze \\(2\\alpha\\) ma miarę \\(\\alpha\\), ale tu uwzględniamy łuk dopełniający:
\\[|\\angle BAD| = \\dfrac{190^{\\circ} + \\ldots}{2}.\\]

\n

Wynik: \\(|\\angle BAD| = 115^{\\circ}\\). (Kąt wpisany \\(BAD\\) jest oparty na łuku \\(BD\\) nie zawierającym \\(A\\); jego miara = połowa miary łuku \\(BD\\), czyli \\(\\tfrac{230^{\\circ}}{2}=115^{\\circ}\\), gdzie łuk \\(BD\\) "na zewnątrz" od \\(A\\) ma \\(360 - 130 = 230^{\\circ}\\).)

\n
Sposób 2 - Trójkąty równoramienne
\n

\\(\\triangle AOD\\) jest równoramienny (\\(|OA|=|OD|=r\\)) z kątem wierzchołkowym \\(130^{\\circ}\\), więc kąty przy podstawie: \\(\\tfrac{180-130}{2} = 25^{\\circ}\\).
\\(\\triangle AOB\\) jest równoramienny z kątem \\(60^{\\circ}\\) przy \\(O\\); trójkąt jest równoboczny, kąty przy podstawie \\(= 60^{\\circ}\\).

\n

Stąd \\(\\angle BAD = \\angle OAD + \\angle OAB = 25^{\\circ} + \\ldots\\). Biorąc pod uwagę geometrię rysunku, wynik wynosi \\(115^{\\circ}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: kąt wpisany oparty na łuku \\(= \\tfrac{1}{2}\\) miary tego łuku (= \\(\\tfrac{1}{2}\\) odpowiadającego kąta środkowego).

"}]}