{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i\n13\n\nAB\noraz\n12\n\nBC\n. Wówczas sinus kąta ABC jest równy\nA. 13\n12\nB. 13\n5\nC. 12\n5\nD. 12\n13\nW trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |AB|=13 oraz |BC|=12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy A. 12/13, B. 5/13, C. 5/12, D. 13/12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie definicji do wyznaczenia\nwartości funkcji trygonometrycznych\ndanego kąta ostrego (II.6.a)\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - △CAB\n\n## Sposób 1 - Symetria obrotowa pięciokąta foremnego\n\nPięciokąt foremny \\(ABCDE\\) ma **5-krotną symetrię obrotową** - obrót o \\(72°\\) (lub wielokrotność) przeprowadza pięciokąt na siebie, zamieniając wierzchołki cyklicznie:\n\\[A \\to B \\to C \\to D \\to E \\to A\\]\n\n**Jaka jest budowa trójkąta \\(ECD\\)?**\n\nWypisz boki z oznaczeniem ich roli:\n\n| Bok | Typ |\n| \\(CD\\) | **bok** pięciokąta |\n| \\(DE\\) | **bok** pięciokąta |\n| \\(CE\\) | **przekątna** pięciokąta |\n\nTrójkąt \\(ECD\\) ma: **dwa sąsiednie boki** pięciokąta (\\(CD\\), \\(DE\\)) i **przekątną** łączącą ich wolne końce (\\(CE\\)).\n\n**Stosujemy obrót o \\(2 \\times 72° = 144°\\) w kierunku** \\(A \\leftarrow B \\leftarrow C \\leftarrow D \\leftarrow E\\):\n\\[E \\to C, \\quad C \\to A, \\quad D \\to B\\]\n\nObrót przeprowadza \\(\\triangle ECD\\) na \\(\\triangle CAB\\). Ponieważ obrót jest izometrią (zachowuje odległości i kąty):\n\n\\[\\boxed{\\triangle ECD \\cong \\triangle CAB}\\]\n\n## Sposób 2 - Kryterium SSS (porównanie długości boków)\n\nW pięciokącie foremnym:\n- Wszystkie **boki** są równe: \\(AB = BC = CD = DE = EA =: a\\)\n- Wszystkie **przekątne** są równe: \\(AC = BD = CE = DA = EB =: d\\)\n\n**Boki trójkąta \\(ECD\\):**\n\\[CD = a, \\quad DE = a, \\quad CE = d\\]\n\n**Boki trójkąta \\(CAB\\):**\n\\[AB = a, \\quad BC = a, \\quad CA = d\\]\n\nOba trójkąty mają boki \\((a, a, d)\\) - po dwa boki pięciokąta i jedną przekątną.\n\n**Na mocy kryterium SSS:**\n\\[\\triangle ECD \\cong \\triangle CAB \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy wyłącznie z definicji pięciokąta foremnego (równe boki i kąty) oraz z kryterium przystawania trójkątów **SSS** (bok-bok-bok) - to podstawowa wiedza geometryczna, niewymagająca wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Trójkąt | Boki | Błąd |\n| A | \\(\\triangle ABF\\) | dwa boki pięciokąta + *fragment* przekątnej | \\(F\\) to punkt przecięcia przekątnych **wewnątrz** pięciokąta - trójkąt \\(ABF\\) jest **znacznie mniejszy** niż \\(ECD\\) |\n| C | \\(\\triangle IHD\\) | trzy *fragmenty* przekątnych | \\(I, H\\) to punkty przecięcia przekątnych - to **mały trójkąt wewnętrzny**, zupełnie innego rozmiaru |\n| D | \\(\\triangle ABD\\) | \\(AB = a\\), \\(BD = d\\), \\(AD = d\\) | Ma **jeden bok** i **dwie przekątne** - inną kombinację długości niż \\(ECD\\) (które ma dwa boki i jedną przekątną) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pięciokąt foremny ma **dwa rodzaje odcinków**: boki (krótsze) i przekątne (dłuższe). Trójkąty \\(ECD\\) i \\(ABD\\) wyglądają podobnie na rysunku, ale \\(ABD\\) ma dwie przekątne zamiast jednej - to **inny trójkąt** (nie przystaje do \\(ECD\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkty \\(F, G, H, I, J\\) na rysunku to **przecięcia przekątnych** wewnątrz pięciokąta. Trójkąty z tymi wierzchołkami są małe i **nigdy nie przystają** do trójkąta rozpiętego na wierzchołkach pięciokąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu trójkątów przystających w figurach foremnych - zawsze sprawdzaj **typy boków** (bok figury vs przekątna), a nie tylko liczbę boków. To szybka metoda eliminacji błędnych odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Symetria pięciokąta foremnego\nPięciokąt foremny ma oś symetrii przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku. Trójkąt \\(ECD\\) jest utworzony przez dwie przekątne \\(EC\\), \\(ED\\) i bok \\(CD\\).\n\n**Trójkąt \\(CAB\\):** bok \\(AB\\), dwie przekątne \\(CA\\) i \\(CB\\). Boki odpowiadają: \\(CA = ED\\) (przekątne foremnego pięciokąta), \\(CB = EC\\) (inne przekątne), \\(AB = CD\\) (boki). **Wszystkie boki równe - trójkąty przystające (cecha BBB).**\n\n### Sposób 2 - Własności przekątnych\nW pięciokącie foremnym wszystkie boki są równe, wszystkie krótkie przekątne są równe. Trójkąty zbudowane z boku i dwóch przekątnych (typu \"wierzchołek + przekątna + przekątna\") są przystające.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\triangle ABF\\)** - \\(F\\) to punkt przecięcia przekątnych wewnątrz - mniejszy trójkąt, nieprzystający.\n- **C. \\(\\triangle IHD\\)** - \\(I, H\\) są wewnętrznymi punktami przecięć - mniejszy trójkąt.\n- **D. \\(\\triangle ABD\\)** - ma bok \\(AB\\), przekątne \\(AD\\) i \\(BD\\), ale jest to trójkąt innego kształtu.\n\n**Pamiętaj:** w pięciokącie foremnym wszystkie boki oraz wszystkie przekątne są równe między sobą; trójkąty utworzone z analogicznych elementów są przystające.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i
13

AB
oraz
12

BC
. Wówczas sinus kąta ABC jest równy
A. 13
12
B. 13
5
C. 12
5
D. 12
13
W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |AB|=13 oraz |BC|=12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy A. 12/13, B. 5/13, C. 5/12, D. 13/12

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie definicji do wyznaczenia
wartości funkcji trygonometrycznych
danego kąta ostrego (II.6.a)
B
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - △CAB

\n

Sposób 1 - Symetria obrotowa pięciokąta foremnego

\n

Pięciokąt foremny \\(ABCDE\\) ma 5-krotną symetrię obrotową - obrót o \\(72°\\) (lub wielokrotność) przeprowadza pięciokąt na siebie, zamieniając wierzchołki cyklicznie:
\\[A \\to B \\to C \\to D \\to E \\to A\\]

\n

Jaka jest budowa trójkąta \\(ECD\\)?

\n

Wypisz boki z oznaczeniem ich roli:

\n

| Bok | Typ |
| \\(CD\\) | bok pięciokąta |
| \\(DE\\) | bok pięciokąta |
| \\(CE\\) | przekątna pięciokąta |

\n

Trójkąt \\(ECD\\) ma: dwa sąsiednie boki pięciokąta (\\(CD\\), \\(DE\\)) i przekątną łączącą ich wolne końce (\\(CE\\)).

\n

Stosujemy obrót o \\(2 \\times 72° = 144°\\) w kierunku \\(A \\leftarrow B \\leftarrow C \\leftarrow D \\leftarrow E\\):
\\[E \\to C, \\quad C \\to A, \\quad D \\to B\\]

\n

Obrót przeprowadza \\(\\triangle ECD\\) na \\(\\triangle CAB\\). Ponieważ obrót jest izometrią (zachowuje odległości i kąty):

\n

\\[\\boxed{\\triangle ECD \\cong \\triangle CAB}\\]

\n

Sposób 2 - Kryterium SSS (porównanie długości boków)

\n

W pięciokącie foremnym:

\n\n

Boki trójkąta \\(ECD\\):
\\[CD = a, \\quad DE = a, \\quad CE = d\\]

\n

Boki trójkąta \\(CAB\\):
\\[AB = a, \\quad BC = a, \\quad CA = d\\]

\n

Oba trójkąty mają boki \\((a, a, d)\\) - po dwa boki pięciokąta i jedną przekątną.

\n

Na mocy kryterium SSS:
\\[\\triangle ECD \\cong \\triangle CAB \\quad \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy wyłącznie z definicji pięciokąta foremnego (równe boki i kąty) oraz z kryterium przystawania trójkątów SSS (bok-bok-bok) - to podstawowa wiedza geometryczna, niewymagająca wzorów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Trójkąt | Boki | Błąd |
| A | \\(\\triangle ABF\\) | dwa boki pięciokąta + fragment przekątnej | \\(F\\) to punkt przecięcia przekątnych wewnątrz pięciokąta - trójkąt \\(ABF\\) jest znacznie mniejszy niż \\(ECD\\) |
| C | \\(\\triangle IHD\\) | trzy fragmenty przekątnych | \\(I, H\\) to punkty przecięcia przekątnych - to mały trójkąt wewnętrzny, zupełnie innego rozmiaru |
| D | \\(\\triangle ABD\\) | \\(AB = a\\), \\(BD = d\\), \\(AD = d\\) | Ma jeden bok i dwie przekątne - inną kombinację długości niż \\(ECD\\) (które ma dwa boki i jedną przekątną) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pięciokąt foremny ma dwa rodzaje odcinków: boki (krótsze) i przekątne (dłuższe). Trójkąty \\(ECD\\) i \\(ABD\\) wyglądają podobnie na rysunku, ale \\(ABD\\) ma dwie przekątne zamiast jednej - to inny trójkąt (nie przystaje do \\(ECD\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Punkty \\(F, G, H, I, J\\) na rysunku to przecięcia przekątnych wewnątrz pięciokąta. Trójkąty z tymi wierzchołkami są małe i nigdy nie przystają do trójkąta rozpiętego na wierzchołkach pięciokąta.
\n
⚠️ Uwaga: Przy szukaniu trójkątów przystających w figurach foremnych - zawsze sprawdzaj typy boków (bok figury vs przekątna), a nie tylko liczbę boków. To szybka metoda eliminacji błędnych odpowiedzi.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Symetria pięciokąta foremnego
\n

Pięciokąt foremny ma oś symetrii przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku. Trójkąt \\(ECD\\) jest utworzony przez dwie przekątne \\(EC\\), \\(ED\\) i bok \\(CD\\).

\n

Trójkąt \\(CAB\\): bok \\(AB\\), dwie przekątne \\(CA\\) i \\(CB\\). Boki odpowiadają: \\(CA = ED\\) (przekątne foremnego pięciokąta), \\(CB = EC\\) (inne przekątne), \\(AB = CD\\) (boki). Wszystkie boki równe - trójkąty przystające (cecha BBB).

\n
Sposób 2 - Własności przekątnych
\n

W pięciokącie foremnym wszystkie boki są równe, wszystkie krótkie przekątne są równe. Trójkąty zbudowane z boku i dwóch przekątnych (typu "wierzchołek + przekątna + przekątna") są przystające.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: w pięciokącie foremnym wszystkie boki oraz wszystkie przekątne są równe między sobą; trójkąty utworzone z analogicznych elementów są przystające.

"}]}